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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于ARIMA-ARCH / GARCH模型的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

時(shí)間序列分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)主要分支，主要側(cè)重于分析數(shù)據(jù)集以研究數(shù)據(jù)的特征并提取有意義的統(tǒng)計(jì)信息來(lái)預(yù)測(cè)序列的未來(lái)值

簡(jiǎn)介

時(shí)序分析有兩種方法，即頻域和時(shí)域。前者主要基于傅立葉變換，而后者則研究序列的自相關(guān)，并且使用Box-Jenkins和ARCH / GARCH方法進(jìn)行序列的預(yù)測(cè)。

本文將提供使用時(shí)域方法對(duì)R環(huán)境中的金融時(shí)間序列進(jìn)行分析和建模的過(guò)程。第一部分涵蓋了平穩(wěn)的時(shí)間序列。第二部分為ARIMA和ARCH / GARCH建模提供了指南。接下來(lái)，它將研究組合模型及其在建模和預(yù)測(cè)時(shí)間序列方面的性能和有效性。最后，將對(duì)時(shí)間序列分析方法進(jìn)行總結(jié)。

時(shí)間序列數(shù)據(jù)集的平穩(wěn)性和差異：

1.平穩(wěn)性：

對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)建模的第一步是將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)時(shí)間序列。這是很重要的，因?yàn)樵S多統(tǒng)計(jì)和計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法都基于此假設(shè)，并且只能應(yīng)用于平穩(wěn)時(shí)間序列。非平穩(wěn)時(shí)間序列是不穩(wěn)定且不可預(yù)測(cè)的，而平穩(wěn)過(guò)程是均值回復(fù)的，即它圍繞具有恒定方差的恒定均值波動(dòng)。此外，隨機(jī)變量的平穩(wěn)性和獨(dú)立性密切相關(guān)，因?yàn)樵S多適用于獨(dú)立隨機(jī)變量的理論也適用于需要獨(dú)立性的平穩(wěn)時(shí)間序列。這些方法大多數(shù)都假設(shè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的（或不相關(guān)的）。噪聲是獨(dú)立的（或不相關(guān)的）；變量和噪聲彼此獨(dú)立（或不相關(guān)）。那么什么是平穩(wěn)時(shí)間序列？

粗略地說(shuō)，平穩(wěn)時(shí)間序列沒(méi)有長(zhǎng)期趨勢(shì)，均值和方差不變。更具體地說(shuō)，平穩(wěn)性有兩種定義：弱平穩(wěn)性和嚴(yán)格平穩(wěn)性。

a.平穩(wěn)性弱：如果滿足以下條件，則稱時(shí)間序列{Xt，t∈Z}（其中Z是整數(shù)集）是平穩(wěn)的

b.嚴(yán)格平穩(wěn)：如果（Xt1，Xt2，...，Xtk）的聯(lián)合分布與（Xt1 + h，Xt2 + h）的聯(lián)合分布相同，則時(shí)間序列{Xt. ……Xtk + h），t∈Z}被認(rèn)為是嚴(yán)格平穩(wěn)的。?

通常在統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)中，平穩(wěn)性是指平穩(wěn)時(shí)間序列滿足三個(gè)條件的弱平穩(wěn)性：恒定均值，恒定方差和自協(xié)方差函數(shù)僅取決于（ts）（不取決于t或s）。另一方面，嚴(yán)格平穩(wěn)性意味著時(shí)間序列的概率分布不會(huì)隨時(shí)間變化。

例如，白噪聲是平穩(wěn)的，意味著隨機(jī)變量是不相關(guān)的，不一定是獨(dú)立的。但是，嚴(yán)格的白噪聲表示變量之間的獨(dú)立性。另外，由于高斯分布的特征是前兩個(gè)時(shí)刻，所以高斯白噪聲是嚴(yán)格平穩(wěn)的，因此，不相關(guān)也意味著隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

在嚴(yán)格的白噪聲中，噪聲項(xiàng){et}不能線性或非線性地預(yù)測(cè)。在一般的白噪聲中，可能無(wú)法線性預(yù)測(cè)，但可由稍后討論的ARCH / GARCH模型非線性預(yù)測(cè)。有三點(diǎn)需要注意：

