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Python練手：想在做數(shù)學(xué)題的時(shí)候摸魚嗎？

舉個(gè)例子，這是《高等數(shù)學(xué)》（同濟(jì)大學(xué)版）中的一道課后練習(xí)題（1998年，數(shù)學(xué)三真題），不妨來一起解一下這道題吧。

首先，根據(jù)題意，結(jié)合旋轉(zhuǎn)體體積公式，列出等式：

稍作化簡(jiǎn)，即得：

兩邊分別求導(dǎo)，得到一個(gè)微分方程：

將這個(gè)微分方程化成帶有的形式，并將移到等式左側(cè)：

之后，就可以使用程序來解這個(gè)微分方程了，

所以，求得為微分方程的通解為：

然后，使用程序化簡(jiǎn)一下這個(gè)表達(dá)式

化簡(jiǎn)后的表達(dá)式為：

將代入上式，使用代碼解方程：

解得C=1。

于是，所求最終的解為：

最后，我們來對(duì)照一下給出的標(biāo)準(zhǔn)答案解題步驟。

相比于標(biāo)準(zhǔn)答案的換元、分離變量等操作，我們只需要幾句代碼就可以一步求解出微分方程的通解，代入特值的方程也可以使用代碼一步求解。

由此可見，我們?cè)谧鰯?shù)學(xué)題的時(shí)候，還是可以在一定程度上使用代碼來摸魚的，那些乏味的解方程、化簡(jiǎn)的過程，就直接交給電腦去做吧。當(dāng)然，一般情況下，還是建議大家手動(dòng)計(jì)算，畢竟是要鍛煉計(jì)算能力的，代碼只是起到輔助作用，建議大家只在驗(yàn)算答案的時(shí)候使用代碼輔助計(jì)算，而不是完全依靠電腦為我們解題運(yùn)算。

記得有一次上課小測(cè)驗(yàn)，老師有事沒來上課，讓課代表發(fā)了一張全是定積分的練習(xí)題，要求我們盡快做完，只寫結(jié)果就行，然后就默默拿出手機(jī)打開瀏覽器，找了個(gè)帶有sympy庫的python在線編譯環(huán)境，然后就...你懂得...

如果想要在做數(shù)學(xué)題的時(shí)候摸魚，那不妨來試試使用Python解方程、化簡(jiǎn)多項(xiàng)式、求極限、微積分、計(jì)算矩陣吧。

雖然，對(duì)于數(shù)學(xué)運(yùn)算來說，我們或許可以選擇更加專業(yè)的工具，比如matlab、mathematica等軟件，但是，python依然具備這些專業(yè)軟件不具備的優(yōu)勢(shì)。

python開源免費(fèi)，占用體積小，隨用隨取，比專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件更加自由靈活輕便。如果想要在做數(shù)學(xué)題的時(shí)候摸魚，大可不必使用付費(fèi)的專業(yè)數(shù)學(xué)軟件。而且，學(xué)習(xí)使用python的數(shù)學(xué)運(yùn)算，也可以讓我們?cè)谝院蠓治銎渌麊栴}的時(shí)候大展身手。結(jié)合python爬取數(shù)據(jù)的優(yōu)勢(shì)，我們也可以快速部署各種研究項(xiàng)目。

本人非專業(yè)程序員，本文如有不足，還請(qǐng)海涵。

基礎(chǔ)知識(shí)：數(shù)學(xué)運(yùn)算符

在正式開始之前，不妨先來了解一下Python當(dāng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算符（常用的算術(shù)運(yùn)算）。

① 加法 ：+

② 減法：-

③ 乘法：*

④ 除法：/

⑤ 取余：%

⑥?整除：//

⑦ 乘方：**

常用數(shù)學(xué)函數(shù)：math庫

本文的主角是sympy函數(shù)庫，但在講解sympy函數(shù)庫之前，各位最好先了解一下Python自帶的math庫函數(shù)內(nèi)容，這樣有利于打基礎(chǔ)。當(dāng)然，如果各位對(duì)這部分不感興趣，也可以直接跳過，將文章下滑到sympy部分。

