一、幾何部分的證明

求積儀，顧名思義就是測量區(qū)域面積的儀器，由于我的百度百科不知為何崩潰了一周，我又在維基百科上找到了介紹：

下面的六幅圖中，第一排第一張是球面（極點）求積儀、第四張是線性求積儀、第二排第二張是斧狀求積儀
我們先大概介紹一下求積儀的工作原理
大體來看，求積儀測量面積的過程實際上就是一個“長桿”在平面上掃動，這個掃動的過程我們可以用下面這張圖來表示：

圖中的左半部分是長桿左端掃過的區(qū)域，右半部分是長桿右段掃過的區(qū)域，由基本的割補原理，可以得到下面這個重要結論：

此時的S掃為長桿掃過的面積（理解為單次）
接著我們分解這個掃動的運動
很明顯，桿的運動可以分解為平動和轉動，其中，我們定義有向面積，即桿在沿其正法向方向運動時面積為正，反之為負，由此可以得到下面這個重要結論：

其中R是桿法向方向的距離，L為桿的長度
下面來說轉動：有向面積的定義類似，由此，我們可以得到下面的式子：

其中，θ為轉動角度，l為桿長
如果我們將桿的整體運動分解，將其所有法向移動視為f，轉動角度視為g，由此我們得到下面的式子：

最后的等號是因為，當求積儀為有約束的求積儀時，左端的移動距離最終為0，亦即θ經過正負向疊加為0，這就是求積儀的工作原理
那么對于斧狀求積儀又是怎樣的呢？
斧狀求積儀并不滿足左端閉合的情況，此時，我們只需反向再繞一圈，此時，左端的運動軌跡為閉合曲線，也就滿足了上述條件，但是對于其產生的誤差，可以用下面的式子表示：

σ表示重端的位移，顯然，在L充分大，重端與輕端質量差充分大時，逆時針與順時針的差可以忽略，法向位移等于重端位移，由此也證明了斧狀求積儀的使用原理

二、代數部分的證明

本篇僅以有約束軸的求積儀為例來證明
先給出咱們的兩個主角：極點求積儀和線性求積儀

左邊的是線性求積儀，右邊的是極點求積儀，我畫了兩個更形象一點的圖：

這是極點求積儀，L是桿長

這是線性求積儀，L同樣是桿長
事實上，我們可以將二者做一個統(tǒng)一，本質上，是左端受到約束曲線的約束，導致最終左端位移為0，我們用下圖來表示：

圖中（a，b）為左端坐標，（x，y）為右段坐標，L為桿長，那么運用格林公式，可以得到下面的推導過程：

當然，使用格林公式的“向量形式”也可以很好地解釋這個問題
由此，我們使用代數工具證明了有約束軸的求積儀的原理
另外地，如果使用閉合曲線的轉化方式，也可以將斧狀求積儀的證明轉化到這個上，其中法向位移近似等于重端位移即可，留給同學們自行探究?。ó斎粸榱藝乐?，可以用曳物線來近似）