?嚴(yán)格的平穩(wěn)性并不意味著平穩(wěn)性弱，因?yàn)樗恍枰邢薜姆讲?/p>

?平穩(wěn)性并不意味著嚴(yán)格的平穩(wěn)性，因?yàn)閲?yán)格的平穩(wěn)性要求概率分布不會(huì)隨時(shí)間變化

?嚴(yán)格平穩(wěn)序列的非線性函數(shù)也嚴(yán)格平穩(wěn)，不適用于弱平穩(wěn)

2.區(qū)別：

為了將非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，可以使用差分方法，從原始序列中減去該序列滯后1期：例如：

在金融時(shí)間序列中，通常會(huì)對(duì)序列進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后執(zhí)行差分。這是因?yàn)榻鹑跁r(shí)間序列通常會(huì)經(jīng)歷指數(shù)增長(zhǎng)，因此對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換可以使時(shí)間序列平滑（線性化），而差分將有助于穩(wěn)定時(shí)間序列的方差。以下是蘋果股票價(jià)格的示例：

?左上方的圖表是蘋果股票價(jià)格從2007年1月1日到2012年7月24日的原始時(shí)間序列，顯示出指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)。

?左下方的圖表顯示了蘋果股票價(jià)格的差分?？梢钥闯?，該系列是價(jià)格相關(guān)的。換句話說(shuō)，序列的方差隨著原始序列的級(jí)別增加而增加，因此不是平穩(wěn)的

?右上角顯示Apple的log價(jià)格圖。與原始序列相比，該序列更線性。

?右下方顯示了蘋果log價(jià)格的差分。該系列似乎更具有均值回復(fù)性，并且方差是恒定的，并且不會(huì)隨著原始系列級(jí)別的變化而顯著變化。

要執(zhí)行R中的差分，請(qǐng)執(zhí)行以下步驟：?

?讀取R中的數(shù)據(jù)文件并將其存儲(chǔ)在變量中

appl.close=appl$Adjclose?#在原始文件中讀取并存儲(chǔ)收盤價(jià)

?繪制原始股票價(jià)格

plot(ap.close,type='l')

?與原始序列不同

diff.appl=diff(ap.close)

?原始序列的差分序列圖

plot(diff.appl,type='l')

?獲取原始序列的對(duì)數(shù)并繪制對(duì)數(shù)價(jià)格

log.appl=log(appl.close)

?不同的log價(jià)格和圖

difflog.appl=diff(log.appl)

log價(jià)格的差分代表收益，與股票價(jià)格的百分比變化相似。

ARIMA模型：

模型識(shí)別：

通過(guò)觀察時(shí)間序列的自相關(guān)建立并實(shí)現(xiàn)時(shí)域方法。因此，自相關(guān)和偏自相關(guān)是ARIMA模型的核心。BoxJenkins方法提供了一種根據(jù)序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)圖來(lái)識(shí)別ARIMA模型的方法。ARIMA的參數(shù)由三部分組成：p（自回歸參數(shù)），d（差分?jǐn)?shù)）和q（移動(dòng)平均參數(shù)）。

識(shí)別ARIMA模型有以下三個(gè)規(guī)則：

?如果滯后n后ACF（自相關(guān)圖）被切斷，則PACF（偏自相關(guān)圖）消失：ARIMA（0，d，n）確定MA（q）

?如果ACF下降，則滯后n階后PACF切斷：ARIMA（n，d，0）,識(shí)別AR（p）

?如果ACF和PACF失效：混合ARIMA模型，需要區(qū)別?

注意，即使引用相同的模型，ARIMA中的差異數(shù)也用不同的方式書寫。例如，原始序列的ARIMA（1,1,0）可以寫為差分序列的ARIMA（1,0,0）。同樣，有必要檢查滯后1階自相關(guān)為負(fù)（通常小于-0.5）的過(guò)差分。差分過(guò)大會(huì)導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)偏差增加。

以下是Apple時(shí)間序列中的一個(gè)示例：

?左上方以對(duì)數(shù)蘋果股票價(jià)格的ACF表示，顯示ACF緩慢下降（而不是下降）。該模型可能需要差分。

?左下角是Log Apple的PACF，表示滯后1處的有效值，然后PACF截止。因此，Log Apple股票價(jià)格的模型可能是ARIMA（1,0,0）

?右上方顯示對(duì)數(shù)Apple的差分的ACF，無(wú)明顯滯后（不考慮滯后0）

?右下角是對(duì)數(shù)Apple差分的PACF，無(wú)明顯滯后。因此，差分對(duì)數(shù)Apple序列的模型是白噪聲，原始模型類似于隨機(jī)游走模型ARIMA（0,1,0）

