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346篇原創(chuàng)內(nèi)容

公眾號

梅納德(James Maynard)是2022年菲爾茲獎得主之一。菲爾茲獎每四年頒發(fā)一次，只頒發(fā)給40歲以下的數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù)之一。

梅納德是數(shù)論的頂級專家，這次得獎幾乎是眾望所歸的。

數(shù)論、質(zhì)數(shù)

"數(shù)論在我心目中的地位是獨(dú)特的，甚至在我正式學(xué)習(xí)它之前就已經(jīng)如此，"梅納德說。數(shù)論，研究整數(shù)性質(zhì)以及研究整數(shù)之間相互結(jié)合產(chǎn)生新數(shù)的學(xué)科。數(shù)論就是梅納德的一個(gè)學(xué)術(shù)性的游樂場，這是讓梅納德從孩提時(shí)代就流連忘返的地方。

處于數(shù)論中心位置的東西就是質(zhì)數(shù)，只能被1和其本身整除的正整數(shù)。因?yàn)椴荒茉僖驍?shù)分解，質(zhì)數(shù)經(jīng)常被人們描述成數(shù)論的原子。每個(gè)其他正整數(shù)都能被這樣的原子"做"出來，任何正整數(shù)都能寫成一些質(zhì)數(shù)的乘積。比如24 = 2 × 2 × 2 × 3，再比如110 = 2 × 5 × 11。

其他的質(zhì)數(shù)，也能用類似的辦法寫成這樣質(zhì)數(shù)乘積的形式。

孿生質(zhì)數(shù)猜想

梅納德一個(gè)最重要的貢獻(xiàn)就是關(guān)于孿生質(zhì)數(shù)猜想的。幾千年前 ，我們就已經(jīng)知道質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)，但是這些質(zhì)數(shù)排布在數(shù)軸上的時(shí)候，卻沒有非常明顯的規(guī)律。"通常情況下，你順著數(shù)軸的方向看，質(zhì)數(shù)之間的間隔會越來越大，"梅納德說，"但是孿生質(zhì)數(shù)猜想說，就算從大面上質(zhì)數(shù)的間隔越來越大，也有極少數(shù)的質(zhì)數(shù)會互相挨著非常接近。理解質(zhì)數(shù)間隔是理解質(zhì)數(shù)分布最基本的問題。"

除了2，左右質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，所以質(zhì)數(shù)之間最近的間隔就是2了(只看大于2的質(zhì)數(shù))。剛開始，很容易找到一些間隔最小的質(zhì)數(shù)，它們被稱為孿生質(zhì)數(shù)：3和5、5和7、11和13都間隔2。但隨著數(shù)的增大，這種質(zhì)數(shù)在數(shù)軸上越來越難找到。數(shù)學(xué)家們都相信，能找到無窮多的孿生質(zhì)數(shù)，這就是孿生質(zhì)數(shù)猜想。

孿生質(zhì)數(shù)猜想是數(shù)論中最著名的猜想之一，它表述簡單，但一直沒被證明，幾百年來一直讓數(shù)學(xué)家著迷。經(jīng)過數(shù)百年的探索，在2013年取得了一個(gè)重大突破。張益唐證明了有無窮多對質(zhì)數(shù)，它們的間隔小于7000萬。"對數(shù)學(xué)家來說，這是一個(gè)巨大的突破。這是人類第一證明了質(zhì)數(shù)具有一個(gè)有限的間隔"，梅納德說，"盡管7000萬比2大很多很多，但7000萬比無窮大小多了。"

張益唐的突破和篩法有關(guān)系。篩法是在證明過程中，篩掉不需要整數(shù)的辦法。最初等的例子是埃拉托色尼篩法，他能篩掉所有不是質(zhì)數(shù)的數(shù)。從2開始，在數(shù)軸上去掉所有2右邊所有2的倍數(shù)。這樣2的右邊，最小沒被去掉的整數(shù)就是3，再把3右邊所有3的倍數(shù)去掉。這樣3右邊沒去掉的整數(shù)是5，這樣重復(fù)操作下去。桑達(dá)拉姆篩法也能篩掉不是質(zhì)數(shù)的那些數(shù)，但它基于一種算術(shù)級數(shù)(就是等差數(shù)列)來做篩選。

"篩法是數(shù)論研究中，將已理解的信息轉(zhuǎn)換為你試圖知道的信息的有利工具，"梅納德說，"如果你知道關(guān)于算術(shù)級數(shù)的一些具體技術(shù)手段，那么你就可以用它轉(zhuǎn)換一些關(guān)于質(zhì)數(shù)最近間隔的信息。"篩法初看下很簡單，但很多時(shí)候，要用一些很強(qiáng)的數(shù)學(xué)結(jié)論才能讓它發(fā)揮作用。張益唐的成果的強(qiáng)大在于，可以通過控制輸入的方式來讓篩法得到想要的信息。

