大家好我是明鏡止水III（知乎id：茅子梭戰(zhàn)隊(duì)長(zhǎng)III），2021年全國(guó)大學(xué)生電子設(shè)計(jì)競(jìng)賽高頻組全國(guó)二等獎(jiǎng)。

今天我來討論一下2023年電賽B題??！

這應(yīng)該算是一個(gè)里程碑吧，我們電賽高頻類賽題，首次出現(xiàn)以“微波技術(shù)基礎(chǔ)”這門課的知識(shí)為核心內(nèi)容的賽題。嚴(yán)格來說，僅僅是微波技術(shù)基礎(chǔ)的第一章“傳輸線理論”里的內(nèi)容！只要你掌握了傳輸線的各種基本概念、基本參數(shù)、基本運(yùn)算以及史密斯圓圖的應(yīng)用，通過這題斬獲一個(gè)電賽大獎(jiǎng)并不是一件困難的事情。

簡(jiǎn)單概括一下，2023電賽B題，就是給了我們一根同軸線，讓我們?cè)诮K端開路的時(shí)候去測(cè)它的長(zhǎng)度。然后根據(jù)測(cè)出的長(zhǎng)度，判斷終端接了什么東西并去測(cè)量。

一、λ/4阻抗變換性和λ/2阻抗還原性

簡(jiǎn)單提一下長(zhǎng)線理論里的這一重要知識(shí)。 在微波傳輸線的長(zhǎng)線理論中，基爾霍夫那套集總參數(shù)電路的做法已經(jīng)完全崩壞——當(dāng)導(dǎo)波的波長(zhǎng)與線的長(zhǎng)度在物理上比擬時(shí)，同一導(dǎo)體上的電位分布在某一個(gè)固定的時(shí)刻不再恒等于固定值，而隨沿線的位置變化而變化。 打個(gè)比方，假如終端是開路，那么當(dāng)傳輸線足夠長(zhǎng)的時(shí)候，你可以在這根傳輸線上找出某個(gè)點(diǎn)，使得你以該點(diǎn)為始端接上去用之后，居然是短路的！！ 我們平常所使用的同軸線都是SMA接口的標(biāo)準(zhǔn)50Ω特性阻抗傳輸線，如下圖。

拿到這個(gè)題有一個(gè)困難，那就是同軸線的始端必須是一端口的（B題說明1里明確指出入射反射波并行處理）。就是說通過測(cè)量，我們自始至終只能獲得“混合信號(hào)輸出”這一個(gè)信息。有沒有什么辦法，既能利用這個(gè)信息推導(dǎo)出做題需要的條件，又能有辦法測(cè)出所需的數(shù)值呢？ 不難想到的是，根據(jù)已知的“終端開路”條件，我們可以利用 λ/4 阻抗變換性或是 λ/2 阻抗還原性，使用一種功分器（串聯(lián)分支或并聯(lián)分支），將我們的信號(hào)源和測(cè)量電路分離開來。

那我們到底是使用這兩種性質(zhì)中的哪一種呢？選用的功分器應(yīng)是串聯(lián)分支還是并聯(lián)分支呢？這是兩個(gè)需要結(jié)合起來考慮的問題。大家想想，如果我們?cè)谕S線始端開一個(gè)串聯(lián)支節(jié)，已知終端開路，如果我們輸出的頻率正好是 λ/2 ，那始端就開路，功分器的另一支節(jié)會(huì)因?yàn)殚_路而無信號(hào)輸出。反之，如果輸出的頻率正好是 λ/4 ，始端相當(dāng)于短路，支節(jié)會(huì)因通路而有信號(hào)輸出。同理，對(duì)于并聯(lián)支節(jié)，已知終端開路，如果我們輸出的頻率正好是 λ/2 ，那始端就相當(dāng)于開路，支節(jié)會(huì)有信號(hào)輸出。反之，頻率 λ/4 ，始端相當(dāng)于短路，支節(jié)也一樣短路，此時(shí)無信號(hào)輸出。你可以在草稿紙上畫張圖便于你理解。

