極大理想與局部環(huán)

基本結(jié)論

任何非零環(huán)都存在極大理想

有如下擴(kuò)充關(guān)系：非單位→真理想→極大理想（極大/素/真理想中一定不含單位）

特別地，非零諾特環(huán)存在極大理想（證明可以不依賴Zorn引理）

局部環(huán)等價定義

對于非零環(huán)

1. 存在唯一的極大理想
2. 非單位全體構(gòu)成理想（即存在理想等于A\Ax，易證其一定是極大理想）
3. 非單位對加法封閉
4. 所有元素x，要么x是單位，要么1-x是單位
5. 存在極大理想m，1+m中元素 都是單位

證明：

• 1→2：任取非單位x，其主理想一定擴(kuò)充成那個唯一的極大理想
• 2→1：所有真理想都不能含單位，故都包含于A\Ax
• 2→3：顯然
• 3→2：非單位乘上環(huán)中任意元素還是非單位
• 3→4：x + (1 - x)是單位
• 4→5：對任取極大理想m中元素x都有-x是非單位
• 5→2：設(shè)非單位x不在m中，則m+(x)=(1)，則存在y，使xy=1+m是單位，從而x是單位，矛盾

局部化

若p是理想，則p是素理想等價于p的補(bǔ)集是乘性子集S，但一般S的補(bǔ)可以不是理想，如S=<x>={1,x,x^2...}是單邊的

環(huán)A商掉素理想p的補(bǔ)集即A/(A-p)成為局部環(huán)，p/(A-p)是其唯一極大理想