?前置知識：高等數(shù)學 線性代數(shù) 復變函數(shù)（工科）

前言：一些數(shù)理方程學習中粗淺的雜談，要求一定的工科數(shù)學知識

（1）關于偏微分方程?????

????????偏微分方程是在學習工程技術以及物理模型中常常見到的一類微分方程?？梢哉f微分方程描述了世界上任何客觀存在的現(xiàn)象，因而我們需要學習如何解決偏微分方程。一般來說，偏微分方程是指含有多元未知函數(shù)及其偏導數(shù)的等式，例如

（是與x,y無關的常數(shù)）

也可簡記為

????????一些含有如梯度算子，散度算子等場微分算子的方程，我們也在更一般的意義上把它們歸為偏微分方程。方程中關于未知函數(shù)的最高階偏導數(shù)的階數(shù)稱為方程的階，以上給出的均為二階方程。如果方程中關于未知函數(shù)及其偏導數(shù)都是一次的，則稱其為線性方程。線性方程有很多良好的性質(zhì)，比如疊加性。如果方程不是線性的，但其最高階導數(shù)仍是一次的，我們稱之為擬線性方程。除了線性，擬線性方程以外的方程，統(tǒng)稱為非線性方程。

在給出一個偏微分方程時，往往是給出其泛定方程及其邊界條件。例如后面我們會討論的這個方程。

????????顯然這是一個二階線性方程，第一個方程是泛定方程，后面給出的均為邊界條件，可以看出我們沒有對x設置任何的邊界條件，也就是說這里的兩個邊界條件都是對t的假設。這個方程被用來描述一維無界弦的一般振動問題，是弦在t時刻x位置受到的強迫力，和分別是在和在t=0時的邊界函數(shù)。在解一個偏微分方程時，我們往往要討論它的邊界條件，不同形狀的邊界條件決定了我們應該怎么去處理這個偏微分方程。我們后面會處理另一個偏微分方程：

????????這是一個關于x和t的有界弦的振動方程，思路和我們馬上要討論的無界弦問題完全不同。因此我們在處理邊界問題上必須謹慎又謹慎，對邊界的處理貫穿了我們學習數(shù)理方程的全部過程。

（2）關于積分變換

????????在復變函數(shù)中我們學了兩類積分變換，傅里葉變換和拉普拉斯變換。這兩類積分變換利用它們的微分性質(zhì)，可以把含有兩個未知數(shù)的偏微分方程變成關于其中一個變量的常微分方程，解出這個常微分方程，再通過逆變換，延遲性質(zhì)以及位移性質(zhì)以及卷積定理可以得到偏微分方程的解。

????????在解數(shù)理方程的過程方法里，分離變量法是非常通用的一種方法，在分離變量的過程中需要解數(shù)個常微分方程，積分變換可以很方便地求解出常微分方程的解。特別注意在對常微分方程兩側作拉普拉斯變換時會代入函數(shù)的初值條件，因此得到的方程的解無需再次代入常微分方程的邊界。

????? ? 下面給出幾條傅里葉變換常用的性質(zhì)：

①微分性質(zhì)：

②卷積性質(zhì)：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

這里是傅里葉變換的卷積

變換積分的上下限，可以得到類似的拉普拉斯變換的卷積定理

例1，求

解：

這個結果時非常有用的，我們可以看到

,

這個公式把無窮積分變成了有限積分。

（3）一個數(shù)理方程的解

????????我們來解這個方程。利用微分方程的疊加定理，我們得到以下三個方程：

，分別記作方程（i）,(ii）,(iii),將上述三個方程的解相加就得到了上述總方程的解。

(i)

解：將t看作參數(shù)，對泛定方程作Fourier變換，記

,

有

，解得

作Fourier逆變換

,

（ii）

同上，得到方程

,解得??

再由卷積定理

由例1中的結果我們得到

? ? ? ②

對比我們剛接觸數(shù)理方程時行波法可以驗證解①②的正確性

（iii）

來看這個方程，作Fourier變換

,對這個方程兩邊再對t作Laplace變換，有

,，再作Laplace逆變換

,作Fourier逆變換

由

得到原式=? ? ③

最后將①②③相加得到最終結果

(4)結語

????????方程（iii）有一種更為簡潔的所謂“沖量法”的解法，但是這個解法涉及到物理的解釋，并且其本質(zhì)也是積分變換，所以筆者在這里用了筆者認為更容易接受的方法。后面還會陸陸續(xù)續(xù)寫一些雜談，內(nèi)容主要是數(shù)理方程（或者說偏微分方程）。