歐幾里得48、不食人間煙火的數(shù)學家與直線思維的美

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數(shù)學上的“上界”是什么意思？——網(wǎng)友提問

“一個實數(shù)集合M，如果有一個實數(shù)S，使得M中任何數(shù)都不超過S，那么就稱S是M的一個上界?！本W(wǎng)友陳健聰smile回答。

…集、合、集合：見《歐幾里得31》…

…實、數(shù)、實數(shù)：見《歐幾里得37》…

…smile（英語）：v.（動詞）微笑；笑；微笑著說；微笑地表示；現(xiàn)出（笑容）

n.（名詞）微笑；笑容…

…陳健聰：可能是網(wǎng)友的真名…

…陳健聰smile：陳健聰?shù)奈⑿?；微笑的陳健聰?/p>

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詳細解釋下陳健聰smile的回答：

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一個實數(shù)集合M。

“‘一個實數(shù)集合M’，這是什么意思呢？”中學生說，“我們一點一點理解…”

“‘實數(shù)’的英語是real number，”中學生接著說，“‘real’意思是‘真實的；實際存在的’，‘number’意思是數(shù)字?！?/p>

…real：adj.（形容詞）真實的；實際存在的；非憑空想象的；真的；正宗的；非假冒的；非人工的；真正的；確實的

adv.（副詞）非常；很

n.實在；現(xiàn)實；實數(shù)…

…number：n.數(shù)字；數(shù)；數(shù)量；編號；序數(shù)；（電話、傳真等的）號碼

v.標號；給…編號；總計；共計；數(shù)以…計；把…算作；（被）歸入…

…real number：n.實數(shù)…

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“‘real number’合起來，意思是‘真實的數(shù)字，實際存在的數(shù)字’?！敝袑W生最后說。

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“‘集合M’，這又是什么意思？”中學生問。

“說起來，數(shù)學家非常懶：他們喜歡就地取材；他們從來不愿多想一下…”中學生說。

“在數(shù)學的歷史中，人們需要用字母表示數(shù)字，”中學生接著說，“奇懶無比的數(shù)學家，便用number里的字母表示數(shù)字…”

“n和m，是他們最常用的，表示數(shù)字的字母…”中學生繼續(xù)說。

[“我選擇n、m表示數(shù)字，不是因為我懶，而是因為——我看到n、m，就會想到number（數(shù)字）,”一位數(shù)學家說，“這叫‘直線思維’?！?/p>

…

“你永遠無法理解直線思維的美?！睌?shù)學家最后說。]

“數(shù)學家用m表示數(shù)字。”中學生最后說。

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“隨著時代發(fā)展，人們需要簡潔的表示‘一堆數(shù)’‘數(shù)的集合’…”中學生說，“需要簡潔的表示‘一堆數(shù)’‘數(shù)的集合’——最先產(chǎn)生這種需求的，是數(shù)學家?！?/p>

“奇懶無比的的數(shù)學家，再次懶出天際…”中學生接著說，“他們用大寫m（即M）表示‘數(shù)的集合’?！?/p>

“解決‘表示【數(shù)的集合】’需求時，數(shù)學家甚至不愿去找其它字母，”中學生繼續(xù)說，“這只是‘多思考一下’的勞動量，不需要花費時間、精力、錢，但數(shù)學家們就是不愿意?！?/p>

“數(shù)學家們，真是懶死了?！敝袑W生最后說。

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一個實數(shù)S。

“這個沒啥好解釋的，一個實數(shù)S就是一個實數(shù)S，”中學生說。

（“這里，‘S’表示某個實數(shù)，”中學生說。）

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M中任何數(shù)都不超過S。

“M是一個實數(shù)集合，例如{1，2，3，4，5}?！敝袑W生說。

“M里的任何數(shù)都不能大于S，滿足這個條件的S有很多…”中學生接著說，“我們還用剛才的例子說明?！?/p>

“對于{1，2，3，4，5}來說，S可以是5、6、7、8…”中學生繼續(xù)說，“1，2，3，4，5這五個數(shù)，都沒能大于5…”

“它們也沒能大于6、沒能大于7、沒能大于8…”中學生最后說。

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“對{1，2，3，4，5}這個集合來說，5、6、7、8…都是符合條件的S，”中學生說，“稱S是M的一個上界。”

“5是{1，2，3，4，5}的一個上界，6是{1，2，3，4，5}的一個上界，7是{1，2，3，4，5}的一個上界…等等?！敝袑W生接著說。

“‘一個實數(shù)集合M，如果有一個實數(shù)S，使得M中任何數(shù)都不超過S，那么就稱S是M的一個上界’，現(xiàn)在你理解這句話了吧？”中學生問。

“如果還不理解…我以后會用更通俗的話…講這個知識點?！敝袑W生最后說。

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“在所有這些上界中，如果有一個最小的上界，就稱它為M的上確界?！本W(wǎng)友陳健聰smile說。

…上、確、界：見《歐幾里得47》…

…上界：上面的界限；上面的范圍…

…上確界：（直譯）上面確定的界限…

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“陳健聰smile說的什么意思呢？我們繼續(xù)用前面的例子說明…”中學生說。

“對{1，2，3，4，5}這個集合來說，S可以是5、6、7、8…”中學生繼續(xù)說，“在5、6、7、8…這些上界中，5是最小的上界?！?/p>

“5就是M的上確界?！敝袑W生最后說。

“一個有界數(shù)集有無數(shù)個上界和下界，但是上確界卻只有一個，”陳健聰smile說。
…有界數(shù)集：有最大數(shù)（上確界）和最小數(shù)（下確界）的數(shù)集…

“我們還是用前面的例子說明…”中學生說，“{1，2，3，4，5}是個有界數(shù)集?！?br>“{1，2，3，4，5}這個集合的上界是：5，6，7，8…”中學生接著說，“就是說，{1，2，3，4，5}有無數(shù)個上界?！?br>“{1，2，3，4，5}雖然有無數(shù)個上界，但是它的上確界只有一個，就是5?！敝袑W生繼續(xù)說。
“‘一個有界數(shù)集有無數(shù)個上界和下界，但是上確界卻只有一個’，就是這個意思?！敝袑W生最后說。

“理解了‘上確界’，便能理解‘下確界’?！敝袑W生說。

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“實數(shù)理論中，有一條叫‘確界原理’的公理。”陳健聰smile說。

…陳健聰smile：網(wǎng)友名字。見《歐幾里得48》…

…實、數(shù)、實數(shù)：見《歐幾里得37》…

…理、論、理論：見《歐幾里得5》…

…確、界：見《歐幾里得47》…

…原、理、原理：見《歐幾里得41》…

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確界原理：設S為非空數(shù)集。若S有上界，則S必有上確界；若S有下界，則S必有下確界。

確界原理的另一種表達：有上界的非空數(shù)集必存在上確界；有下界的非空數(shù)集必存在下確界。

…數(shù)集：數(shù)的集合…

（…集、合、集合：見《歐幾里得31》…）

…空集：空的集合（不含任何元素的集合）…

…非空集合：至少含有一個元素的集合…

…非空數(shù)集：至少含有一個數(shù)的數(shù)集…

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…

…公、公理：見《歐幾里得1、2》…

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“匯知園：雖然是放在大學部分，其實其內(nèi)容非常容易理解。只是大學很多教材寫的不是很清楚。
（大學教材）基本都是用希臘字母做證明，而沒有圖示。這種確界，其實都是集合理論，而集合理論，小學生都是可以理解的。

請看下集《歐幾里得49、集合理論，小學生都是可以理解的》”

若不知曉歷史，便看不清未來

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