2023全國(guó)乙卷立體幾何大題線段非常多，且沒(méi)有線面垂直關(guān)系?，F(xiàn)有解法中都以幾何法為主，要求輔助線和運(yùn)用立體幾何公理，對(duì)幾何法的創(chuàng)造性要求較高。對(duì)于普通學(xué)生來(lái)說(shuō)不易掌握。因此在此嘗試使用向量法不做任何輔助線解決此題，從已知條件出發(fā)，運(yùn)用空間向量的直線推進(jìn)的思維一步一步求解未知量。本題雖然沒(méi)有線面垂直關(guān)系，但各邊長(zhǎng)已知，且包含部分垂直關(guān)系，所以也方便建系解決。

題目如下：

解答過(guò)程：

（由于F點(diǎn)在AC上的比例關(guān)系未知，所以要先求解三角形ABC）

先在平面直角坐標(biāo)系中做三角形ABC，以B為原點(diǎn)，BA和BC分別為x和y軸（自行畫圖）。則：

B(0,0)，A(2,0)，C(0,2√2)，O(0,√2)

kAO=(0-√2)/(2-0)=-√2/2

AO⊥BF?kBF=-1/kAO=-1/(-√2/2)=√2?BF：y=√2x

AC：y=(0-2√2)/(2-0)x+2√2=-√2x+2√2

聯(lián)立BF與AC得：F(1,√2)，則F為AC得中點(diǎn)

（求出F在AC上的位置后，建立空間直角坐標(biāo)系求出所有坐標(biāo)）

由于△ABC為RT△且O、F分別為BC、AC上的中點(diǎn)，故OF⊥BC且OF=1/2AB=1

以O(shè)為原點(diǎn)，OF、OC為x、y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中z軸垂直于平面ABC且由右手定則決定方向（自行畫圖），則：

O(0,0,0)，F(xiàn)(1,0,0)，C(0,√2,0)，B(0,-√2,0)，A(2,-√2,0)

由于△PBC為等腰△，且BC邊上的O為BC的中點(diǎn)，所以PO⊥BC，所以P只能在平面Oxz上

PO=√(PC^2-OC^2)=√((√6)^2-(√2)^2)=2

設(shè)PO與z軸的夾角為θ，則P(2sinθ,0,2cosθ)

則D(sinθ,-√2/2,cosθ)

DO=√((sinθ)^2+(-√2/2)^2+(cosθ)^2)=√(3/2)

AD=√((2-sinθ)^2+(-√2/2+√2)^2+(cosθ)^2)=√(11/2-4sinθ)=√5DO=√5×√(3/2)=√(15/2)

解得θ=-30°

則P(-1,0,√3)，D(-1/2,-√2/2,√3/2)，E(1/2,-√2/2,√3/2)

（至此，所有坐標(biāo)均已解出，現(xiàn)在可以帶入坐標(biāo)求解三問(wèn)了）

(1)面ADO的一條法向量：

n1=OA×OD=(2,-√2,0)×(-1/2,-√2/2,√3/2)=(-√6/2,-√3,-3√2/2)

EF·n1=(1/2,√2/2,-√3/2)·(-√6/2,-√3,-3√2/2)=-√6/4-√6/2+3√6/4=0

所以EF⊥n1，所以EF∥面ADO

(2)面BEF的一條法向量：

n2=BE×EF=(1/2,√2/2,√3/2)×(1,√2,0)=(-√6/2,√3/2,0)

n1·n2=(-√6/2,-√3,-3√2/2)·(-√6/2,√3/2,0)=3/2-3/2=0

所以n1⊥n2，所以面ADO⊥面BEF

(3)面AOC就是面Oxy，所以它的一條法向量為n3=(0,0,1)

二面角D-AO-C的正弦值，即為面ADO的法向量n1與面AOC的法向量n3所夾角φ的正弦值：

sinφ=|n1×n3|/(|n1||n3|)=|(-√6/2,-√3,-3√2/2)×(0,0,1)|/(|(-√6/2,-√3,-3√2/2)|*1)

=|(-√3,√6/2,0)|/|(-√6/2,-√3,-3√2/2)|=√2/2

總結(jié)：

2023全國(guó)乙卷的立體幾何題線段多，線面垂直關(guān)系不明顯，所以較為復(fù)雜。但依然可以較為自然地建立空間直角坐標(biāo)系，再通過(guò)已知條件求出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后運(yùn)用空間向量求出三個(gè)問(wèn)題。建系→求坐標(biāo)→求法向量→證平行/垂直 或者 求線線/線面/二面角，這是個(gè)非常直線的思維，從已知條件一路推到未知條件，不需要做輔助線運(yùn)用立體幾何公理做任何證明。所以這種方法是普通學(xué)生都可掌握的非常簡(jiǎn)單且靈活的方法。

補(bǔ)充：

向量的叉乘、外積、向量積：

向量a和b的叉乘得到的還是一個(gè)向量，大小為|a||b|sin<a,b>，方向垂直紙面，由右手定則確定。物理上有一個(gè)典型的應(yīng)用就是力×力臂=力矩。向量叉乘的行列式計(jì)算方法為（a=(l,m,n)，b=(x,y,z)）：

a×b=

|i j k|

|l m n|=(mz-ny)i+(nx-lz)j+(ly-mx)k=((mz-ny),(nx-lz),(ly-mx))

|x y z|

其中i j k分別為xyz方向的基向量（高中叫基底）對(duì)于i j k每一個(gè)方向的計(jì)算，其實(shí)就是下兩行里的一個(gè)十字相乘（可以自行動(dòng)手畫一下）。

求二面角夾角的正弦值：

由定義可知|a×b|=|a||b|sin<a,b>

所以sin<a,b>=|a×b|/(|a||b|)，不需要算出余弦值再換算正弦值