關(guān)于??是什么的問題，想必困擾過不少《量子》初學(xué)者。

最早了解這個(gè)符號還是高二的時(shí)候，當(dāng)時(shí)搞了一套《費(fèi)曼講義》，非常好看，其中前兩部給筆者的數(shù)學(xué)物理水平帶來極大的飛躍。但唯獨(dú)這第三部一直不敢花時(shí)間往后看，因?yàn)檫@一部在講的內(nèi)容就是量子力學(xué)。往后面瞄了一眼，只記得里面全是??這種奇怪的符號，心里知道量子對數(shù)學(xué)的要求絕對不低，所以身為高中生也不敢從頭看起，太燒時(shí)間。

后來陸陸續(xù)續(xù)看了一些費(fèi)曼，也看了一點(diǎn)點(diǎn)經(jīng)典的量子教材像 Sakurai, Shankar, 曾謹(jǐn)言。所有這些書，給我這個(gè)初學(xué)者的感覺就是并沒有給? 這個(gè)東西給出一個(gè)明確且統(tǒng)一的定義。

國外的量子教材和國內(nèi)相比切入點(diǎn)很不一樣，對我這樣的初學(xué)者的理解有不小的影響。筆者最早接觸的費(fèi)曼講義，在這種表達(dá)式首次出現(xiàn)時(shí)更是含糊其辭，只說這是系統(tǒng)從 psi 態(tài) 到 alpha 態(tài)的復(fù)振幅，讓人很難搞清楚它的本質(zhì)是什么。國外的教材通常會在量子的開始就引入態(tài)矢??的概念并介紹其運(yùn)算規(guī)則，讓我覺得是它是一個(gè)復(fù)的向量：

國外教材把它叫做ket，與它對偶的左矢被叫做bra。它們之間的點(diǎn)積運(yùn)算和向量的點(diǎn)積是一樣的(除了為了保證模長為正實(shí)數(shù)而給左矢每個(gè)元素取了復(fù)共軛)，更加堅(jiān)定了我認(rèn)為它是一個(gè)向量的想法。像費(fèi)曼講義和 Sakurai 就分別從自旋 1 和 1/2 系統(tǒng)的 Stern-Gerlach 實(shí)驗(yàn)開始作為態(tài)矢應(yīng)用的實(shí)例，這兩個(gè)系統(tǒng)還恰好都是離散的，態(tài)矢就可以當(dāng)向量看。

但是曾謹(jǐn)言的切入點(diǎn)不一樣，他從概率幅的角度引進(jìn)了波函數(shù)?, 并給出粒子出現(xiàn)在空間中某點(diǎn)的概率密度是?. 而費(fèi)曼講義也有一個(gè)類似的切入點(diǎn)，他從雙縫干涉實(shí)驗(yàn)開始，首次引入復(fù)振幅??來表征雙縫干涉中光屏上位置 x 接收到光子的概率。在這些場景里波函數(shù)似乎是一個(gè)關(guān)于空間坐標(biāo)的函數(shù)。

總之，不同的教材從不同的實(shí)驗(yàn)開始引入??，導(dǎo)致筆者一時(shí)間搞不清楚它到底應(yīng)該是個(gè)向量還是一個(gè)函數(shù)。不同的教材之間出現(xiàn)了一層無形的勢壘，阻止我把它們的知識聯(lián)系起來。

轉(zhuǎn)折還是出現(xiàn)在筆者翻高代，想提高一下數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，然后在看線性空間的內(nèi)容時(shí)，突然意識到一件事...

初看這定義，和向量空間的定義差不多。但是仔細(xì)看，里面根本沒有對線性空間中的元素是什么作出具體要求，只要滿足那幾條線性的運(yùn)算規(guī)律就可以了。

那么，n 維向量可以構(gòu)成線性空間，其他的就不行嗎？

比如說，實(shí)數(shù)域上的全體一元函數(shù)?, 定義加法運(yùn)算 ?滿足

那么兩個(gè)實(shí)數(shù)域上的一元函數(shù)任意的線性組合顯然還是一元函數(shù)，所以實(shí)數(shù)域上所有一元函數(shù)也和向量一樣，構(gòu)成一個(gè)線性空間。換句話說，從更抽象的層面看，向量和函數(shù)可以說是一個(gè)東西。函數(shù)是無限維的向量，向量是離散的函數(shù)。我們甚至可以類比地定義函數(shù)的點(diǎn)乘：

根據(jù)這種思想，容易得到函數(shù)的柯西不等式：

既然這樣，是什么也就不用糾結(jié)了——既可以是離散的向量，也可以是連續(xù)的函數(shù)。都是一樣的。

說到這里，想起來一個(gè)問題：

向量空間里面有一種概念叫基，說的是這樣一組向量

使得向量空間的任意向量可以唯一地表示為它們的線性組合：

我們可以為向量選取不同的基，比如說 就是三維空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

既然函數(shù)也具有向量的一些特性，那么向量可以選擇不同的基表示，函數(shù)可以嗎？

其實(shí)也是可以的。還以??上的一元函數(shù)為例，傅里葉變換：

就可以看作在標(biāo)準(zhǔn)正交基??與??之間的變換。

(向量的基是向量，函數(shù)看作向量的話，基當(dāng)然也是函數(shù)。函數(shù)普通表示的話基就是δ函數(shù)，變換之后的基就是 exp(i ωx) 了。)

比如說如果向量空間中我們?nèi)〉氖且唤M標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么對應(yīng)的系數(shù)就可以簡單由??得到。對比傅里葉變換的表達(dá)式和前面提到的函數(shù)的點(diǎn)積，有沒有覺得很像？

之前同樣造成過困惑的概念是 Operator, 算符。在把??看作向量的時(shí)候，Operator 的作用規(guī)律就可以看作矩陣；而對于從概率幅引入的波函數(shù)?，Operator 則是一個(gè)作用于函數(shù)的算符。

所以 Operator 到底應(yīng)該是算符還是矩陣？

事實(shí)上如果向量和函數(shù)可以看作一樣的東西，算符和矩陣也同樣可以看作一樣的東西。它們都是對 的一種操作。比如說，x方向的動量算符：

它作用于波函數(shù)，而如果波函數(shù)可以看作向量，則它就完全可以看作矩陣

的無限維的極限。（回憶一下導(dǎo)數(shù)的定義，它反映的就是函數(shù)上非常接近的兩點(diǎn)之間的差值。）

（啊，上面這個(gè)矩陣好像不是厄米的...但是總之就是差不多這個(gè)意思了就對了）

就是說，算符和矩陣，也是一樣的東西，都是對波函數(shù)的某種特定操作。

總結(jié)

上面主要討論了一些關(guān)于連續(xù)與離散的線性體系的一些思考。

其實(shí)很多也就是自己的一些想法，有不準(zhǔn)確之處還請指正。