【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。?

第一章直線、角、平行線——平行線?

§1-13兩組對應(yīng)邊平行的角

【01】在一個平面內(nèi)取兩點(diǎn) P 和 Q（圖1·92），并且從這兩點(diǎn)向著相同的方向引射線 PA // QC，PB // QD? 。其中 ∠APB 和 ∠CQD 就是兩組對應(yīng)邊平行的角。我們來證明這兩個角相等。

【證】如圖中 PA // QC（已知），∴ ∠1＝∠P（平行線的同位角相等）。

????????又 PB // QD（已知），∴ ∠1＝∠Q（平行線的同位角相等）。∴ ∠P＝∠Q（等量代入）。

【02】如果我們將 ∠CQD 的兩邊從頂點(diǎn) Q 向外延長（圖1·93），就得到 ∠EQF＝∠CQD（對頂角），因而 ∠EQF＝∠P? 。

【03】角 P 和角 Q 的兩組對應(yīng)平行的邊的方向相同（圖1·89），而 ∠FQE 和 ∠APB 的兩組對應(yīng)平行的邊的方向相反（圖1·93）。

【04】由此得出：對應(yīng)邊互相平行的兩個角，如果從它們的頂點(diǎn)出發(fā)，兩組對應(yīng)邊的方向都相同或者都相反，這兩個角相等。

【05】在圖1·93中頂點(diǎn) Q 處還有兩個角，即 ∠EQC 和 ∠DQF，它們是對頂角因而相等，并且都是 ∠DQC 的補(bǔ)角，因此 ∠EQC＋∠DQC＝2d，∠DQF＋∠DQC＝2d? 。

【06】但 ∠DQC＝∠BPA（前面已證明），∴ ∠EQC＋∠BPA＝2d，∠DQF＋∠BPA＝2d? 。

【07】其中 ∠EQC 的一邊 QC 和 ∠BPA 的一邊 PA 方向相同，而這兩角的另一邊 QE 和 PB 的方向相反。

【08】同樣也可以說明，∠DQF 和 ∠BPA 的兩邊中有一邊的方向相同，另一邊的方向相反。

【09】由此得出：對應(yīng)邊互相平行的兩個角，如果從它們的頂點(diǎn)出發(fā)，一組對應(yīng)邊的方向相同，而另一組對應(yīng)邊的方向相反，則這兩個角的和等于 2d? 。

例1.已知 ∠ABC＝45°，過 ∠ABC 內(nèi)一點(diǎn) P 作 PE // AB，PF // CB，PH ⊥ AB（圖1·94）。求 ∠FPH? 。

【解】已知 PE // AB，PF?//?CB，可知 ∠EPF 和 ∠ABC 的兩組對應(yīng)邊平行且方向都相反，則有 ∠EPF＝∠ABC＝45°? 。

????????又 ∠EPH＋∠PHB＝180°（平行線的同旁內(nèi)角互補(bǔ)），

????????已知 PH ⊥ AB，可知 ∠PHB＝90°，∴ ∠EPH＝180°－∠PHB＝180°－90°＝90°? 。

????????但是? ∠FPH＝∠EPH－∠EPF，∴ ∠FPH＝90°－45°＝45°? 。

答：∠FPH＝45°? 。

例2.已知兩個角的對應(yīng)邊互相平行，并且這兩角的差是 90°，求這兩個角各是幾度？

【解】本例的兩角是互為補(bǔ)角。因?yàn)閮山堑膶?yīng)邊互相平行時，或者兩角相等，或者兩角互補(bǔ)，如果是相等，則它們的差是 0°，而不是 90°，因此斷定是互補(bǔ)的。

????????設(shè)這兩角的度數(shù)為 x 和 y，則有 x＋y＝180 (1)；x－y＝90 (2)? 。

????????我們解這方程組，由 (1)＋(2)，得 2x＝270，∴ x＝135，y＝45? 。

答：這兩角各為 135° 和45°? 。

習(xí)題1-13

1、已知兩個角的對應(yīng)邊互相平行，并且這兩角的差是 50°，求這兩個角各是幾度？【65°，115°】

2、“如果平面內(nèi)兩個銳角相等，那末它們的對應(yīng)邊互相平行”，你認(rèn)為這個說法對嗎？為什么？【不對】

3、如圖，巳知 P 是 ∠AOB 外的一點(diǎn)，以 P 為頂點(diǎn)作角使它和 ∠AOB 互補(bǔ)，并且使角的邊分別與 ∠AOB 的邊平行。這樣的角能作出幾個？

4、如果兩個角的一組邊是同向平行的，另一組邊是反向平行的，且知這兩角的度數(shù)之比是 5:31，求這兩角的度數(shù)?！?5°，155°】