在擬合ARIMA模型中，簡(jiǎn)約的思想很重要，在該模型中，模型應(yīng)具有盡可能小的參數(shù)，但仍然能夠解釋級(jí)數(shù)（p和q應(yīng)該小于或等于2，或者參數(shù)總數(shù)應(yīng)小于等于鑒于Box-Jenkins方法3）。參數(shù)越多，可引入模型的噪聲越大，因此標(biāo)準(zhǔn)差也越大。

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R語(yǔ)言ARMA-GARCH-COPULA模型和金融時(shí)間序列案例

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因此，當(dāng)檢查模型的AICc時(shí)，可以檢查p和q為2或更小的模型。要在R中執(zhí)行ACF和PACF，以下代碼：

?對(duì)數(shù)的ACF和PACF

acf.appl=acf(log.appl)pacf.appl=pacf(log.appl,main='PACF?Apple',lag.max=100

?差分對(duì)數(shù)的ACF和PACF

acf.appl=acf(difflog.appl,main='ACF?Diffe? pacf.appl=pacf(difflog.appl,main='PACF?D

除了Box-Jenkins方法外，AICc還提供了另一種檢查和識(shí)別模型的方法。AICc為赤池信息準(zhǔn)則，可以通過(guò)以下公式計(jì)算：

AICC = N?log（SS / N）+ 2（p + q + 1）?N /（N – p – q – 2），如果模型中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)

AICC = N?log（SS / N）+ 2（p + q + 2）?N /（N – p – q – 3），如果模型中為常數(shù)項(xiàng)

N：求異后的項(xiàng)目數(shù)（N = n – d）

SS：差平方和

p＆q：自回歸模型和移動(dòng)平均模型的順序?

根據(jù)這種方法，將選擇具有最低AICc的模型。在R中執(zhí)行時(shí)間序列分析時(shí)，程序?qū)⑻峁〢ICc作為結(jié)果的一部分。但是，在其他軟件中，可能需要通過(guò)計(jì)算平方和并遵循上述公式來(lái)手動(dòng)計(jì)算數(shù)字。當(dāng)使用不同的軟件時(shí)，數(shù)字可能會(huì)略有不同。

Model??AICc? 0?1?0??-6493? 1?1?0??-6491.02 0?1?1??-6493.02 1?1?1??-6489.01 0?1?2??-6492.84 1?1?2??-6488.89 2?1?0??-6491.1 2?1?1??-6489.14 2?1?2??-6501.86

基于AICc，我們應(yīng)該選擇ARIMA（2,1,2）。這兩種方法有時(shí)可能會(huì)得出不同的結(jié)果，因此，一旦獲得所有估計(jì)，就必須檢查和測(cè)試模型。以下是在R中執(zhí)行ARIMA的代碼：

?summary(arima212)

參數(shù)估計(jì)

要估算參數(shù)，請(qǐng)執(zhí)行與先前所示相同的代碼。結(jié)果將提供模型每個(gè)元素的估計(jì)。使用ARIMA（2,1,2）作為選定模型，結(jié)果如下：

?Series:?log.appl ARIMA(2,1,2) Coefficients: ?ar1?ar2?ma1?ma2 ?-0.0015?-0.9231?0.0032?0.8803 s.e.?0.0532?0.0400?0.0661?0.0488 sigma^2?estimated?as?0.000559:?log?likelihood=3255.95AIC=-6501.9?AICc=-6501.86?BIC=-6475.68

完整模型：

（Yt –Yt-1）= -0.0015（Yt-1 – Yt-2）-0.9231（Yt-2 – Yt-3）+0.0032εt-1+0.8803εt-2+εt

注意，當(dāng)執(zhí)行帶差分的ARIMA模型時(shí)，R將忽略均值。以下是Minitab的輸出：

Final?Estimates?of?Parameters Type?Coef?SE?Coef?T?P AR?1?0.0007?0.0430?0.02?0.988 AR?2?-0.9259?0.0640?-14.47?0.000 MA?1?0.0002?0.0534?0.00?0.998 MA?2?-0.8829?0.0768?-11.50?0.000 Constant?0.002721?0.001189?2.29?0.022 Differencing:?1?regular?difference Number?of?observations:?Original?series?1401,?after?differencing?1400 Residuals:?SS?=?0.779616?(backforecasts?excluded) ?MS?=?0.000559?DF?=?1395Modified?Box-Pierce?(Ljung-Box)?Chi-Square?statistic Lag?12?24?36?48 Chi-Square?6.8?21.2?31.9?42.0 DF?7?19?31?43 P-Value?0.452?0.328?0.419?0.516

