（Tips：教材鏈接已在第四期中給出；一切涉及求導(dǎo)的內(nèi)容我都直接給出結(jié)論，證明此后都會(huì)給出）

第五期? 連續(xù)、可導(dǎo)與間斷（1）（這是我準(zhǔn)備尤為重點(diǎn)敘述的一個(gè)內(nèi)容）

? ? ? ?函數(shù)，或者說(shuō)得寬泛一點(diǎn)，曲線，有著各種各樣的性質(zhì)，例如周期性、奇偶性、單調(diào)性等等。而在微積分中，幾乎最重要的一個(gè)性質(zhì)就是連續(xù)。這個(gè)名稱很好通過(guò)字面意思理解，因?yàn)槲覀冏屑?xì)想想，似乎我們中學(xué)階段學(xué)習(xí)的函數(shù)（也就是基本初等函數(shù)）看起來(lái)都是連續(xù)的，這事實(shí)上出于直覺(jué)。但仍然是那個(gè)問(wèn)題：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)準(zhǔn)確地刻畫這一特性？

? ? ? ?我們可以這樣思考：如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)（也就是能通過(guò)一筆畫出來(lái)），那它的函數(shù)值的變化過(guò)程就一定能分為變化量為無(wú)窮小的變化過(guò)程之和。例如下圖：

? ? ? ?這是函數(shù)的圖像。觀察的部分，此時(shí)的函數(shù)值從-1變動(dòng)到了0。為了說(shuō)明函數(shù)連續(xù)，就要說(shuō)明函數(shù)值是“一點(diǎn)一點(diǎn)”變化的。那么我有兩種分割方法：第一種是按橫坐標(biāo)分割，即分成無(wú)數(shù)個(gè)長(zhǎng)度為無(wú)窮小的（也就是），使每個(gè)引發(fā)的為無(wú)窮小；第二種則是直截了當(dāng)?shù)貙⒑瘮?shù)從-1到0的變化過(guò)程分為長(zhǎng)度為無(wú)窮小的變化過(guò)程，也就是如圖所示：-1~-0.95，-0.95~-0.9，……，-0.1~-0.05，-0.05~0，并無(wú)限繼續(xù)細(xì)分下去。（請(qǐng)注意，0同樣是無(wú)窮小，因此常值函數(shù)不妨礙我們的思考）但無(wú)論采用哪一種都無(wú)傷大雅，如果函數(shù)不連續(xù)，你是哪一種都做不到的；反之，如果函數(shù)連續(xù)，則兩者均可。

? ? ? ?上述是一個(gè)單調(diào)函數(shù)的例子。有了這樣的思考，就引出了我已提到過(guò)的那句話，能概括函數(shù)連續(xù)的充要條件，無(wú)論其是否單調(diào)（這也就是第二種分割方法）：若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則函數(shù)值的變化過(guò)程能分為變化量為無(wú)窮小的變化過(guò)程之和，反之亦然。請(qǐng)注意，在這里我尤其強(qiáng)調(diào)“變化過(guò)程”，而非增量。在這里我有必要咬文嚼字一番，雖然這似乎是想復(fù)雜了，但對(duì)邏輯思維是有幫助的。

? ? ? ?我們不妨改變用詞看看效果：函數(shù)值的增量能分為無(wú)窮小增量之和。但例如，任取一段完全跨越了0的距離，其增量都是1，把1分成無(wú)窮小量之和是十分容易的。但顯然，這個(gè)分段函數(shù)在0處是不連續(xù)的?；蛘哌€有一種說(shuō)法，在前述錯(cuò)誤說(shuō)法的基礎(chǔ)上再添加要求“使每個(gè)增量的起點(diǎn)與終點(diǎn)都存在區(qū)間內(nèi)的自變量與之對(duì)應(yīng)”。在這樣的定義下，確實(shí)不連續(xù)了。但例如，任取一段完全跨越了0的區(qū)間，其增量都是0，把0分成無(wú)數(shù)個(gè)0之和，每個(gè)增量的起點(diǎn)和終點(diǎn)均為1，在這段區(qū)間內(nèi)都存在自變量與之對(duì)應(yīng)。但它又是顯然不連續(xù)的?？傊?，用“增量”來(lái)描述連續(xù)極其困難。如果使用正確的描述，那么在某個(gè)完全跨越了0的區(qū)間內(nèi)的變化過(guò)程就是，不可按照要求劃分，因此不連續(xù)。究其本質(zhì)，“增量”的描述失敗，是因?yàn)檫@是一個(gè)瞬間而跳躍的變化，它只考慮起點(diǎn)與終點(diǎn)。

? ? ? ?然而，將這樣的漢字使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述幾乎不可能。這是因?yàn)?，我們無(wú)法表示“變化過(guò)程”的概念。而用第一種分割方法就方便得多——它可以通過(guò)先定義某點(diǎn)處的連續(xù)，再擴(kuò)展到區(qū)間內(nèi)的連續(xù)，無(wú)窮小完全可以用極限描述；不僅如此，第一種還表現(xiàn)了與之間的依賴關(guān)系。這優(yōu)越性在定義和之后的探索中自有體現(xiàn)。那么，我們給出定義：

定義? 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義。若

，

則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。若函數(shù)在一開(kāi)區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)在該開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)。

? ? ? ?看出來(lái)了吧——這個(gè)定義與導(dǎo)數(shù)定義中的分子是一樣的。這對(duì)我們研究連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是大有幫助的，通過(guò)這個(gè)定義，我們發(fā)現(xiàn)，如果函數(shù)在某點(diǎn)處不連續(xù)，那么在該點(diǎn)處必然不可導(dǎo)——寬泛來(lái)說(shuō)，可以理解為分子為0而分母不為0，則極限一定不存在。那么如果函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)，就一定可導(dǎo)嗎？

? ? ? ?如圖，是的圖像，它的導(dǎo)函數(shù)是，顯然，當(dāng)時(shí)，其導(dǎo)數(shù)為，不存在。從幾何意義上來(lái)說(shuō)，在0處并非沒(méi)有切線，而是切線垂直于軸了。那這種情況本質(zhì)上是出現(xiàn)了什么呢？請(qǐng)讀者自己思考一下，我們下期給出解答。（恭祝大家除夕快樂(lè)！）