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S9G1 圓周率的逼近式 (用 Geogebra 探究 Basel 問(wèn)題)

2021-03-13 11:45 作者:學(xué)用數(shù)學(xué) 0人讀過(guò) | 我要投稿

在 Pi Day 的到來(lái)，來(lái)分享一個(gè)與 Pi 有關(guān)的逼近式 Basel 問(wèn)題。這問(wèn)題談到的就是連續(xù)平方數(shù)的倒數(shù)之和竟然會(huì)等于 pi^2/6 。這此要用 Geogebra 來(lái)協(xié)助演示其中一個(gè)證明。

這個(gè)證明的主要手法就是觀察到 sin(pi x)/pi 的解為? x=0, ±1, ±2, ±3?，...。而利用這特性也可以構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式，通過(guò)這些整數(shù)點(diǎn)。

而這個(gè)多項(xiàng)式的 x^3 系數(shù)為 -(1/1+1/4+1/9+....) 。同時(shí)，考慮??sin(pi x)/pi 的 Taylor 展開(kāi)式，其 x^3 的系數(shù)就是 -pi^2/6 。這就建立了 Basel?pi 的逼近式。

此節(jié)主要練習(xí) Geogebra 來(lái)作多項(xiàng)式連乘、認(rèn)識(shí) Taylor 展開(kāi)、并了解利用文本來(lái)動(dòng)態(tài)顯示這些數(shù)學(xué)式。

任務(wù)一：sin(pi x)/ pi 的 Taylor 展開(kāi)

說(shuō)明：利用? Geogebra 的 Taylor 展開(kāi)指令就可動(dòng)態(tài)看到多項(xiàng)式逼近 sin(pi)/x 的過(guò)程。接著建立多項(xiàng)式 gs(k)=（1-x^2/k^2)? 通過(guò)點(diǎn) (0, ±k)。再利用 Product 指令將這些多項(xiàng)式連乘得到 g 為一個(gè)過(guò)??x=0,?±1, ±2, ±3?, ...,±m(xù)? 的多項(xiàng)式。

操作

f(x) = sin(pi x)/pi

m = Slider(1,30,1,1,100)

h(x) = TaylorPolynomial(f,0,m)?

#? h(x) = 泰勒公式(f,0,m)?

gs = Sequence( (1-x^2/k^2), k, 1, m)

g = x* Product(gs)

任務(wù)二：計(jì)算basel 序列的總和

說(shuō)明：這節(jié)主要利用 sequence 來(lái)建立 1, 1/4, 1/9，...., n 項(xiàng)的序列 seq，并利用 sum 來(lái)取得總和 sseq 。接著再將 ssseq = (sseq*6)^0.5 就可得到 Pi 的近似值 3.14 。?

n = Slider(10,10000,10,1,100)

seq?= Sequence(1/k^2,k,1,n)

sseq = sum(seq)

ssseq = (sseq*6)^0.5?

任務(wù)三：利用序列來(lái)顯示動(dòng)態(tài)文字

說(shuō)明：本節(jié)主要將一連串的分?jǐn)?shù)通過(guò)公式文本來(lái)顯示。?可先從最簡(jiǎn)單的形式來(lái)了解這個(gè)的用法?？杀容^使用序列(...),??sum(序列(...)),?

如果要在文本內(nèi)用?LaTeX?指令 \frac 來(lái)顯示分?jǐn)?shù)，則需要在文本內(nèi)用 +?與 " " 將文字與變數(shù)串連再一起。?

# 建立文本并使用空白的公式文本?

sum(Sequence(FormulaText(" + \frac{1}{" + (k^2) + "}",true),k,2,2))

#總和(序列(公式文本(" + \frac{1}{" + (k^2) + "}",true),k,2,2))

任務(wù)四：利用條件顯示來(lái)控制兩類(lèi)文字的切換

說(shuō)明：若全部的分?jǐn)?shù)一次輸出，會(huì)讓本本太長(zhǎng)。為了讓文本可以顯示數(shù)列的省略好。在本本文輸入時(shí)就分兩段顯示。讓數(shù)列在個(gè)數(shù)? m<=5 的時(shí)候可完整顯示這個(gè)數(shù)列，而 m?> 5候顯示省略號(hào)?？墒褂脙蓚€(gè)文本，再利用條件顯示來(lái)作切換。

對(duì)于 g(x) 的設(shè)置也是類(lèi)似，通過(guò)兩個(gè)文本來(lái)?xiàng)l件顯示。

接著，g(x) 的展開(kāi)式也是類(lèi)似的操作。并將 f(x) 的對(duì)泰勒展開(kāi)式設(shè)定展開(kāi)的次數(shù)為 3 。?再調(diào)整文本的顯示就可完成這個(gè)搭配文本顯示的 Geogebra 演示。

小結(jié)

這節(jié)主要的重點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)就是利用多項(xiàng)式的連乘積來(lái)探究 Basel 問(wèn)題。另一個(gè)是利用序列搭配公式文本的顯示。利用這個(gè)序列搭配公式文讓 Geogebra 的文本顯示更多元，大家也可嘗試來(lái)用這個(gè)寫(xiě)多層的連分?jǐn)?shù)。相關(guān)的教學(xué)，后續(xù)也會(huì)再錄制視頻解說(shuō)。