有了以上設(shè)想，不難聯(lián)想到，我們需要一個(gè)掃頻源，把這個(gè)正好是 L=λ/4 （或 λ/2 ）的波長(zhǎng)找出來，交給測(cè)量電路進(jìn)行邏輯判斷和測(cè)量處理。不難想到無信號(hào)輸出的那一時(shí)刻更好捕獲（更便于進(jìn)行邏輯判斷），而我們更希望掃頻源的頻率比較低，所以傾向于選擇 L=λ/4 的情況，而這種情況對(duì)應(yīng)無信號(hào)輸出所需的支節(jié)應(yīng)是并聯(lián)支節(jié)。在測(cè)量電路的局部，我們可以將掃頻輸出的信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)檢波處理，將其轉(zhuǎn)化為電平，交由處理器進(jìn)行邏輯判斷。

審題知最長(zhǎng)測(cè)量長(zhǎng)度也就20m，最短1m，其四分之一波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的頻率分別是3.75MHz和75MHz。使用并聯(lián)T分支將傳輸線的始端分成兩路，一路掃頻輸出，另一路即為測(cè)量電路。 這里我以并聯(lián)T分支和 λ/4 阻抗變換性原理為基準(zhǔn)，設(shè)計(jì)一個(gè)符合題意的方案如下圖所示：

注意到題設(shè)5s測(cè)量限時(shí)，為了保險(xiǎn)，我們可以從3MHz掃頻到80MHz，每0.01s步進(jìn)0.2MHz掃頻輸出。使用DDS本振AD9954模塊，DDS的后級(jí)用寬帶電流反饋運(yùn)放OPA694設(shè)計(jì)一個(gè)放大器，放大15dB左右，盡可能使輸出的所有頻率的掃頻信號(hào)電壓峰峰值不小于6V，這樣包絡(luò)檢波后電平的幅度就不會(huì)小于3V。AD9954模塊的輸出已是50Ω ，但帶有直流分量，那么你在設(shè)計(jì)OPA694放大器的時(shí)候，要注意輸入和輸出一定要交流耦合（阻容耦合），并且輸入、輸出阻抗一定要嚴(yán)格50Ω 匹配。雖然這個(gè)“OPA694增益放大”模塊，在系統(tǒng)處于理想工作的狀態(tài)下它沒有作用，但是它實(shí)際上可以使我們對(duì)各種電平的測(cè)量更加方便，在減小誤差上有很大的作用。在文章的末尾我們還會(huì)討論到它。

由于本題沒有限制處理器，那么性能足夠的單片機(jī)、FPGA、樹莓派等處理器均可使用。盡量選擇響應(yīng)快、計(jì)算性能優(yōu)越的，因?yàn)樘幚砥鲗⒁幚硪恍┕降倪\(yùn)算，其中包括復(fù)數(shù)運(yùn)算和換算。文章以下簡(jiǎn)稱“處理器”。

我們先不看發(fā)揮部分。測(cè)量電路我們直接采用包絡(luò)檢波、濾波后送給處理器，寫個(gè)程序當(dāng)處理器接收到“0”的時(shí)候，立即記錄下當(dāng)前掃頻的頻率 f 并終止掃頻，再根據(jù) f=c/λ 計(jì)算出 λ （結(jié)果記得除4）。 c 是光速。當(dāng)然為了保險(xiǎn)你要記得查看同軸線里填充的介質(zhì)的參數(shù)，是不是 ε0 、 μ0。如果使用二極管檢波的話，建議用寬帶電壓反饋運(yùn)放OPA847做一個(gè)跟隨器接在包絡(luò)檢波的前面，以避免二極管反復(fù)導(dǎo)通截止對(duì)前級(jí)引起的不良影響。

本題對(duì)包絡(luò)檢波的性能提出了要求，要求包絡(luò)檢波輸出的帶尖刺的信號(hào)的峰峰值足夠小。最理想的情況是峰峰值接近0，即直接輸出純電平，這樣就可以去掉后級(jí)的低通濾波器，避免因使用濾波器而降低測(cè)量精度。不得不使用有源濾波器的話，注意你的有源濾波器不能在無激勵(lì)的時(shí)候有直流輸出，以及不能有增益和衰減。跟隨器要交流耦合、50Ω 的輸入輸出阻抗、無增益及衰減。以上這些細(xì)節(jié)直接影響測(cè)量精度，對(duì)于后文所有提到跟隨器+包絡(luò)檢波+濾波的模塊均要遵從以上原則。