梅納德的方法卻不同："不是對篩法去改進(jìn)輸入而是改進(jìn)篩法本身，這個(gè)方法在將一種類型的信息轉(zhuǎn)換為另一種類型的信息方面變得更加有效，這意味著我們只需更弱的輸入來獲得關(guān)于素?cái)?shù)間隔的結(jié)果。"通過這種新方法，將間隔從 7000 萬大幅減少到只有 600。在與更多的數(shù)學(xué)家進(jìn)行了一系列合作之后，我們現(xiàn)在已經(jīng)知道存在無窮對質(zhì)數(shù)，它們之間的間隔只有不超過246。

即使取得如此巨大的進(jìn)展，孿生質(zhì)數(shù)猜想的證明仍然難如登天。工作仍在繼續(xù)，通常這需要全新的方法去證明。在新方法的研究中，梅納德證明了一個(gè)有趣的結(jié)果，給定任何一個(gè)10進(jìn)制正整數(shù)，存在無窮多個(gè)質(zhì)數(shù)，它的十進(jìn)制表示不包含給定的正整數(shù)(包含是字符串意義的包含，比如1231，312都包含12，但不包含39)。在這個(gè)階段很難知道孿生質(zhì)數(shù)猜想何時(shí)會被完全證明，但梅納德依然樂觀的表示：“我們離證明孿生素?cái)?shù)猜想還有差一個(gè)關(guān)鍵思想，但也許我們只差一個(gè)關(guān)鍵思想?！?/p>

要么全都可以要么全都不可以

數(shù)論中有大量長期存在的猜想以及懸而未決的問題。證明孿生質(zhì)數(shù)猜想可能還有一段很長的路要走，但最近梅納德與他的同事庫庫洛普洛斯(Dimitris Koukoulopoulos) 證明了另一個(gè)重要猜想。

1941年提出的達(dá)芬-謝弗(Duffin-Schaeffer)猜想，它是一個(gè)關(guān)于有理數(shù)逼近無理數(shù)能力的一個(gè)猜想。實(shí)數(shù)是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的。有理數(shù)能寫成兩個(gè)整數(shù)p和q的商p/q，而無理數(shù)是寫不成這樣形式的那些實(shí)數(shù)。最著名的就是圓周率π，它等于3.1415926...是一個(gè)不能寫成整數(shù)之商的無理數(shù)。我們只能用有理數(shù)去逼近它。比如，我們只用保留兩位小數(shù)的3.14來作為π的近似值，那么對應(yīng)的分?jǐn)?shù)就算314/100。但用的兩個(gè)數(shù)都有點(diǎn)大，實(shí)際上22/7是一個(gè)更精確的逼近。

"就是說22/7可以算是更有效捕捉π的算術(shù)信息的近似值，"梅納德說。理解實(shí)數(shù)的有效逼近(也稱為丟番圖逼近)以及這些逼近的分布可以為數(shù)論學(xué)者提供非常重要的信息。達(dá)芬-謝弗猜想使得有效逼近在什么情況下存在或者不存在的判斷變得簡單。

如果你試圖讓你的近似值具有一定的精確性。而且這個(gè)近似值會隨著分母q的變化而得到一個(gè)p/q。達(dá)芬-謝弗猜想說，通過簡單的計(jì)算可以告訴您，在"幾乎"意義下，要么對所有數(shù)都有指定類型的有效逼近，要么沒有。

"達(dá)芬-謝弗猜想說，要么是那種除了極少數(shù)的例外都能做有效逼近，要么根本做不到有效逼近。"梅納德說，"而且猜想告訴你了一個(gè)簡單步驟來讓你知道能做還是不能做。"

這初看下似乎沒那什么用，但它為數(shù)學(xué)家提供了一個(gè)強(qiáng)大的工具?！坝泻芏鄶?shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)家希望它任何情況下都是對的，但事實(shí)證明有一些令人討厭的反例，”梅納德說?！暗绻@些反例情況相當(dāng)罕見，那么結(jié)果就是這些反例并不那么重要?！?/p>

玄幻

梅納德的工作被描述為“非常巧妙，經(jīng)常在當(dāng)前技術(shù)看似無法解決的重要問題上取得令人驚訝的突破。” 盡管他碩果累累，獲得菲爾茲獎仍然令他驚異?！爱?dāng)坐在辦公桌前撥弄數(shù)學(xué)玩具的時(shí)候，我不覺得自己在數(shù)學(xué)上獲得了巨大的榮譽(yù)！”

雖然獲得菲爾茲獎這個(gè)數(shù)學(xué)界最高的獎項(xiàng)之一是一項(xiàng)巨大的榮譽(yù)，但梅納德依然覺得這個(gè)獎項(xiàng)令人敬畏，而且有點(diǎn)玄幻?！翱梢赃@樣說，我腦海中浮現(xiàn)的數(shù)學(xué)史上的傳奇數(shù)學(xué)家們都是令人敬畏的。當(dāng)我還是個(gè)孩子的時(shí)候，這些數(shù)學(xué)家都是我仰望的人?！彼f。"我也得獎了，這太玄幻了！"

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