? ? ? ??在上一個(gè)命題中，阿基米德的方法是借助杠桿原理，首先在一個(gè)三棱柱和一個(gè)半圓柱之間建立比例關(guān)系，進(jìn)而建立平衡關(guān)系。然后，用對(duì)稱的三棱柱等量代換半圓柱體，進(jìn)而，在三棱柱和圓柱體的平面斜截體之間建立平衡關(guān)系和比例關(guān)系。最終，通過三棱柱的體積和杠桿原理和比例論，求得圓柱體的平面斜截體體積等于此圓柱的外切正四棱柱體積的六分之一。

? ? ? ??而本命題另辟蹊徑，雖然還是求圓柱體的平面斜截體體積，但是求解的角度截然不同，但殊途同歸，球的結(jié)果仍然相同。所采用的的方法大致類似，但是借助的橋梁紐帶發(fā)生了根本的變化，上個(gè)命題是借助三棱柱體積來聯(lián)系圓柱體的平面斜截體和半圓柱體，而本命題是借助拋物線的二次性進(jìn)行分析求解，別有一番風(fēng)味。

? ? ? ??本命題通過在底面半圓中建立拋物線，借助拋物線的縱橫坐標(biāo)之間的二次關(guān)系，建立縱坐標(biāo)的比值等于橫坐標(biāo)的二次比這樣的比例關(guān)系，再借助比例的性質(zhì)（分比性質(zhì)）和勾股定理把縱橫兩個(gè)方向的線段比值轉(zhuǎn)化到縱向一個(gè)方向上的線段之間的比例關(guān)系。而其中的平方比正好對(duì)應(yīng)著貫通上下底面的截面在斜截棱柱和圓柱的兩個(gè)截體中的相似直角三角形的底邊的平方比。進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)已知線段的比。這就在平面和線段之間建立了成比例的相等關(guān)系。接下來就是用窮竭法，把相應(yīng)的平面疊加為立體、線段疊加為平面，就在立體圖形與平面之間建立了比例關(guān)系。而兩個(gè)平面之間的關(guān)系是已知的，即矩形面積與其內(nèi)接拋物線型平面面積之間的比例關(guān)系是確定的。通過這兩個(gè)平面之間的比例關(guān)系，就可以對(duì)等出兩立體圖形之間的體積關(guān)系，即圓柱體的平面斜截體與圓柱體的外切正四棱柱之間的比例關(guān)系為1：6.

? ? ? ? 整個(gè)論證過程中，拋物線起到了輔助線的作用，正是因?yàn)閽佄锞€的二次性，所以，可以把線段的長度比轉(zhuǎn)化為面積之間的平方比，再結(jié)合窮竭法，就可以實(shí)現(xiàn)平面之比等于立體圖形之比的對(duì)應(yīng)關(guān)系。從而達(dá)成體積求解的目的。其匠心不可謂不獨(dú)到，心思不可謂不機(jī)巧。

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