為了更加方便和準(zhǔn)確的判斷“0”電平，可以在輸入處理器前加一級(jí)電壓比較器（如TLV3501），此時(shí)對(duì)“0”電平的判斷也可以改寫為對(duì)“下降沿”的判斷。

二、史密斯圓圖

我發(fā)現(xiàn)命題人故意設(shè)計(jì)了這樣一些條件，“長(zhǎng)度檢測(cè)”和“負(fù)載檢測(cè)”居然是分開兩個(gè)按鈕的！還有，涉及到“負(fù)載檢測(cè)”的地方，無一不是建立在“已經(jīng)完成長(zhǎng)度檢測(cè)且長(zhǎng)度不變”的基礎(chǔ)上！ 你說這是巧合，有人信嗎？這不正是方案設(shè)計(jì)的靈感來源！ 接下來，我們就要通過史密斯圓圖，來判斷終端不再開路時(shí)，接入的究竟是電阻還是電容。

在這里我就不科普史密斯圓圖的原理和用法了，有興趣的小伙伴自行查找資料學(xué)習(xí)。

當(dāng)終端開路時(shí)，終端在史密斯圖上的位置位于 A 點(diǎn)：

當(dāng)從終端向始端移動(dòng) λ/4 時(shí)，到達(dá) B 點(diǎn)：

此時(shí)箭頭上弧 AB 的長(zhǎng)度代表了波長(zhǎng)的四分之一，即我們測(cè)出的線長(zhǎng)。 下面討論當(dāng)終端不再開路時(shí)的情形，將它們進(jìn)行比對(duì)，以此確認(rèn)基礎(chǔ)部分（3）的做法。

①：如果接了一個(gè)電阻，由于其沒有電抗，且由題可知此電阻小于特性阻抗50Ω，因而它一定出現(xiàn)在電壓波節(jié)線的某點(diǎn) C 上，如圖所示：

當(dāng)移動(dòng) λ/4 后，它會(huì)出現(xiàn)在與原點(diǎn)中心對(duì)稱的位置 C′ 上，如圖：

無論如何移動(dòng)，它應(yīng)始終在屬于他自己的等反射系數(shù)圓上轉(zhuǎn)動(dòng)，不會(huì)達(dá)到短路點(diǎn)。此時(shí)測(cè)量電路包絡(luò)檢波后的結(jié)果應(yīng)永遠(yuǎn)無法得到“0”電平。

②：如果終端接的是電容（純電抗），那么它在史密斯圖上的位置就必然位于純電抗圓位于下半平面的某點(diǎn) D 上，這種情形下，就可以存在一個(gè)頻率 f′ ，使得掃頻達(dá)到該頻率時(shí)，包絡(luò)檢波輸出一個(gè)“0”電平。具體到史密斯圖上，就是 D 沿純電抗圓順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到了 D′ 點(diǎn)，而 D′ 點(diǎn)其實(shí)就是短路點(diǎn) B ?。?！如圖所示：

那么基礎(chǔ)部分（3）我們需要做的事情就很明確了！重復(fù)完全一樣的掃頻操作，然后由處理器判斷掃頻過程中，包絡(luò)檢波的輸出是否遇到了“0”電平，有，那就是電容，沒有，那就是電阻?。?/p>

三、反射系數(shù)與輸入阻抗的關(guān)系

發(fā)揮部分（1）（3）都是對(duì)細(xì)節(jié)上提出的要求，結(jié)合我們之前的設(shè)計(jì)方案，只要細(xì)節(jié)做得足夠好，都不會(huì)出問題。我們主要討論的，是重中之重，發(fā)揮部分（2）如何實(shí)現(xiàn)。?

我們首先看看電容如何測(cè)定。?