請(qǐng)注意，根據(jù)我們編寫代碼的方式，R將對(duì)同一模型給出不同的估計(jì)。例如：arima（log.appl，order = c（2,1,2））

arima（difflog.appl，order?=?c（2,0,2））

從這兩條代碼行得出的ARIMA（2,1,2）的參數(shù)估計(jì)值在R中將有所不同，即使它引用的是同一模型。但是，在Minitab中，結(jié)果是相似的，因此對(duì)用戶的混淆較少。

診斷檢查

該過(guò)程包括觀察殘差圖及其ACF和PACF圖，并檢查L(zhǎng)jung-Box結(jié)果。

如果模型殘差的ACF和PACF沒(méi)有顯著滯后，則選擇合適的模型。?

殘差圖ACF和PACF沒(méi)有任何明顯的滯后，表明ARIMA（2,1,2）是表示該序列的良好模型。

此外，Ljung-Box測(cè)試還提供了另一種方法來(lái)仔細(xì)檢查模型。基本上，Ljung-Box是一種自相關(guān)檢驗(yàn)，其中它檢驗(yàn)時(shí)間序列的自相關(guān)是否不同于0。換句話說(shuō)，如果結(jié)果拒絕了假設(shè)，則意味著數(shù)據(jù)是獨(dú)立且不相關(guān)的；否則，序列中仍然存在序列相關(guān)性，需要修改模型。

Modified?Box-Pierce?(Ljung-Box)?Chi-Square?statistic Lag?12?24?36?48Chi-Square?6.8?21.2?31.9?42.0DF?7?19?31?43P-Value?0.452?0.328?0.419?0.516

Minitab的輸出顯示p值均大于0.05，因此我們不能拒絕自相關(guān)性不同于0的假設(shè)。因此，所選模型是Apple股票價(jià)格的合適模型之一。

ARCH / GARCH模型

盡管殘差的ACF和PACF沒(méi)有明顯的滯后，但是殘差的時(shí)間序列圖顯示出一些波動(dòng)性。重要的是要記住，ARIMA是一種對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行線性建模且預(yù)測(cè)保持不變的方法，因?yàn)樵撃Ｐ蜔o(wú)法反映最近的變化或合并新信息。換句話說(shuō)，它為序列提供了最佳的線性預(yù)測(cè)，因此在非線性模型預(yù)測(cè)中幾乎沒(méi)有作用。為了建模波動(dòng)，需要用到ARCH / GARCH方法。我們?nèi)绾沃浪P(guān)注的時(shí)間序列是否需要ARCH / GARCH？

首先，檢查殘差圖是否顯示任何波動(dòng)性。接下來(lái)，觀察殘差平方。如果存在波動(dòng)性，則應(yīng)使用ARCH / GARCH對(duì)系列的波動(dòng)性建模，以反映該系列中更多的近期變化和波動(dòng)。最后，平方殘差的ACF和PACF將有助于確認(rèn)殘差（噪聲項(xiàng)）是否獨(dú)立且可以預(yù)測(cè)。如前所述，嚴(yán)格的白噪聲不能線性或非線性地預(yù)測(cè)，而普通的白噪聲可能不能線性地預(yù)測(cè)但仍不能非線性地預(yù)測(cè)。如果殘差是嚴(yán)格的白噪聲，則它們與零均值，正態(tài)分布無(wú)關(guān)，并且平方殘差的ACF和PACF沒(méi)有明顯的滯后。

以下是平方殘差的圖：

?殘差平方圖顯示了某些時(shí)間點(diǎn)的波動(dòng)性

?滯后10時(shí)，PACF仍會(huì)截?cái)?，即使有些滯后仍然很?/p>

因此，殘差顯示了一些可以建模的模式。ARCH / GARCH對(duì)模型波動(dòng)率建模很有必要。顧名思義，此方法與序列的條件方差有關(guān)。ARCH（q）的一般形式：

res.arima212=arima212$ressquared.res.arima212=res.arima212^2

根據(jù)AICc選擇ARCH / GARCH階數(shù)和參數(shù)，如下所示：

AICC = -2?log+ 2（ q + 1）?N /（N? – q – 2），如果模型中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)

