在前?3 期專欄中, 我列出了很多三角函數(shù)的公式, 及其推導(dǎo)過(guò)程;

本期專欄, 我們來(lái)看這些公式的實(shí)際應(yīng)用.

12. 正弦和余弦的導(dǎo)數(shù)

我們可以用幾何法, 推導(dǎo)正弦和余弦的導(dǎo)數(shù):

點(diǎn) B 和點(diǎn) D 在單位圓上, 過(guò) B 作 BA⊥x 軸于點(diǎn) A,

過(guò) D 作 DC⊥x軸于點(diǎn) C, 過(guò) B 作 BH⊥CD 于點(diǎn) H,

設(shè) ∠BOA = θ, ∠BOD = Δθ,? ∠BDH = α,? BO = DO = 1,

利用初中幾何知識(shí), 易證

AB = sin θ

CD = sin(θ + Δθ)

顯然有

(圓心角很小時(shí), 弧長(zhǎng)會(huì)無(wú)限接近弦長(zhǎng).)

∵?DH = CD - AB?

∴?DH = sin(θ + Δθ) - sin θ =?Δ(sin θ)

用類似的方法, 可推導(dǎo)出余弦的導(dǎo)數(shù).

不過(guò), 幾何法有些不嚴(yán)謹(jǐn)之處, 最好是用代數(shù)法.

利用和化積公式:

令?

則有

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,

所以,?

在此基礎(chǔ)上, 我們推導(dǎo)余弦的導(dǎo)數(shù):

令?? , 則

于是

所以

13. 正切和余切的導(dǎo)數(shù)

使用幾何法, 可以推導(dǎo)正切和余切的導(dǎo)函數(shù), 方法與上文類似.

下面我們看一下, 更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)法.

之前我們證過(guò)

令??

則有

所以

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義, 有

現(xiàn)在, 我介紹一個(gè)新的三角函數(shù), 叫 "正割", 符號(hào)為 sec.

這是正割的一個(gè)定義:

我們將剛才的結(jié)果, 稍作變形,

因此,?

在上式中, 令??

我們又遇到了新的三角函數(shù), 叫"余割", 符號(hào)為 csc.

余割的一個(gè)定義為:

所以, 余切的導(dǎo)數(shù)

?

14. 特殊角的三角函數(shù)

利用等邊三角形, 可以得到 30° 和 60° 的三角函數(shù);

利用等腰直角三角形, 可以得到 45° 的三角函數(shù);

這些是初中課本的內(nèi)容, 不是我們的重點(diǎn).

利用合適的方法, 可以求出 15° 的三角函數(shù), 例如,

這里補(bǔ)充一段內(nèi)容, 我們用幾何法, 證明正切的半角公式:

對(duì)于銳角 θ, 我們構(gòu)造 Rt ΔAPC,

使得 ∠C = 90°, ∠APC = θ,

延長(zhǎng) CP 至點(diǎn) B, 使得 BP = AP, 連接 AB,

則 ∠B = ∠BAP,

設(shè) AP = 1, 則? BP = 1,

AC = sin θ, CP = cos θ,

CB = CP + BP = 1 + cos θ ,

對(duì)于鈍角 θ, 構(gòu)造 Rt ΔAPC, 使得

延長(zhǎng) CP 至點(diǎn) B, 使得 BP = AP,

則 ∠APB = θ,

連接 AB, 取 AB 的中點(diǎn) M, 連接 MP,

∵ AM = BM, AP = BP, MP = MP,

在 Rt ΔABC 中,? ∠BAC + ∠B = 90°

在 Rt ΔBPM 中, ∠BPC + ∠B = 90°

設(shè) AP = 1, 則 BP = 1,

對(duì)其他?θ, 可驗(yàn)證以上結(jié)論成立.

利用和角公式, 可以計(jì)算所有 3° 的倍數(shù)的三角函數(shù).

我們來(lái)做個(gè)練習(xí), 計(jì)算 cos 36° 的精確值.

之前我們證明過(guò):

所以有

之前我們證過(guò)

則有

∵??

∴??

令?? 則

配方得

在上述例子中, 我們綜合運(yùn)用了和角公式, 倍角公式, 以及其他三角恒等式.

下期預(yù)告

反三角函數(shù)的計(jì)算, 反三角函數(shù)的求導(dǎo).