負(fù)載是電容時(shí)，從終端到始端一定是沿著純電抗圓順時(shí)針移動(dòng)的，它的反射系數(shù)模值為1，使得我們可以在移動(dòng)的過程中找到短路點(diǎn)和開路點(diǎn)，這就能使得我們的測(cè)量裝置檢測(cè)出“0”電平予以記錄，而我們?cè)谧龌A(chǔ)部分（2）的時(shí)候，還計(jì)算出了一個(gè)數(shù)值，那就是長(zhǎng)度L。當(dāng)終端開路時(shí)，我們接收到“0”電平時(shí)得到了一個(gè)測(cè)量長(zhǎng)度值 L 。

那么我們?cè)傧胂耄?dāng)終端是電容，且我們已經(jīng)判斷負(fù)載為電容時(shí)，假如我們重復(fù)同樣的操作得到另一個(gè)測(cè)量長(zhǎng)度值 L′ ，這個(gè) L′ 它有什么物理意義呢？這里我再次將兩站圖貼出來，大家比照一下，看看 L 和 L′ 究竟告訴了我們什么信息。

沒錯(cuò)，這個(gè) L′ 其實(shí)就是等于告訴了我們輻角！！ 定義歸一化長(zhǎng)度 ξ=L′/L ，那么 ∠DOD′ 的大小就等于 180°×ξ 了??！ 而純電抗圓的反射系數(shù)模值為1，自此我們得到了完全確定負(fù)載阻抗值的兩個(gè)必備要素——反射系數(shù)的模值和輻角。?

測(cè)量完畢，用我們著名的“反射系數(shù)與輸入阻抗的關(guān)系”公式，在處理器里直接計(jì)算出反射系數(shù)對(duì)應(yīng)輻角與反射系數(shù)模值1在史密斯圓圖上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的阻抗！

電容測(cè)量完畢！

四、λ/4阻抗乘積定律

解決完了電容的問題，接下來就是測(cè)量電阻了。 這個(gè)其實(shí)比起電容稍微難些，因?yàn)槭褂玫氖峭耆灰粯拥臏y(cè)量方法。我們找回前面看過的 C 和 C′ 的圖，繼續(xù)分析。

值得注意的是， C 所處的位置是電壓波節(jié)線（電壓最小），而 C′ 所處的位置是電壓波腹線（電壓最大）。而我們的同軸線始端和支節(jié)之間是并聯(lián)，也就是說同軸線始端電壓最大（小），那么支節(jié)輸出的（送給測(cè)量電路的）電壓就必然最大（?。?！

那我們?cè)趺慈y(cè)量和區(qū)分呢？?設(shè)終端負(fù)載的實(shí)際電阻是 R ，轉(zhuǎn)動(dòng) λ/4 后的電阻為 R′ ，同軸線特性阻抗為 R0 ，則關(guān)系可以表示為： R·R′=R0^2 ，這就是著名的λ/4 阻抗乘積定律。

某個(gè)時(shí)刻在支節(jié)上輸出的電壓應(yīng)與從同軸線始端看進(jìn)去的輸入阻抗的模值成正比。那么如果我們持續(xù)不斷的進(jìn)行基礎(chǔ)部分（2）里的掃頻，并且假設(shè)我們的掃頻源輸出的射頻信號(hào)電壓幅度不變，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)從支節(jié)輸出的射頻信號(hào)的電壓幅度值忽高忽低周期性變化。這是 C 點(diǎn)在屬于它自己的等反射系數(shù)圓（圖中灰色圓）上周期性轉(zhuǎn)動(dòng)的必然結(jié)果。

但是事實(shí)上我們根本不需要掃頻，也并不需要對(duì)掃頻源進(jìn)行穩(wěn)幅處理，我們只需要繼續(xù)使用我們測(cè)出 L 的那個(gè)頻率 f ，固定輸出這個(gè)頻率就行了，這就能確保傳輸線始端一直處在電壓波腹線（電壓最大處）上。 此時(shí)，始端位于 C′ 點(diǎn)，這是電壓最大的地方。我們包絡(luò)檢波，測(cè)出 C′ 點(diǎn)的電壓幅度 U′

然后，我們斷開掃頻源與并聯(lián)T分支之間的連接，將掃頻源輸出的信號(hào)，直接進(jìn)送進(jìn)包絡(luò)檢波測(cè)出其輸出的電壓幅度 U0 ，定義歸一化電阻 γ=R′/R0 ，那么以上各物理量必然滿足如下關(guān)系：

①： U′/U0=R′/R0=γ?