AICC = -2?log+ 2（ q + 2）?N /（N – q – 3），如果模型中為常數(shù)項(xiàng)

要計(jì)算AICc，我們需要將ARCH / GARCH模型擬合到殘差，然后使用R中的logLik函數(shù)計(jì)算對(duì)數(shù)似然。請(qǐng)注意，由于我們只希望對(duì)ARIMA模型的噪聲建模，因此我們將ARCH擬合到先前選擇的ARIMA模型的殘差，而不擬合原始序列或?qū)?shù)或差分對(duì)數(shù)序列。

Model?N?q?Log&likelihood?AICc&no&const?AICc&constARCH(0)?1400?0?3256.488?,6510.973139?,6508.96741ARCH(1)?1400?1?3314.55?,6625.09141?,6623.082808ARCH(2)?1400?2?3331.168?,6656.318808?,6654.307326ARCH(3)?1400?3?3355.06?,6702.091326?,6700.076958ARCH(4)?1400?4?3370.881?,6731.718958?,6729.701698ARCH(5)?1400?5?3394.885?,6777.709698?,6775.68954ARCH(6)?1400?6?3396.683?,6779.28554?,6777.262477ARCH(7)?1400?7?3403.227?,6790.350477?,6788.324504ARCH(8)?1400?8?3410.242?=6802.354504?=6800.325613ARCH(9)?1400?9?3405.803?,6791.447613?,6789.415798ARCH(10)?1400?10?3409.187?,6796.183798?,6794.149054GARCH(1,"1)?1400?2?3425.365?,6844.712808?,6842.701326

上面提供了恒定和非恒定情況的AICc表。請(qǐng)注意，從ARCH 1到ARCH 8 的AICc減少，然后在ARCH 9和ARCH 10中AICc增加。為什么會(huì)發(fā)生？表示我們需要檢查模型的收斂性，在前7種情況下，R中的輸出給出“相對(duì)函數(shù)收斂”，而ARCH 9和ARCH 10具有“假收斂”。當(dāng)輸出包含F(xiàn)alse收斂時(shí)，該模型的預(yù)測(cè)能力值得懷疑，我們應(yīng)該從選擇中排除這些模型；盡管GARCH 1,1的AICc也最低，但是該模型被錯(cuò)誤地收斂，因此被排除在外。ARCH 8是所選模型。

此外，我們?cè)诜治鲋羞€包括ARCH 0 ，因?yàn)樗梢杂米鳈z查是否存在任何ARCH效應(yīng)或殘差是否獨(dú)立。

執(zhí)行ARCH / GARCH模型的R代碼：

loglik08=logLik(arch08)summary(arch08)

注意，R不允許q = 0的階數(shù)，因此我們無(wú)法從R 獲得ARCH 0的對(duì)數(shù)似然? ；但是我們需要通過(guò)公式進(jìn)行計(jì)算：?.5?N?1 + log 2?pi?mean(x) ?2
N：相差后的觀測(cè)次數(shù)N = n – d
X：在此考慮的數(shù)據(jù)集情況，殘差
ARCH 8的輸出：

Call:Model:GARCH(0,8)Residuals:?Min?1Q?Median?3Q?Max-4.40329?-0.48569?0.08897?0.69723?4.07181Coefficient(s):?Estimate?Std.?Error?t?value?Pr(>|t|)?a0?1.472e-04?1.432e-05?10.282?<?2e-16?***a1?1.284e-01?3.532e-02?3.636?0.000277?***a2?1.335e-01?2.839e-02?4.701?2.59e-06?***a3?9.388e-02?3.688e-02?2.545?0.010917?*a4?8.678e-02?2.824e-02?3.073?0.002116?**a5?5.667e-02?2.431e-02?2.331?0.019732?*a6?3.972e-02?2.383e-02?1.667?0.095550?.a7?9.034e-02?2.907e-02?3.108?0.001885?**a8?1.126e-01?2.072e-02?5.437?5.41e-08?***---Signif.?codes:?0?‘***’?0.001?‘**’?0.01?‘*’?0.05?‘.’?0.1?‘?’?1Diagnostic?Tests:Jarque?Bera?Testdata:?ResidualsX-squared?=?75.0928,?df?=?2,?p-value?<?2.2e-16Box-Ljung?testdata:?Squared.ResidualsX-squared?=?0.1124,?df?=?1,?p-value?=?0.7374

