小學(xué)生用“砍大山”求三角形面積，表示并沒有心理陰影
【引入】
↑最近刷小■書看到網(wǎng)友們熱議一道小學(xué)幾何題——
如圖所示，ABCD是一個正方形，邊長為2厘米，F(xiàn)、E分別是BC、CD邊上的中點(diǎn)，連接BE、AF、DF，得到一塊陰影三角形，求陰影部分面積.
⑨老師發(fā)現(xiàn)較多被提到的解法有：“相似三角”、“建坐標(biāo)系”、“定積分”、“勾股定理”等等……
以上這些都是中學(xué)及以上階段才會學(xué)到的方法[1]，可見大多數(shù)網(wǎng)友并不知道（或是遺忘了）小學(xué)生是如何解這道題的[2].
所以熱衷科普的⑨老師打算借此機(jī)會給大家分享一下用“小學(xué)生專用份數(shù)法”來解這道幾何題——
這道幾何題，熟練使用比與比例或是會設(shè)份數(shù)的小學(xué)生是完全可以做出來的，用的方法一點(diǎn)也不高大上，⑨老師把這樣的方法叫作——“砍大山”[3].
【思路】
將AF與BE的交點(diǎn)命名為G，并將DF與BE的交點(diǎn)命名為H，我們需要求面積的陰影三角形名為△FGH；
該三角形的三條邊均為斜邊[4]，且底與對應(yīng)高未知，所以不能直接套用公式“S△=底×高÷2”來算[5]；
于是考慮包含△FGH在內(nèi)的大三角形△HFB，有以下關(guān)系[6]：
S△FGH＝S△HFB－S△GFB連接BD、CH，在燕尾模型[7]BCD-H中解出三角形HFB的面積；
連接AE、EF，在風(fēng)箏模型[8]ABFE-AF-BE中解出三角形GFB的面積；
將第4條中△HFB的面積與第5條中△GFB的面積代入第3條中的等式“S△FGH＝S△HFB－S△GFB”，即可求出陰影部分△FGH的面積.
【步驟】
【詳解】
如上左圖所示，將AF與BE的交點(diǎn)命名為G，并將DF與BE的交點(diǎn)命名為H，我們需要求面積的陰影三角形名為△FGH，考慮包含△FGH在內(nèi)的大三角形△HFB，有以下關(guān)系：
S△FGH＝S△HFB－S△GFB如上中圖所示，連接BD、CH，紫色線條加粗的三角形BCD與其內(nèi)部交于H點(diǎn)的三條線段HB、HC、HD構(gòu)成燕尾模型，并設(shè)S1、S2、S3分別是S△HBD、S△HBC、S△HCD，于是有2個比例：
①S1∶S2=DE∶EC=1cm∶1cm=1∶1
②S1∶S3=BF∶FC=1cm∶1cm=1∶1
綜合以上兩個比例得：
S1∶S2∶S3＝1∶1∶1我們需要在燕尾模型BCD-H中求三角形HFB的面積，而△HFB包含于S2，所以不妨先求S2——三角形BCD的面積是正方形ABCD的一半[9]，且S2的面積是三角形BCD的三分之一[10]于是有以下算式：
S2=S△BCD×1/(1+1+1)
=(2cm×2cm÷2)×(1/3)
=2/3cm2在等高模型HCB-HF中[11]，有三連比：
S△HCF∶S△HFB∶S2
=S△HCF∶S△HFB∶S△HCB
=CF∶FB∶CB
=1cm∶1cm∶2cm
=1∶1∶2所以△HFB的面積是S2的一半：
S△HFB
=S2×(1/2)
=2/3cm2×(1/2)
=1/3cm2如上右圖所示，連接AE、EF，紫色線條加粗的四邊形ABFE與其內(nèi)部交于G點(diǎn)的兩條對角線AF、BE構(gòu)成風(fēng)箏模型，另設(shè)三角形ABE、三角形BEF的面積分別為S4、S5，根據(jù)風(fēng)箏模型ABFE-AF-BE，有比例：
S4∶S5=AG∶GFS4對應(yīng)三角形ABE的底邊AB長2cm，底邊AB對應(yīng)的高是2cm，所以[12]：