首先，需要導(dǎo)入math函數(shù)庫。（math庫是Python自帶的一個(gè)函數(shù)庫，主要包含基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)與常數(shù)。）

求絕對(duì)值，例如|-2|。

以上兩種寫法都是可以的，輸出結(jié)果都是2。第一種方法是Python核心庫自帶的函數(shù)，第二種方法則是調(diào)用math函數(shù)庫中的函數(shù)。

求開平方，例如求?。

以上兩種寫法都是可以的，輸出結(jié)果都是1.4142135623730951。第一種方法使用的是乘方的算法，開平方，其實(shí)就是計(jì)算一個(gè)數(shù)的0.5次方。

求階乘，例如求 5！。

輸出結(jié)果為120。

取整，例如對(duì)2.33和-2.33分別向上、向下取整。

首先是向上取整，這兩行代碼分別輸出3，-2。

接著是向下取整，這兩行代碼分別輸出2，-3。

四舍五入，例如對(duì)2.33333和6.66666分別進(jìn)行四舍五入，保留小數(shù)點(diǎn)后2位。

兩行代碼分別輸出2.33和6.67。這里的round函數(shù)是Python核心庫的函數(shù)，非math庫函數(shù)。

數(shù)學(xué)常數(shù)，一些具有代表性的常量。

使用好這些常量很重要，因?yàn)槟承┨囟ǖ暮瘮?shù)中需要使用到它們。

三角函數(shù)，例如分別計(jì)算的正弦、余弦值，的正切值。

由于計(jì)算精度的問題，所以這三行代碼分別返回1.0，6.123233995736766e-17（6.123233995736766×10的-17次方），0.9999999999999999。

只需要使用四舍五入函數(shù)進(jìn)行結(jié)果近似即可，近似后返回1.0，0.0，1.0。

反三角函數(shù)，例如分別求1的反正弦、反余弦、反正切值。

三行代碼分別返回小數(shù)形式的結(jié)果，依次為1.5707963267948966（接近π/2），0.0，0.7853981633974483（接近π/4）。

反余弦值，結(jié)果范圍在0到π之間。

反正弦值，結(jié)果范圍在-π/2到π/2之間。

反正切值，結(jié)果范圍在-π/2到π/2之間之間。

值得注意的是，math函數(shù)庫中的反三角函數(shù)只能返回小數(shù)形式的結(jié)果，如果想要返回π/n的形式的結(jié)果，則需要使用sympy函數(shù)庫，別著急，我們會(huì)在下文介紹它。

冪函數(shù)，例如求。

這3種寫法都是可以的，其中前2種寫法會(huì)返回8，第3種則會(huì)返回8.0。

自然冪函數(shù)，例如求。

第1句代碼會(huì)返回7.38905609893065，這通常比math.e**2或pow(math.e,2)更精確。

對(duì)數(shù)函數(shù)，例如求，，。

math.log(y,x)是通用的對(duì)數(shù)函數(shù)形式，用于表示。

當(dāng)僅賦予math.log函數(shù)一個(gè)參數(shù)時(shí)，就會(huì)默認(rèn)底數(shù)為自然常數(shù)e。

使用專門的math.log2(x)與math.log10(x)函數(shù)要比math.log(x,2)與log(x,10)的運(yùn)算結(jié)果更加精確。

至此，本文已經(jīng)簡(jiǎn)單地介紹了math庫的常用數(shù)學(xué)函數(shù)，如果有小伙伴想要了解完整的math函數(shù)庫內(nèi)容，請(qǐng)自行訪問：

https://docs.python.org/zh-cn/3/library/math.html

分?jǐn)?shù)運(yùn)算：fractions庫

在做數(shù)學(xué)題的時(shí)候，我們經(jīng)常會(huì)遇到分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算，而一般的計(jì)算器程序只會(huì)輸出小數(shù)結(jié)果，這讓我們非常不爽。于是，我們來嘗試一下使用Python進(jìn)行分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。