除第六個(gè)參數(shù)外，所有參數(shù)的p“值均小于0.05，表明? 它們具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。此外，Box” Ljung檢驗(yàn)的p“值大于0.05，? 因此我們不能拒絕自相關(guān)的假設(shè)殘差的值不同于0。因此該模型足以表示殘差。
完整的ARCH 8模型：
ht = 1.472e-04 +1.284e-01ε2t“ 1 +1.335e-01ε2t” 2 +9.388e-02ε2t“ 3 + 8.678 e-02ε2t“ 4 +?
5.667e-02ε2t” 5 +3.972e-02ε2t“ 6 +9.034e-02ε2t” 7 +1.126e-01ε2t“ 8

ARIMA-ARCH / GARCH

在本節(jié)中，我們將比較ARIMA模型和組合的ARIMAARCH / GARCH模型的結(jié)果。如前所述，Apple Log價(jià)格序列的ARIMA和ARCH模型分別為ARIMA 2,1,2）和ARCH 8）。此外，我們還將查看Minitab的結(jié)果，并將其與R 的結(jié)果進(jìn)行比較。請(qǐng)記住，在將ARIMA擬合所需的差分序列時(shí)，R將排除常數(shù)。因此，我們先前從R生成的結(jié)果是ARIMA 2,1,2），沒(méi)有常數(shù)。使用預(yù)測(cè)函數(shù)，根據(jù)ARIMA 2,1,2）對(duì)系列進(jìn)行1步預(yù)測(cè)

Point?Forecast?Lo?95?Hi?951402?6.399541?6.353201?6.445882

ARIMA（2,1,2）– ARCH（8）的完整模型：

下表總結(jié)了所有模型，并在Excel中編輯和計(jì)算了點(diǎn)預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)區(qū)間：

??????95%?Confident?interval???? Model??Forecast??Lower??Upper??Actual?ARIMA(2,1,2)?in?R??6.399541?6.353201?6.445882?6.354317866?ARIMA(2,1,2)?in?Minitab?(constant)??6.40099?6.35465?6.44734???ARIMA(2,1,2)?in?Minitab?(no?constant)??6.39956?6.35314?6.44597???ARIMA(2,1,2)?+?ARCH(8)?in?R??6.39974330??6.35340330??6.44608430????ARIMA(2,1,2)?in?Minitab?(constant)?+ARCH(8)??6.40119230??6.35485230??6.44754230????ARIMA(2,1,2)?in?Minitab?(no?constant)? +ARCH(8)??6.39976230??6.35334230??6.44617230

將對(duì)數(shù)價(jià)格轉(zhuǎn)換為價(jià)格，我們獲得原始序列的預(yù)測(cè)：

??????95%?Confident?interval???? Model??Forecast??Lower??Upper??Actual?ARIMA(2,1,2)?in?R??601.5688544??574.3281943??630.1021821??574.9700003?ARIMA(2,1,2)?in?Minitab?(constant)??602.4411595??575.1609991??631.0215411????ARIMA(2,1,2)?in?Minitab?(no?constant)??601.5802843??574.2931614??630.1576335????ARIMA(2,1,2)?+?ARCH(8)?in?R??601.6905666??574.4443951??630.2296673????ARIMA(2,1,2)?in?Minitab?(constant)?+ARCH(8)??602.5630482??575.2773683??631.1492123????ARIMA(2,1,2)?in?Minitab?(no?constant)? +ARCH(8)??601.7019989??574.409355??630.28513

2012年7月25日蘋果發(fā)布了低于預(yù)期的收益報(bào)告，此公告影響了公司股價(jià)，導(dǎo)致該股票從2012年7月24日的600.92美元跌至2012年7月24日的574.97美元。公司發(fā)布正面或負(fù)面新聞時(shí)，這是經(jīng)常發(fā)生的意外風(fēng)險(xiǎn)。但是，由于實(shí)際價(jià)格在我們95％的置信區(qū)間內(nèi)并且非常接近下限，因此我們的模型似乎可以成功預(yù)測(cè)該風(fēng)險(xiǎn)。