S4=2cm×2cm÷2=2cm2S5對應(yīng)三角形BEF的底邊BF長1cm，底邊BF對應(yīng)的高是EC長1cm，所以：
S5=1cm×1cm÷2=0.5cm2將第7條與第8條的數(shù)據(jù)代入第6條中的比例有：
AG∶GF
=S4∶S5
=2cm2∶0.5cm2
=4∶1我們需要在風(fēng)箏模型ABFE-AF-BE中求三角形GFB的面積，考慮包含△GFB在內(nèi)的等高模型BAF-BG，有三連比：
S△BGA∶S△GFB∶S△ABF=AG∶GF∶AF再將第9條中的“AG∶GF=4∶1”代入第10條中的三連比：
S△BGA∶S△GFB∶S△ABF
=AG∶GF∶AF
=4∶1∶(4+1)
=4∶1∶5△GFB的面積是△ABF的五分之一，所以有以下算式[13]：
S△GFB
=S△ABF×(1/5)
=(AB×BF÷2)×(1/5)
=(2cm×1cm÷2)×(1/5)
=1/5cm2最后，把第5條與第12條中的數(shù)據(jù)代入第1條中的關(guān)系式，求得陰影部分的面積即：
S△FGH
=S△HFB－S△GFB
=1/3cm2-1/5cm2
=2/15cm2
答：陰影部分面積為2/15平方厘米.
【總結(jié)】
如大家所見，幾何題的思路其實(shí)并不困難，難的是其繁瑣的過程，老師課上講一道有難度的幾何題往往會花半小時以上，其中大部分時間都在“畫圖并用字母、符號、算式描述各種點(diǎn)、線、角、面之間的關(guān)系”上，又或是把時間花在“復(fù)述并運(yùn)用已有的定理和模型”上，很多同學(xué)以為自己已經(jīng)懂了，但是讓他自己在白紙上重寫一遍完整過程，或者讓他來講幾何題，他便會發(fā)現(xiàn)自己疏忽了很多細(xì)節(jié)；
小學(xué)階段的所有數(shù)學(xué)問題都是有其“最小顆?！钡腫14]，也就是說題目中的數(shù)量可以細(xì)分到份份相等，然后根據(jù)“已知份數(shù)”以及“已知與未知的關(guān)系”去求未知份數(shù)；
自五年級學(xué)了分?jǐn)?shù)量率、比與比例相關(guān)的計(jì)算之后，我們求三角形的面積往往都不再是套用三角形面積公式，而是需要運(yùn)用“砍大山”（等高模型）進(jìn)行份數(shù)化運(yùn)算，以“砍大山”為源頭，可以演化出常見的五大模型：鳥頭、金沙、鉆風(fēng)、蝴蝶、燕尾[15]；
在⑨老師看來，之所以這么多人為小學(xué)生抱不平，認(rèn)為這類幾何題簡直就是“求小學(xué)生心理陰影面積”——甚至孩子明明上過奧數(shù)課，課上老師也介紹了各種三角形模型，很多人也還是認(rèn)為“小學(xué)生只是在套用更高級的公式而已，學(xué)了沒有任何意義”——那僅僅是因?yàn)榇蠹叶紱]有真正搞懂這類幾何題的“考點(diǎn)”[16]；
99%的小學(xué)生都沒有深入理解到這類幾何題其實(shí)是“圖形化的比例應(yīng)用題”，和大家校內(nèi)經(jīng)常做的工程、濃度、經(jīng)濟(jì)等分百小應(yīng)用題一樣，其實(shí)都是可以“份數(shù)化”的，一旦份數(shù)化，它的難度就死死限定在“小學(xué)生的程度”[17]，所以⑨老師認(rèn)為并不超綱；
這類幾何題不但不超綱，更是對小學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”思維的有益拓展；
最后附上⑨老師的課堂板書與筆記（五大模型的體系、結(jié)論、證明）——
↓PS：準(zhǔn)確地講，鉆石模型只需要一條對角線，另一條“對角線”可以是折線.
