在通信系統(tǒng)中，我們經(jīng)常需要計(jì)算 Log Likelihood Ratio (LLR) 對(duì)數(shù)似然比，尤其是在信道譯碼采用軟譯碼的時(shí)候。這個(gè)小文章，就來(lái)推導(dǎo)一下在不同調(diào)制下，如何根據(jù)接收到的信號(hào)，計(jì)算 LLR，我們主要討論 三種調(diào)制：BPSK, QPSK, 8-PSK.

----------------------------------------

錄制了視頻（錄制的中間被打斷了，就分成兩個(gè)視頻了，抱歉）：

（一）https://www.bilibili.com/video/BV1PW4y1q7N8/

（二）https://www.bilibili.com/video/BV1zP4y1d7t4/

---------------------------------------
我們先講 QPSK 的，這個(gè)比較有代表性，簡(jiǎn)化后就是 BPSK，進(jìn)一步擴(kuò)展就是 8-PSK.

一組 0 和 1 組成的序列，經(jīng)過(guò) QPSK 編碼后變成一個(gè)復(fù)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)比特調(diào)制成一個(gè)復(fù)數(shù).
經(jīng)過(guò)高斯白噪聲信道傳輸，這里我們把實(shí)部和虛部看成是分別獨(dú)立傳輸?shù)?，分別加上獨(dú)立的高斯白噪聲的干擾。

（注 1：實(shí)際上是實(shí)部和虛部在相同的信道上傳輸，只是由相互正交的高頻信號(hào)做載波發(fā)送的，可以看成是分別傳輸?shù)?br>注 2：實(shí)部我們稱(chēng)之為 in-phase，用 I 做下標(biāo)，虛部我們稱(chēng)之為 quadrature，用 Q 做表示）。

通信系統(tǒng)中，我們關(guān)心的是在收到信號(hào) y 的情況下，判斷發(fā)送方發(fā)送的比特是 1 或者 0 的概率，可以表示成? p(b=0|y)? 和 p(b=1|y).

很多情況下，我們關(guān)心兩者的比值，因?yàn)槿绻? p(b=0|y)? 大于 p(b=1|y)，我們就有理由可以判斷 b=0，否則，我們更傾向于判斷 b=1.? 用比值來(lái)表示就是：

為了更簡(jiǎn)化一些運(yùn)算（后面會(huì)解釋?zhuān)?，一般還要再取對(duì)數(shù)，即：

那么判決準(zhǔn)則為：

接下啦我們把上面的比值，做一下推導(dǎo)，推導(dǎo)出似然比的形式，因?yàn)? p(y|b) 的形式，稱(chēng)之為似然函數(shù)，而 p(b|y) 一般稱(chēng)之為后驗(yàn)概率。

先對(duì) p(b|y) 做一下推導(dǎo)：


則：


上式推導(dǎo)的最后一步，我們是假定發(fā)送數(shù)據(jù)是 0 還是 1 的概率是相等的，都是 0.5，這個(gè)假定大部分情況下都是成立的，在數(shù)據(jù)生成的階段，一般都有一步做 偽隨機(jī)化，即讓 0 和 1 出現(xiàn)的數(shù)量是相等的。

則上面公式的最后結(jié)果，我們稱(chēng)之為 對(duì)數(shù)似然比 Log Likelihood Ratio (LLR)? 。

我們實(shí)際上關(guān)心的是后驗(yàn)概率的對(duì)數(shù)比值，但是，在在 0 還是 1 的概率是相等的假設(shè)前提下，其實(shí)是與對(duì)數(shù)似然比等同的，所以，后面我們就直接推導(dǎo)對(duì)數(shù)似然比的具體表達(dá)式了。

均值為 0 方差為? 的白噪聲，符合以下公式的高斯分布：

則如果發(fā)送的是 x 收到的是 y 的概率就是：


QSPK 下，兩個(gè)比特調(diào)制為一個(gè)復(fù)數(shù)，我們把這兩個(gè)比特記為? ，調(diào)制后的符號(hào)記為 ，接收到的復(fù)數(shù)信號(hào)為 .

映射關(guān)系如下圖所示：

下面來(lái)分析，如何計(jì)算? 的對(duì)數(shù)似然比，即：

所以，需要分別求出來(lái)
和 。

我們分析其中一個(gè)，另外一個(gè)是類(lèi)似的。
有兩種情況，即 和
則：

其中：

?有兩種情況，即? 和
則：

其中：

最后，

用同樣的方法，可以得出：

對(duì)于 QPSK , 我們最終得到一個(gè)比較簡(jiǎn)潔的關(guān)系，即兩個(gè)比特的對(duì)數(shù)似然比分別直接對(duì)應(yīng)接收到復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部！

對(duì)于 BPSK，因?yàn)橹挥幸粋€(gè) 比特，我們直接記為 b，現(xiàn)在快速列出來(lái)相關(guān)的推導(dǎo)過(guò)程：

而對(duì)于 8-PSK，則沒(méi)有這么優(yōu)美的結(jié)果，由于內(nèi)容較多，我們放到下一篇文章中去推導(dǎo)。
https://www.bilibili.com/read/cv18034533