A-3-1慣性力

2023-08-30 22:37 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過(guò) | 我要投稿

3.1.1 系統(tǒng)牛頓第二定律

對(duì)一個(gè)多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)而言，假設(shè)質(zhì)點(diǎn)總數(shù)為n，那么其中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，都會(huì)受到系統(tǒng)內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的作用力，以及系統(tǒng)外部的作用力，我們用 $%5Cvec%20F_i$ 表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的外力， $%5Cvec%20F_%7Bij%7D$ 表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)的作用力，對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)：

$%5Cvec%20F_i%2B%5Csum_%7B%5Csubstack%7B1%5Cle%20j%5Cle%20n%5C%5Cj%5Cne%20i%7D%7D%5Cvec%20F_%7Bji%7D%3Dm_i%5Cvec%20a_i$

兩側(cè)求和得

$%5Csum%20%5Cvec%20F_i%3D%5Csum%20m_i%5Cvec%20a_i%5Ctag%7B1%7D$

其中已經(jīng)利用

$%5Cvec%20F_%7Bij%7D%2B%5Cvec%20F_%7Bji%7D%3D0$

求和結(jié)果說(shuō)明，一個(gè)系統(tǒng)所受的外力之和，等于系統(tǒng)中各個(gè)物體質(zhì)量與加速度乘積之和。上式又稱為系統(tǒng)牛頓第二定律，利用這一點(diǎn)，我們能夠簡(jiǎn)化一些問(wèn)題的分析過(guò)程。

例1.如圖，兩滑塊A、B通過(guò)無(wú)彈性細(xì)線和輕質(zhì)定滑輪跨接在置于水平桌面上的雙斜面體C上.現(xiàn)觀察到滑塊A沿斜面向下加速運(yùn)動(dòng)，加速度為 $a%3D2m%2Fs%5E2$ ，而雙斜面體C保持靜止.已知 $m_A%3D4$ 千克， $m_B%3D2$ 千克， $m_C%3D5$ 千克，雙斜面體C的兩個(gè)斜面光潔度不一樣，其傾角分別為 $%5Calpha%3D37%C2%B0%EF%BC%8C%5Cbeta%3D53%C2%B0$ ，取 $g%3D9.8m%2Fs%5E2$ 。求雙斜面體C所受水平桌面的靜摩擦力和支承力。

解：對(duì)A、B、C整體受力分析，沿豎直方向和水平方向：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N-(m_A%2Bm_B%2Bm_C)g%3D-m_Aa%5Csin%5Calpha%2Bm_Ba%5Csin%5Cbeta%5C%5C%20f%3Dm_Ba%5Ccos%5Calpha%2Bm_Aa%5Ccos%5Cbeta%20%5Cend%7Bcases%7D$
代入數(shù)據(jù)得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20N%3D106N%5C%5C%20f%3D8N%20%5Cend%7Bcases%7D$

上題中地面粗糙，如果地面光滑，我們用下面慣性力的知識(shí)會(huì)更加簡(jiǎn)單。

3.1.2 質(zhì)心系

我們?cè)谶@里只對(duì)質(zhì)心系做一些簡(jiǎn)單的介紹。我們之前學(xué)習(xí)過(guò)質(zhì)心的坐標(biāo)公式：

$%5Cvec%20r_c%3D%5Cdfrac%7B%5Csum%20m_i%5Cvec%20r_i%7D%7B%5Csum%20m_i%7D$

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，分別得速度和加速度公式：

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Cvec%20v_c%3D%5Cdfrac%7B%5Csum%20m_i%5Cvec%20v_i%7D%7B%5Csum%20m_i%7D%5C%5C%20%5Cvec%20a_c%3D%5Cdfrac%7B%5Csum%20m_i%5Cvec%20a_i%7D%7B%5Csum%20m_i%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

代入(1)得

$%5Csum%20%5Cvec%20F_i%3D(%5Csum%20m_i)%20%5Cvec%20a_c$

即系統(tǒng)所受合外力等于系統(tǒng)總質(zhì)量乘以質(zhì)心的加速度。

特殊的，當(dāng)合外力為0時(shí)，質(zhì)心加速度為0，保持靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)。很多光滑水平面上的運(yùn)動(dòng)都符合上述條件。

例2.物體系統(tǒng)放在光滑水平桌上，三個(gè)立方塊質(zhì)量分別為 $m_1$ ?、 $m_2$ ?和M .質(zhì)量 $m_2$ 的立方塊被維持在桌上l高處，如果放開系統(tǒng)，那么立方塊 $m_2$ 發(fā)生運(yùn)動(dòng)，并且立方塊 $m_1$ 沿立方塊M滑動(dòng)。兩立方塊之間摩擦因數(shù)為 $%5Cmu$ ?.求當(dāng)質(zhì)量 $m_2$ 立方塊碰到桌面時(shí)立方塊M移動(dòng)多少？

解：由于水平面光滑，質(zhì)心加速度為零，質(zhì)心保持靜止。由幾何關(guān)系， $m_1$ 相對(duì)M向右運(yùn)動(dòng)距離l.質(zhì)心橫坐標(biāo)變化