【參考】
^因?yàn)閰⑴c討論的人幾乎都是中學(xué)及以上學(xué)歷，只記得最近學(xué)會的解題方法其實(shí)能夠理解.
^或許他們也不想知道，只是單純認(rèn)為題目太虐小孩了，小孩心理陰影面積∞.
^“砍大山”是⑨老師對等高模型的戲稱，等高模型是三角形五大模型的源頭，它的原理其實(shí)非常簡單：任意三角形ABC過頂點(diǎn)A連接底邊BC上的任意點(diǎn)D，三角形ABC被AD分割為左右兩個小三角形，兩個三角形等高——如果兩個三角形面積不同，那一定是底不同引起的，所以“左三角”與“右三角”的面積之比等于底邊之比BD∶DC.
^這里的斜邊是指不在水平或垂直方向上的邊.
^小學(xué)階段求三角形面積如果不能直接套公式來算，要么用公式計(jì)算別圖形的面積并用諸如“陰影等于整體減空白”的容斥原理間接求面積，要么用三角形等高模型及其演化出的各種比例模型（五大模型）通過份數(shù)來算.
^傳說中的“陰影等于整體減空白”大法.
^燕尾模型是指：一個任意三角形ABC的內(nèi)部有任意一點(diǎn)O，讓O分別連接三個頂點(diǎn)A、B、C，可以將△ABC內(nèi)部劃分出三塊小三角形OAB、OAC、OBC，這三個三角形中的任意兩個的面積比等于這兩個三角形沿分界線方向“投影”在底邊的長度之比.
^風(fēng)箏模型是指：一個任意凸四邊形ABCD，連接兩條對角線，對角線AC、BD交于O點(diǎn)，有S△ABD∶S△BCD=AO∶OC，也有S△ABC∶S△ACD=BO∶OD，也就是說，一個凸四邊形被某條對角線分出的兩個三角形的面積之比等于另一條對角線穿過各自內(nèi)部的長度之比，這個結(jié)論又被形象地稱為“肉比肉等于簽比簽”. （PS：當(dāng)“凸四邊形”變?yōu)椤鞍妓倪呅巍睍r，風(fēng)箏模型變?yōu)檠辔材Ｐ停?/p>
^正方形沿對角線折疊可重合為一個等腰直角三角形，展開后的兩個三角形各占正方形的一半面積.
^三角形BCD被三等分為S1、S2、S3，所以S2的面積是三角形BCD平均分成的3份中的1份.
^等高模型的“砍大山”解釋：以H為山頂，以CB為山腳下，從山頂沿HF一刀劈下，將大山分為左山和右山，左山、右山、大山一樣高，所以左山、右山、大山的面積比等于左底比右底比大底.
^S4（S△ABE）其實(shí)是正方形ABCD的一半模型，可通過在CD邊上滑動E點(diǎn)進(jìn)行平行線間等積變形，最終將面積變?yōu)镾△ABC（對角線一半）.
^三角形ABF是一個直角三角形，它的兩條直角邊AB、BF分別長2cm、1cm，所以它的面積很好算：2cm×1cm÷2=1cm2.
^跟量子力學(xué)很像，是離散的一份一份的.
^這里總結(jié)的五大模型（鳥頭模型、金字塔與沙漏模型、鉆石與風(fēng)箏模型、梯形蝴蝶模型、三燕尾模型）為⑨老師原創(chuàng)，與主流公認(rèn)的“五大模型”有出入.
^一道幾何題一定要用中學(xué)的知識點(diǎn)才能做出來，除了超前學(xué)習(xí)中學(xué)知識別無他法，那就不應(yīng)該出現(xiàn)在小學(xué)，那才是真正的超綱.
^根本不需要用到中學(xué)的高級解題工具比如“相似三角形”、“建坐標(biāo)系”、“定積分”等等.