首先，導(dǎo)入fractions函數(shù)庫，這是一個(gè)涉及分?jǐn)?shù)運(yùn)算的函數(shù)庫。

然后，使用Fraction函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)分?jǐn)?shù)。比如，創(chuàng)建一個(gè)值為1/2的分?jǐn)?shù)。

以上創(chuàng)建分?jǐn)?shù)的3種方法均可：第一種是直接輸入數(shù)字形式的分子與分母，使用2個(gè)參數(shù)；第二種是輸入文本形式的分?jǐn)?shù)，記得加引號(hào)；第三種是輸入小數(shù)形式的數(shù)字，會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)。

了解如何創(chuàng)建分?jǐn)?shù)以后，我們就可以進(jìn)行各種分?jǐn)?shù)的運(yùn)算了，比如計(jì)算114/514+514/114。

程序的輸出結(jié)果為Fraction(69298, 14649)，也就是69298/14649。

前期準(zhǔn)備：符號(hào)運(yùn)算SymPy與IDE工具Jupyter

SymPy 是一個(gè)由 Python 語言編寫的符號(hào)計(jì)算庫。什么是符號(hào)計(jì)算 ？處理數(shù)學(xué)對(duì)象的計(jì)算稱為符號(hào)計(jì)算。在符號(hào)計(jì)算中，數(shù)學(xué)對(duì)象是精確表示的，而不是近似的，未計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式會(huì)以符號(hào)形式保留。

還記得我們?cè)谏衔恼f的反三角函數(shù)嗎？不如來比較一下math庫與sympy庫函數(shù)的計(jì)算結(jié)果吧。

除了精確表示以外，sympy還可以進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，這對(duì)我們求解方程非常方便。

然而，Python自帶的核心函數(shù)庫中并不包括SymPy，因此，我們需要使用pip命令額外安裝一下sympy函數(shù)庫。

按下Win+R鍵，輸入“cmd”，打開“命令提示符”，輸入“pip install sympy”，按下回車鍵，等待命令執(zhí)行完成。

由于在做數(shù)學(xué)題的時(shí)候，我們需要反復(fù)計(jì)算，因此，我們最好使用一個(gè)具備良好的交互性和記錄功能的IDE工具，這里推薦使用Jupyter Notebook。

IDE是什么？集成開發(fā)環(huán)境是用于提供程序開發(fā)環(huán)境的應(yīng)用程序，一般包括代碼編輯器、編譯器、調(diào)試器和圖形用戶界面等工具。集成了代碼編寫功能、分析功能、編譯功能、調(diào)試功能等一體化的開發(fā)軟件服務(wù)套。說句人話：IDE是寫代碼的工具。

按下Win+R鍵，輸入“cmd”，打開“命令提示符”，輸入“pip install jupyter”，按下回車鍵，等待命令執(zhí)行完成。

之后，我們新建一個(gè)文件夾，打開這個(gè)文件夾，來到這個(gè)文件夾目錄下。（之后我們?cè)贘upiter Notebook中編寫的代碼記錄都會(huì)保存在這個(gè)文件夾里。）

在資源管理器的地址欄輸入“cmd”，按下回車鍵，會(huì)彈出一個(gè)命令提示符窗口。

在這個(gè)黑色的窗口中，輸入“jupyter notebook”，按下回車鍵，等待命令執(zhí)行完成。

之后會(huì)使用默認(rèn)瀏覽器打開一個(gè)網(wǎng)頁，這里就是我們編寫代碼的環(huán)境了。點(diǎn)擊右上角的New，然后選擇Python3新建一個(gè)文件即可。

在方框中輸入代碼，然后點(diǎn)擊上方的“運(yùn)行”按鈕就可以運(yùn)行代碼了。（快捷鍵Ctrl+Enter）

當(dāng)然，如果各位嫌麻煩，也可以直接使用Python自帶的IDLE。

也有網(wǎng)友會(huì)問到，為什么不使用PyCharm等更加專業(yè)的IDE工具呢？這就好像在問，為什么剔牙的時(shí)候要用竹簽而不是用竹竿呢？PyCharm適合開發(fā)比較大的項(xiàng)目，它占用內(nèi)存太大了，對(duì)電腦要求較高，容易卡頓；而Jupiter Notebook輕便靈活，占用體積小，最重要的是，它會(huì)保存你輸入的代碼以及運(yùn)行的結(jié)果，方便以后回顧查看，對(duì)于數(shù)學(xué)研究類項(xiàng)目來說非常好用。