$%5CDelta%20x_C%3D%5Cdfrac%7B(M%2Bm_2)x%2Bm_1(x-l)%7D%7Bm_1%2Bm_2%2BM%7D%3D0$
解得

$x%3D%5Cdfrac%7Bm_1%7D%7Bm_1%2Bm_2%2BM%7Dl$

3.1.3 慣性力

牛頓第二定律并不在所有的參考系中都成立，考慮光滑桌子上的一個(gè)靜止小球，以桌子為參考系，當(dāng)桌子開始向前加速時(shí)，小球雖然水平合力為零，但還是在相對(duì)桌子在向后運(yùn)動(dòng)。這顯然不滿足牛頓運(yùn)動(dòng)定律。當(dāng)參考系具有加速度 $%5Cvec%20a_0$ 時(shí)，我們以地面為參考系，得

$%5Cvec%20F%3Dm%5Cvec%20a%3Dm(%5Cvec%20a_0%2B%5Cvec%20a')$

其中 $%5Cvec%20a'$ 是物體在參考系中的加速度，要使得此時(shí)牛頓第二定律依然成立，我們將上式變形：

$%5Cvec%20F-m%5Cvec%20a_0%3Dm%5Cvec%20a'$

也就是我們?cè)诘仁阶髠?cè)引入了一個(gè)新的作用力 $-m%5Cvec%20a_0$ ，只要在受力分析的時(shí)候考慮了這個(gè)作用力，就可以依然用牛頓第二定律解決問(wèn)題了。我們將這個(gè)引入的作用力稱為“慣性力”。

需要注意的是，慣性力是為了滿足牛頓第二定律所假想的，實(shí)際上并不存在，也沒(méi)有對(duì)應(yīng)的施力物體。

我們將牛頓第一定律成立的參考系稱為慣性參考系，牛頓第一定律不成立的參考系稱為非慣性參考系。

例3.如圖所示，在地面上有一傾角為 $%5Ctheta$ 、質(zhì)量為M的斜面體，斜面體上有一質(zhì)量為m的木塊。設(shè)地面與斜面體之間以及斜面體與木塊之間均光滑無(wú)摩擦。試求（1）M相對(duì)于地面的加速度 $a_M$ ?（2）木塊m所受的支持力N.

解：設(shè) $a_M$ 水平向右，以M為參考系，m受力分析如圖。垂直斜面方向受力平衡：

$N%2Bma_M%5Csin%5Ctheta%3Dmg%5Ccos%5Ctheta$
對(duì)M水平受力分析

$N%5Csin%5Ctheta%3DMa_M$
解得

$%5Cbegin%7Bcases%7D%20a_M%3D%5Cdfrac%7Bmg%5Csin%5Ctheta%5Ccos%5Ctheta%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%5C%5C%20N%3D%5Cdfrac%7BMmg%5Ccos%5Ctheta%7D%7BM%2Bm%5Csin%5E2%5Ctheta%7D%20%5Cend%7Bcases%7D$

在轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，與向心加速度對(duì)應(yīng)的慣性力沿半徑向外，遠(yuǎn)離圓心，故常稱為離心力。

例4.長(zhǎng)度分別為 $l_1$ 和 $l_2$ 的不可伸長(zhǎng)的輕繩懸掛著質(zhì)量均為m的兩個(gè)小球 $m_1$ ， $m_2$ （如圖），初始時(shí)它們處于靜止?fàn)顟B(tài)，突然中間的小球 $m_1$ 受到水平方向的沖擊，瞬間獲得水平向右的速度 $v_0$ ，求此時(shí)連接 $m_2$ 的繩上的拉力T為多少？

解：在地面系中， $m_1$ 的加速度

$a_1%3D%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bl_1%7D$
方向豎直向上，以 $m_1$ 為參考系，2的速度為水平向左的 $v_0$ ，對(duì)2受力分析：

$T-m_2g-m_2a_1%3Dm_2%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bl_2%7D$
解得

$T%3Dm_2(g%2B%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bl_1%7D%2B%5Cdfrac%7Bv_0%5E2%7D%7Bl_2%7D)$

由以上例子可見，選用非慣性參考系之后，再引入慣性力，可以簡(jiǎn)化很多計(jì)算過(guò)程。

3.1.4 練習(xí)

練1.如圖所示，物A質(zhì)量為M，物B質(zhì)量為m.A沿楔狀物D的斜面下降，同時(shí)借助過(guò)光滑輕滑輪C的不可伸長(zhǎng)輕繩使B上升.斜面與水平方向成α角，滑輪和繩質(zhì)量不計(jì)，各處摩擦可略.求楔狀物D作用于地板凸起部分E的水平壓力.

答案： $%5Cdfrac%7BM%5Csin%5Calpha-m%7D%7BM%2Bm%7DMg%5Ccos%5Calpha$

練2.如圖所示，質(zhì)量為M的光滑三角劈，傾角為 $%5Calpha$ ，其頂點(diǎn)固定一個(gè)小滑輪，摩擦不計(jì)。一個(gè)質(zhì)量為m的物塊用繩子連接，繩一端固定在豎直墻上，物塊跨過(guò)滑輪放在三角劈上。求系統(tǒng)加速運(yùn)動(dòng)時(shí)三角劈的加速度 $a_M$ .

答案： $%5Cdfrac%7Bmg%5Csin%5Calpha%7D%7BM%2B2m(1-%5Ccos%5Calpha)%7D$

練3.三個(gè)質(zhì)量皆為m的小球a、b、c由三段長(zhǎng)度皆為的不可伸長(zhǎng)的輕細(xì)線 $L_1$ 、 $L_2$ 、 $L_3$ 相繼連接，豎直懸掛，并處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖所示。在某一時(shí)刻，小球a、b受到水平方向的沖擊，分別獲得向右、向左的大小為v的速度。求中間那段細(xì)線 $L_2$ 的張力大小。