②： R·R′=R0^2

其中 R0=50Ω?，聯(lián)立該方程，即可解得 R 的值。

這里對(duì)公式①稍作解釋。由于前面分析過，傳輸線終端接一個(gè)小于特性阻抗的電阻，且長(zhǎng)度等于?λ/4 時(shí)，其在始端被等效為一個(gè)純電阻且阻值最大（因?yàn)樘幵陔妷翰ǜ咕€上），那么我們從掃頻源到同軸線的方向看進(jìn)去，U′?的測(cè)量電路與這個(gè)純電阻是并聯(lián)的。即對(duì)應(yīng)了前面我說的“某個(gè)時(shí)刻在支節(jié)上輸出的電壓應(yīng)與從同軸線始端看進(jìn)去的輸入阻抗的模值成正比”。

電阻測(cè)量方案如下圖所示。值得注意的是， U′ 和 U0 需要分開測(cè)量，不能讓兩路獨(dú)立的測(cè)量電路被并聯(lián)起來。因而我們需要用一個(gè)單刀雙擲電子開關(guān)，將二者的測(cè)量在時(shí)間上有所區(qū)分。自己設(shè)計(jì)程序，讓處理器控制電子開關(guān)來先后測(cè)量并存儲(chǔ) U′ ?和 U0 。原理如下圖所示。

自此，電阻測(cè)量的問題就轉(zhuǎn)化為了DC電壓的測(cè)量問題，準(zhǔn)備把你的大獎(jiǎng)抱回家吧！

五、結(jié)語、創(chuàng)新與誤差分析

總的來說這個(gè)題還是首次涉及到微波技術(shù)基礎(chǔ)里的傳輸線理論等內(nèi)容，硬件和軟件都不難實(shí)現(xiàn)，很基礎(chǔ)的一道題。但是這道題幾乎涵蓋了“傳輸線理論”中絕大部分重點(diǎn)知識(shí)，綜合性還是很強(qiáng)的。大家一定要重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，電賽將來也會(huì)陸續(xù)出現(xiàn)電磁場(chǎng)與電磁波、微波技術(shù)與天線等基礎(chǔ)課程的相關(guān)測(cè)量與實(shí)驗(yàn)電路問題。

其實(shí)我的這個(gè)設(shè)計(jì)方案，不但可以測(cè)量電容，也可以測(cè)量電感！我們測(cè)量并計(jì)算 ∠DOD′ 的時(shí)候，因?yàn)殡娙菀欢ㄌ幵谑访芩箞A圖的下半平面，那么 ∠DOD′ 的值就一定小于 180° 。當(dāng)它大于 180° 時(shí)，那他不就是電感了嗎！同理，我們的方案，去測(cè)量終端電阻值大于特性阻抗的電阻也完全可行！只不過就是從電壓波腹線變成電壓波節(jié)線罷了，仍然是純電阻，完全可行！

如果微波技術(shù)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)的很扎實(shí)的同學(xué)，在看到我這篇文章“測(cè)量電阻值”的方法的時(shí)候，其實(shí)已經(jīng)敏銳的注意到了，它的實(shí)質(zhì)其實(shí)是在測(cè)量反射系數(shù)的模值。當(dāng)我們的終端負(fù)載換為一個(gè)未知負(fù)載的時(shí)候（比如電容電阻并聯(lián)組合或電感電容串聯(lián)組合），那么這個(gè)負(fù)載在史密斯圖上的位置就完全不確定了。但是如果我們使用一模一樣的操作去計(jì)算我上面提到的歸一化阻抗 γ ，你發(fā)現(xiàn)它可以唯一確定反射系數(shù)的模值！即 γ=(1+|Γ|)/(1?|Γ|) 。因而我們的裝置可以測(cè)量任何負(fù)載組合的反射系數(shù)大?。。?/p>