打好基礎(chǔ)，做好準(zhǔn)備工作，接下來我們開始正式講解Python中常見的數(shù)學(xué)運(yùn)算中的科學(xué)計(jì)算功能。本文將會(huì)以舉例的形式進(jìn)行講解。

首先，依舊是需要導(dǎo)入sympy函數(shù)庫。

以上三種導(dǎo)入函數(shù)庫的方法均可，但是建議使用前兩種。

先來講解一下這三種導(dǎo)入方法的不同點(diǎn)。

如果采用第1種方法，那么調(diào)用相關(guān)函數(shù)的方法需要這樣寫（最標(biāo)準(zhǔn)的寫法）：

如果采用第2種方法，那么調(diào)用相關(guān)函數(shù)的方法需要這樣寫：（第2種方法與第1種沒有本質(zhì)區(qū)別，只是命名了一個(gè)簡(jiǎn)寫）

如果采用第3種方法，那么調(diào)用相關(guān)函數(shù)的方法需要這樣寫（可以直接調(diào)用，無需額外寫函數(shù)庫名）：

看起來第3種方法調(diào)用的時(shí)候更加方便誒~但是為什么建議使用前兩種呢？這是為了避免命名沖突。

比如說，張三函數(shù)庫里有個(gè)函數(shù)叫做喘氣，李四函數(shù)庫里也有個(gè)方法叫喘氣。

如果我們用前兩種方法，可以很清晰地知道需要調(diào)用誰的函數(shù)。

但是如果我們使用第3種方法的話，那么這個(gè)函數(shù)是調(diào)用誰的呢？

本文采取的導(dǎo)入方式為第1種。

注意：下文所寫代碼#開頭行為注釋，僅供閱讀代碼方便理解使用，在實(shí)際練習(xí)中，不需要額外書寫注釋行。

求解方程

（1）一元方程求解

例1. 求解?

首先，通過移項(xiàng)，將方程的右邊變?yōu)?：x^2+4x+3=0

然后，使用代碼進(jìn)行求解：

求解的結(jié)果如下所示：該方程的解為-3或-1。

例2. 求解??

還是同樣的寫法，只不過需要注意的是，這里我們需要調(diào)用sympy庫中的exp()函數(shù)，而不是math庫中的。

求解的結(jié)果如下所示：該方程的解為0。

（2）未知參數(shù)一元方程求解

例3. 求解?

有時(shí)，我們的方程中含有未知參數(shù)，這依然可以求解，只不過就是多定義幾個(gè)變量而已。

注意這里，因?yàn)楹卸鄠€(gè)未知數(shù)，因此，我們需要在solve函數(shù)中添加第二個(gè)參數(shù)x，這樣程序才會(huì)求解關(guān)于f(x)=0的解，否則默認(rèn)就求解f(a)=0。

這是正確的寫法：

這是錯(cuò)誤的寫法：

（3）多元方程組求解

例4. 求解方程組

x - y + z = 9

3x + 2y - z = 15

x + 5y -z = 26

輸入以下代碼進(jìn)行求解：

求解結(jié)果如下所示：

求解不等式

（1）一元不等式求解

例5. 求解???

這里由于右側(cè)為常數(shù)，所以可以不移項(xiàng)，但如果右側(cè)含有未知數(shù)，建議先移項(xiàng)，將右側(cè)轉(zhuǎn)化為僅含0的形式

求解結(jié)果為 x<-3 或?x>-1

（2）一元不等式組求解

例6. 求解不等式組

這里需要先移項(xiàng)，將右側(cè)轉(zhuǎn)化為僅含0的形式，然后再編寫代碼，求解的時(shí)候，要用[ ]將兩個(gè)條件包裹起來，solve函數(shù)只需要一個(gè)參數(shù)，這個(gè)參數(shù)是一個(gè)list。

求解結(jié)果如下：x≤-13/7

處理多項(xiàng)式

（1）因式分解

例7. 分解多項(xiàng)式?