需要注意的是，ARIMA（2,1,2）的95％置信區(qū)間比ARIMA（2,1,2）– ARCH（8）組合模型的置信區(qū)間寬。這是因?yàn)楹笳咄ㄟ^(guò)分析殘差及其條件方差（隨著新信息的出現(xiàn)而受到影響的方差）來(lái)反映并納入股價(jià)的近期變化和波動(dòng)。
那么如何計(jì)算ARCH（8）的條件方差ht？
?生成1步預(yù)測(cè)，100步預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)圖：

forecast212step1=forecast(arima212,1,level=95)

?計(jì)算ht，條件方差：

ht.arch08=arch08$fit[,1]^2?#使用擬合的第一欄

?生成對(duì)數(shù)價(jià)格，上限和下限95％的圖

plot(log.appl,type='l',main='Log?Apple,Low,High') lines(low,col='red') lines(high,col='blue')

為了計(jì)算ht，我們首先在一列中列出模型的所有參數(shù)，然后查找與這些系數(shù)關(guān)聯(lián)的殘差，將這些殘差平方，將ht系數(shù)乘以殘差平方，然后對(duì)這些數(shù)字求和以得出ht。例如，要估計(jì)點(diǎn)1402（我們的數(shù)據(jù)集有1401個(gè)觀測(cè)值），我們需要最后8天的殘差，因?yàn)槲覀兊哪Ｐ褪茿RCH（8）。以下是生成的表：

??????ht?coeff??res??squared?res??ht?components?const??1.47E-04???????????????????1.47E,04? a1??1.28E-01?,5.18E,03??2.69E,05??3.45E,06? a2??1.34E-01?4.21E,04??1.77E,07??2.37E,08? a3??9.39E-02?,1.68E,02??2.84E,04??2.66E,05? a4??8.68E-02?1.25E,02??1.57E,04??1.36E,05? a5??5.67E-02?,7.41E,04??5.49E,07??3.11E,08? a6??3.97E-02?8.33E,04??6.93E,07??2.75E,08? a7??9.03E-02?2.92E,03??8.54E,06??7.72E,07? a8??1.13E-01?9.68E,03??9.37E,05??1.05E,05? ?????????ht??2.02E,04

為了如上所述估計(jì)混合模型的1步預(yù)測(cè)和95％置信區(qū)間，我們使用從R或Minitab獲得的ARIMA預(yù)測(cè)，然后將ht添加到ARIMA預(yù)測(cè)中。記錄對(duì)數(shù)價(jià)格和條件方差：
?條件方差圖成功反映了整個(gè)時(shí)間序列的波動(dòng)性?高波動(dòng)性與股價(jià)暴跌的時(shí)期密切相關(guān)

價(jià)格的95％預(yù)測(cè)間隔：

對(duì)模型的最終檢查是查看ARIMA-ARCH模型的殘差的QQ圖，即et =εt/ sqrt（ht）=殘差/ sqrt（條件方差）。我們可以直接從R計(jì)算出來(lái)，然后繪制QQ圖以檢查殘差的正態(tài)性。以下是代碼和QQ圖：

qqline(archres)

該圖表明，殘差似乎大致呈正態(tài)分布，盡管有些點(diǎn)不在直線上。但是，與ARIMA模型的殘差相比，混合模型的殘差更接近正態(tài)分布。

結(jié)論

時(shí)域方法是分析金融時(shí)間序列的有用方法?；贏RIM-ARCH / GARCH模型的預(yù)測(cè)中有一些需要考慮的方面：
首先，ARIMA模型專注于線性分析時(shí)間序列，并且由于新信息的存在，它無(wú)法反映最近的變化。因此，為了更新模型，用戶需要合并新數(shù)據(jù)并再次估計(jì)參數(shù)。ARIMA模型中的方差是無(wú)條件方差，并且保持恒定。ARIMA適用于平穩(wěn)序列，因此，應(yīng)變換非平穩(wěn)序列（例如對(duì)數(shù)變換）。
此外，ARIMA通常與ARCH / GARCH模型一起使用。ARCH / GARCH是一種測(cè)量序列波動(dòng)性的方法，或更具體地說(shuō)，是對(duì)ARIMA模型的噪聲項(xiàng)建模的方法。ARCH / GARCH結(jié)合了新信息，并根據(jù)條件方差分析了序列，用戶可以使用最新信息來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)價(jià)值?；旌夏Ｐ偷念A(yù)測(cè)區(qū)間比純ARIMA模型的預(yù)測(cè)區(qū)間短。

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