二維變換：

我們要把矩陣和變換聯(lián)系起來(lái)。

舉個(gè)例子：我們縮放一張圖片，我們把圖片視為一個(gè)矩陣，那么我們將其乘以一個(gè)0到1的小數(shù)，就得到了縮放后的圖片。

但我們單獨(dú)縮放x值時(shí)：

當(dāng)我們嘗試將圖片對(duì)稱時(shí)：

y軸對(duì)稱，則x取負(fù)值

切變：

上邊向右移動(dòng)了距離a，但y軸高不變。

底邊不變，也就是說(shuō)，在y為1的情況下，x的每個(gè)坐標(biāo)都向右移動(dòng)了y*a個(gè)單位。

體現(xiàn)在矩陣中，如下圖公式。

（個(gè)人認(rèn)為左上到右下的值為縮放，右上到左下的值為偏移）

旋轉(zhuǎn)：

在不確定原點(diǎn)和方向的情況下，默認(rèn)原點(diǎn)為（0,0），默認(rèn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針。

旋轉(zhuǎn)，可以看作每一個(gè)點(diǎn)，在乘以一個(gè)矩陣后，得到了一個(gè)新的位置。而實(shí)際上，偏移縮放，也是可以這樣理解的。如何得到這個(gè)矩陣，就是變換的關(guān)鍵。

已知在旋轉(zhuǎn)中，大小不變。那么我們可以通過(guò)一條邊的長(zhǎng)度，旋轉(zhuǎn)的角度，根據(jù)勾股定理得到其余兩條邊的長(zhǎng)度。于是便得到了第一個(gè)特殊點(diǎn)（cos角度，sin角度）。

既然我們已經(jīng)有了初始點(diǎn)位，變換后的點(diǎn)位，便可以根據(jù)初始點(diǎn)位與矩陣的叉積，得到變換后的點(diǎn)位。再然后便是二元一次方程。得解。

總結(jié)：

我們的變換總是遵從下圖的規(guī)律，這種變換稱之為線性變換。

齊次坐標(biāo)：

圖片的平移，只需要單純地加上偏移量就可以了。

但這樣，我們無(wú)法把它寫成矩陣公式。

所以在平移計(jì)算中，我們只能另外添加一個(gè)向量來(lái)得到最終結(jié)果。

但我們希望得到一個(gè)更方便的變換方式，來(lái)解決所有的變換問(wèn)題。所以我們引入了齊次坐標(biāo)。

用空間復(fù)雜度來(lái)將平移變換寫入公式。

點(diǎn)的坐標(biāo)變換，引入變量1，向量為了維持方向不變，引入變量0。

逆變換：

我們將變換的方法進(jìn)行逆變換，便得到未變換的值。

即坐標(biāo)乘以矩陣后得到的值，再乘以這個(gè)矩陣的逆矩陣，便會(huì)得到未變換的值。

注意：

變換的順序是非常重要的。先旋轉(zhuǎn)后平移和先平移后旋轉(zhuǎn)是兩個(gè)結(jié)果。就如同矩陣的乘法不滿足交換律。

其結(jié)果便是矩陣不滿足交換律。

向量默認(rèn)作為列向量。

矩陣的計(jì)算是從右到左的計(jì)算順序。

三維變換：

三維變換和二維變換極為相似，在原有計(jì)算的基礎(chǔ)上更換為四維矩陣。