分解多項(xiàng)式需要用到factor函數(shù)。

分解結(jié)果如下：

（2）多項(xiàng)式展開

例8. 展開多項(xiàng)式?

展開多項(xiàng)式需要用到expand函數(shù)。

展開結(jié)果如下所示：

（3）多項(xiàng)式化簡(jiǎn)

例9. 化簡(jiǎn)多項(xiàng)式?

化簡(jiǎn)多項(xiàng)式需要用到cancel函數(shù)。

化簡(jiǎn)結(jié)果如下所示：

求極限

（1）函數(shù)求極限

例10. 求極限?

在代碼中，需要使用sympy.oo（兩個(gè)英文小寫字母o）代表+∞，limit函數(shù)需要3個(gè)參數(shù)，第二個(gè)參數(shù)是自變量x，第一個(gè)參數(shù)是函數(shù)y=y(x)，第三個(gè)參數(shù)是自變量x趨近的值。

求得極限值為0.5

例11. 求極限?

方法是一樣的，只不過把∞換成了常數(shù)。

結(jié)果中的oo代表∞

（2）數(shù)列求和求極限

例12.? 求極限?

使用summation函數(shù)構(gòu)造數(shù)列求和的形式，第一個(gè)參數(shù)為表達(dá)式，第二個(gè)參數(shù)為包含自變量、起點(diǎn)、終點(diǎn)。

使用Juputer有個(gè)好處，如果直接調(diào)用變量的話，會(huì)輸出優(yōu)化后的顯示結(jié)果。

如果直接使用print函數(shù)輸出的話，就是普通的文本形式。

求導(dǎo)函數(shù)

（1）一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

例13. 求函數(shù)? 的一階導(dǎo)數(shù)?

使用diff函數(shù)構(gòu)造導(dǎo)函數(shù)，如果只填寫一個(gè)參數(shù)，就默認(rèn)求一階導(dǎo)。

求導(dǎo)結(jié)果如下所示：

例14. 求函數(shù)??的10階導(dǎo)數(shù)

使用diff函數(shù)構(gòu)造導(dǎo)函數(shù)，第三個(gè)參數(shù)可以指定求幾階導(dǎo)數(shù)，第二個(gè)參數(shù)需要寫自變量。

求導(dǎo)結(jié)果如下所示：

（2）多元函數(shù)求偏導(dǎo)

例15. 已知函數(shù)???

求偏導(dǎo)數(shù)，依然使用diff函數(shù)，只不過各位需要額外注意參數(shù)的放置情況

求偏導(dǎo)結(jié)果如下所示：

（3）隱函數(shù)求導(dǎo)

例16. 求隱函數(shù)??的導(dǎo)數(shù)

隱函數(shù)求導(dǎo)需要使用idiff函數(shù)。

求導(dǎo)結(jié)果如下所示：

（4）參數(shù)方程求導(dǎo)

例17. 求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

x = 2cost

y = 3sint

求導(dǎo)結(jié)果如下所示：

（5）求泰勒展開式

例18. 求 f(x) = cosx ?在 x = 0 處的5階泰勒展開式

求解泰勒展開式需要使用series函數(shù)，第一個(gè)參數(shù)是自變量，第二個(gè)參數(shù)是x的值，第三個(gè)變量是階數(shù)。

泰勒展開式結(jié)果如下所示：

求函數(shù)積分

（1）求不定積分

例19. 求不定積分?

求不定積分，需要使用函數(shù)integrate，第一個(gè)參數(shù)是被積函數(shù)，第二個(gè)參數(shù)只需要自變量x。

積分結(jié)果如下所示：-x + tanx +C?（記得手動(dòng)加常數(shù)C）

（2）求定積分

例20. 求定積分?

