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今天上午，在課程中，我們討論了利率制定中可觀察和不可觀察異質(zhì)性之間的區(qū)別（從經(jīng)濟角度出發(fā)）。為了說明這一點，我們看了以下簡單示例。讓??X?代表一個人的身高?？紤]以下數(shù)據(jù)集

> Davis[12,c(2,3)]=Davis[12,c(3,2)]

?在這里，關(guān)注變量是給定人的身高，

> X=Davis$height

如果我們看直方圖，我們有

> hist(X,col="light green", border="white",proba=TRUE,xlab="",main="")

我們可以假設(shè)我們具有高斯分布嗎？

在這里，如果我們擬合高斯分布，將其繪制出來，并添加基于核的估計量，我們將得到

1. > (param <- fitdistr(X,"normal")$estimate)

2. > f1 <- function(x) dnorm(x,param[1],param[2])

3. > x=seq(100,210,by=.2)

4. > lines(x,f1(x),lty=2,col="red")

5. > lines(density(X))

?

?

如果看那條黑線，可能會想到一種混合分布，例如

當我們有一個獲得混合分布不可觀察的異質(zhì)性因子：概率 p1，一個隨機變量??

?，概率p2，一個隨機變量??

?。我們可以使用例如

1. 


2. > (param12 <- c(mix$lambda[1],mix$mu,mix$sigma))

3. [1] 0.4002202 178.4997298 165.2703616 6.3561363 5.9460023

?如果我們繪制兩個高斯分布的混合圖，我們得到

1. 


2. > lines(x,f2(x),lwd=2, col="red") lines(density(X))

不錯。實際上，我們可以嘗試使用自己的代碼最大限度地提高可能性，

1. 


2. > bvec <- c(0,-1,0,0)

3. > constrOptim(c(.5,160,180,10,10), logL, NULL, ui = Amat, ci = bvec)$par

4. 


5. [1] ? 0.5996263 165.2690084 178.4991624 ? 5.9447675 ? 6.3564746

在這里，我們包括一些約束，以保證概率屬于單位間隔，并且方差參數(shù)保持正值。

進一步來說，如果我們假設(shè)基礎(chǔ)分布具有相同的方差，即

在這種情況下，我們必須使用之前的代碼，并進行一些小的更改，

1. 


2. > (param12c= constrOptim(c(.5,160,180,10), logL, NULL, ui = Amat, ci = bvec)$par)

3. 


4. [1] ? 0.6319105 165.6142824 179.0623954 ? 6.1072614

如果我們不能觀察到異質(zhì)性因素，這就是我們可以做的。我們實際上在數(shù)據(jù)集中有一些信息。例如，我們具有人的性別。現(xiàn)在，如果我們查看每個性別的身高直方圖，以及基于內(nèi)核的每個性別的身高密度估計量，

?

因此，看起來男性的身高和女性的身高是不同的。也許我們可以使用實際觀察到的變量來解釋樣本中的異質(zhì)性。在形式上，這里的想法是考慮具有可觀察到的異質(zhì)性因素的混合分布：性別，

現(xiàn)在，我們對以前稱為類[1]和[2]的解釋是：男性和女性。在這里，估算參數(shù)非常簡單，

1. 


2. sex=="F"

3. mean ? ? ? ? sd

4. 164.714286 ? 5.633808

5. sex=="M"

6. mean ? ? ? ? sd

7. 178.011364 ? 6.404001

如果我們繪制密度，我們有

> lines(x,f4(x),lwd=3,col="blue")

?

如果再次假設(shè)相同的方差怎么辦？即，模型變?yōu)?/p>

然后，一個自然的想法是根據(jù)以前的計算得出方差的估計量

?

1. 


2. > s

3. [1] 6.015068

再一次，可以繪制相關(guān)的密度，

> lines(x,f5(x),lwd=3,col="blue")

現(xiàn)在，如果我們仔細考慮一下我們所做的事情，那僅僅是對一個因素（人的性別）的線性回歸，

??

實際上，如果我們運行代碼來估算此線性模型，

1. 


2. Residuals:

3. Min ? ? ? 1Q ? Median ? ? ? 3Q ? ? ?Max

4. -16.7143 ?-3.7143 ?-0.0114 ? 4.2857 ?18.9886

5. 


6. Coefficients:

7. Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

8. (Intercept) 164.7143 ? ? 0.5684 ?289.80 ? <2e-16 ***

9. sexM ? ? ? ? 13.2971 ? ? 0.8569 ? 15.52 ? <2e-16 ***

10. ---

11. Signif. codes: ?0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

12. 


13. Residual standard error: 6.015 on 198 degrees of freedom

14. Multiple R-squared: ?0.5488, Adjusted R-squared: ?0.5465

15. F-statistic: 240.8 on 1 and 198 DF, ?p-value: < 2.2e-16

我們得到的均值和方差的估計與之前獲得的估計相同。因此，正如今天上午在課堂上提到的，如果您有一個不可觀察的異質(zhì)性因子，我們可以使用混合模型來擬合分布，但是如果您可以得到該因子的替代，這是可觀察的，則可以運行回歸。

?