第四章 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

第4節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

3、不同增長(zhǎng)函數(shù)的差異

• 常見函數(shù)模型的增長(zhǎng)速度

1、以y=2^x和y=2x為例

2、以y=lgx和y=1/10x為例

（一）y=2^x增長(zhǎng)速度越來越快，y=2x的增長(zhǎng)速度是一致的

（二）| k |越大，函數(shù)越“陡”

對(duì)不同函數(shù)增長(zhǎng)速度的思考

1、總結(jié)

2、三種函數(shù)的增長(zhǎng)速度的比較

（1）在區(qū)間(0,+∞)上，函數(shù)y=a^x(a＞1), y=logax(a＞1) 和 y=x^n( n＞0) 都是增函數(shù)，但增長(zhǎng)速度不同

（2）在區(qū)間(0,+∞)上隨著x的增大，函數(shù)y=a^x(a＞1) 的增長(zhǎng)速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 y=x^n(n＞0) 的增長(zhǎng)速度，而函數(shù) y=logax(a＞1) 的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來越慢

（3）存在一個(gè)x?，使得當(dāng)x＞x?時(shí)，有

logax＜x^n＜a^x

• 對(duì)指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的理解

1、一般地，指數(shù)函數(shù)y=a^x(a＞1)與一次函數(shù)y=kx(k＞0)相比，即使k的值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a的值，y=a^x的增長(zhǎng)速度最終都會(huì)大大超過y=kx的增長(zhǎng)速度

2、一般地，雖然對(duì)數(shù)函數(shù) y=logax(a＞1) 與一次函數(shù)y=kx(k＞0) 在區(qū)間上都單調(diào)遞增，但他們的增長(zhǎng)速度不同，隨著x的增大，一次函數(shù)y=kx(k＞0) 保持固定的增長(zhǎng)速度，而 對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a＞1) 的增長(zhǎng)速度越來越慢，不論a的值比k的值大多少，在一定范圍內(nèi)，logax 可能會(huì)大于 kx ，但由于 logax 的增長(zhǎng)最終會(huì)慢于 kx 的增長(zhǎng)，因此總會(huì)存在一個(gè) x?，當(dāng) x＞x? 時(shí)，恒有 logax＞kx

3、指數(shù)函數(shù)不像一次函數(shù)那樣按同一速度增長(zhǎng)，而是越來越快，呈爆炸性增長(zhǎng)

4、對(duì)數(shù)函數(shù)比較適合于描述增長(zhǎng)速度平緩的變化規(guī)律