求不定積分，依然使用函數(shù)integrate，第一個(gè)參數(shù)是被積函數(shù)，第二個(gè)參數(shù)分別寫自變量x、積分上限、積分下限，用( )包裹起來。

積分結(jié)果如下所示：1

（3）求多重積分

例21. 求二重積分?

多重積分也是用integrate函數(shù)，只不過是需要往后繼續(xù)堆參數(shù)而已。這里就只展示二重積分了，其他更多重積分只需要往后疊加就可以了。

積分結(jié)果如下所示：

求解微分方程

（1）求解可分離變量的微分方程

例22. 求方程??的通解

首先，將方程轉(zhuǎn)化為一邊為的形式：

然后，使用代碼進(jìn)行求解。令。

其中：cls=sympy.Function代表此處為需要求解的函數(shù)；Eq表示相等，即建立f'(x)與右側(cè)式子相等的關(guān)系。

輸出結(jié)果非常直觀，直接輸出原函數(shù)，但是建議大家化簡(jiǎn)一下：

（2）求解線性微分方程

例23. 求?5?f '(x) + 2 f(x) = cosx 的通解

這里依然需要?jiǎng)?chuàng)建Eq對(duì)象，分別將等式兩邊放入兩個(gè)參數(shù)的位置。

計(jì)算結(jié)果如下所示：

例24. 求??的通解

如果遇到高階導(dǎo)函數(shù)，只需要在diff中輸入第二個(gè)參數(shù)表示階數(shù)即可，其他與一階的求解方法相同。

計(jì)算結(jié)果如下所示：

矩陣計(jì)算

（1）創(chuàng)建矩陣

根據(jù)不同的需求，有以下幾種方法創(chuàng)建矩陣。

創(chuàng)建結(jié)果如下所示：

（2）修改矩陣

如果需要修改矩陣的某個(gè)元素值，可以直接按照類似修改數(shù)組的方式對(duì)其進(jìn)行修改。只不過格式有些不同，坐標(biāo)之間需要用逗號(hào)隔開，或者直接按照由行到列的順序從0開始進(jìn)行編號(hào)。

兩種方法修改結(jié)果如下所示：

也可以直接修改某一行或某一列。矩陣的第一個(gè)坐標(biāo)代表行，第二個(gè)坐標(biāo)代表列，使用:（冒號(hào)）代表所有的行或所有的列，例如m[2,:]代表第3行以及所有的列（從0開始編號(hào)，所以2代表第3行，第3行以及所有的列的交集就是第3行）。

修改結(jié)果如下所示：

（3）矩陣計(jì)算

矩陣計(jì)算包括但不限于矩陣加減乘法、求轉(zhuǎn)置矩陣、求逆矩陣、求伴隨矩陣、求矩陣行列式值、求矩陣特征值、求矩陣多項(xiàng)式等。

計(jì)算結(jié)果如下圖所示：

求積分變換

（1）拉普拉斯變換

例25. 求??的拉普拉斯變換

求解拉普拉斯變換需要用到laplace_transform函數(shù)。

解得??：

（2）拉普拉斯逆變換

例26. 求??的拉普拉斯逆變換

求解拉普拉斯逆變換需要用到inverse_laplace_transform函數(shù)。

解得?f(t)=2sint ：

（3）傅里葉變換

傅里葉變換使用fourier_transform函數(shù)，其他部分與拉普拉斯變換一致，在此不再重復(fù)敘述。

（4）傅里葉逆變換

傅里葉逆變換使用inverse_fourier_transform函數(shù)，，其他部分與拉普拉斯逆變換一致，在此不再重復(fù)敘述。

學(xué)了代碼，可以摸魚嗎？

為了檢測(cè)學(xué)習(xí)效果如何，這里有幾道題幫大家練練手：

如果本文對(duì)你有所幫助，歡迎點(diǎn)贊、評(píng)論、轉(zhuǎn)發(fā)，聽說關(guān)注我的人都變帥了。誒嘿~