那么對(duì)于發(fā)揮部分的創(chuàng)新部分，我們是不是可以自豪的說，我們做到了創(chuàng)新？

最后再來討論一下誤差分析。

我們B題，最核心最關(guān)鍵的一環(huán)就是基礎(chǔ)部分（2）對(duì)同軸線長(zhǎng)度的測(cè)定。

首先我們必須確認(rèn)一件事情，那就是射頻線路中的每一個(gè)模塊的前后級(jí)都嚴(yán)格滿足50Ω 阻抗匹配！具體到模塊上，首先AD9954是自帶50Ω 輸出阻抗的，那么你需要用矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀檢查OPA694放大器，OPA847跟隨器的輸入、輸出阻抗是否嚴(yán)格滿足50Ω 阻抗匹配，測(cè)量其S21觀察史密斯圖在掃頻頻率范圍內(nèi)（3~80MHz）是否嚴(yán)格位于史密斯圓圖上的匹配點(diǎn)O，以駐波比小于1.05為準(zhǔn)。如果你采用的DDS不是AD9954而是其他DDS或振蕩器，那就必須確認(rèn)你使用的DDS或振蕩器的輸出阻抗嚴(yán)格滿足50Ω 阻抗匹配。以上對(duì)阻抗匹配的要求至關(guān)重要，若不滿足，整個(gè)測(cè)量系統(tǒng)直接崩潰。但是，只要它們滿足了匹配且 L 的測(cè)定沒有問題，那么后續(xù)電容電阻的測(cè)量均不會(huì)出現(xiàn)問題。

確認(rèn)了射頻線路已經(jīng)滿足阻抗匹配后，如果用我的方案，測(cè)出來的長(zhǎng)度比實(shí)際長(zhǎng)度更大或是更小，該怎么辦呢？別急，這都是意料之中！

①：如果顯著的觀察到不論測(cè)量什么長(zhǎng)度，測(cè)量值 L 都比實(shí)際值要小

那說明處理器記錄的掃頻頻率 f 比我們需要的真實(shí)值要大。不難聯(lián)想到，由于題目限時(shí)了測(cè)量時(shí)間為5s以內(nèi)，我們掃頻輸出頻率的變化速度不可避免的比較快，那么如果從測(cè)量電路到處理器這一線路擁有一定的響應(yīng)延遲，出現(xiàn)這一現(xiàn)象也就不奇怪了。

解決思路：幾乎任何儀器的使用都需要校準(zhǔn)，我們的作品也一樣。多進(jìn)行幾組測(cè)試，估算出需要修正的頻率值，修改程序使得停止掃頻后我們所記錄的頻率要小于當(dāng)前的掃頻頻率。當(dāng)測(cè)量對(duì)的上號(hào)的時(shí)候，就說明測(cè)出的 f 是正確的。只要 f 正確了， L 就一定正確，后面測(cè)量的電阻電容（在確認(rèn)射頻線路已經(jīng)滿足阻抗匹配后）就一定正確。

②：如果顯著的觀察到不論測(cè)量什么長(zhǎng)度，測(cè)量值 L 都比實(shí)際值要大

考慮是“對(duì)‘0’電平的檢測(cè)”這一環(huán)節(jié)由于某些原因，過于超前了。不論你的“‘0’電平檢測(cè)線路”里是使用電壓比較器，還是直接采用ADC采樣判斷，都有很大的可能性是你對(duì)邏輯“0”的判斷所選取的基準(zhǔn)電壓太大了，使得電平幅度還沒有降到一個(gè)較為理想、接近0V的數(shù)值時(shí)，你的處理器就已經(jīng)將其判斷為邏輯“0”并予以記錄了。

解決思路：這里我們就可以大談特談“OPA694增益放大”的作用了。記得我前面提到了這么一句話：“雖然這個(gè)‘OPA694增益放大’模塊，在系統(tǒng)處于理想工作的狀態(tài)下它沒有作用，但是它可以使我們對(duì)各種電平的測(cè)量更加方便，在減小誤差上有很大的作用”。為什么它能減小測(cè)量誤差呢？正是因?yàn)楫?dāng)掃頻輸出的射頻信號(hào)的電壓峰峰值足夠大的時(shí)候，我們對(duì)“0”電平判斷所選取的基準(zhǔn)電壓也可以變得足夠大！這是一個(gè)相對(duì)的問題！比如，你的掃頻輸出的電壓峰峰值大概是6~8V，那么包絡(luò)檢波后電平的幅度大致就是3~4V。這時(shí)，你的ADC，或者電壓比較器TLV3501，就可以將基準(zhǔn)電壓選在30~50mV左右，低于這個(gè)數(shù)值去判“0”，測(cè)量結(jié)果應(yīng)當(dāng)是相當(dāng)精確的。