這是一篇自問(wèn)自答的強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)湮飸B(tài)簡(jiǎn)介。

撰文 | 葉鵬（中山大學(xué)物理學(xué)院）

在凝聚態(tài)物理中，絕大多數(shù)金屬/絕緣體等凝聚態(tài)材料可以忽略電子之間的相互作用，在朗道-費(fèi)米液體理論框架下得到很好的解釋[1]。而相互作用的電子會(huì)形成十分豐富的對(duì)稱破缺序，比如超導(dǎo)序、各種密度波序。在引入描寫各種序的序參量之后，我們又可以忽略電子之間的相互作用，用朗道-費(fèi)米液體理論來(lái)解釋材料的各種性質(zhì)。

數(shù)學(xué)上，假設(shè)系統(tǒng)的對(duì)稱性有一個(gè)群G=U(1) 來(lái)描寫，而系統(tǒng)狀態(tài)是由一個(gè)復(fù)參量Φ來(lái)描寫。系統(tǒng)的各個(gè)性質(zhì)，比如能量V(Φ)，都是復(fù)參量Φ的函數(shù)。U(1)對(duì)稱性意味著這個(gè)函數(shù)跟復(fù)參量的角度無(wú)關(guān)：

V(Φ)=V(eiθΦ ) ?

如果有這種性質(zhì)的能量函數(shù)，長(zhǎng)得像一個(gè)墨西哥帽子（見(jiàn)下圖），那么能量的最小的基態(tài)不得不選某一個(gè)不為0的復(fù)參量來(lái)描寫。這個(gè)復(fù)參量在U(1)對(duì)稱性變換下會(huì)變成另外一個(gè)復(fù)參量：Φ→ eiθ Φ， 無(wú)法保持不變。這樣，雖然我們的系統(tǒng)有一個(gè)對(duì)稱性，但是系統(tǒng)能量最低的基態(tài)并沒(méi)有這個(gè)對(duì)稱性。這一現(xiàn)象就是朗道自發(fā)性對(duì)稱破缺現(xiàn)象。

朗道自發(fā)性對(duì)稱破缺:系統(tǒng)有一個(gè)對(duì)稱性，但是系統(tǒng)能量最低的基態(tài)并沒(méi)有這個(gè)對(duì)稱性

如果系統(tǒng)不是完全均勻的，“序參量”Φ可以是在實(shí)空間中的局域連續(xù)函數(shù) (從實(shí)空間到序參量空間的映射) 。對(duì)稱破缺序的低能有效拉格朗日量可以根據(jù)對(duì)稱性的要求表達(dá)成Φ的泛函，比如：L[Φ]=(?Φ)2+Φ2+Φ4… 。通過(guò)對(duì)該量子場(chǎng)論做重整化、線性響應(yīng)等標(biāo)準(zhǔn)微擾計(jì)算，我們可以系統(tǒng)地研究對(duì)稱破缺相與相變。

由于在解釋和預(yù)言實(shí)驗(yàn)方面的巨大成功，對(duì)稱破缺機(jī)制幾乎成了固態(tài)物理的“標(biāo)準(zhǔn)模型”。只要大家碰到一個(gè)新物態(tài)，就會(huì)問(wèn)這個(gè)新物態(tài)是由哪種對(duì)稱性來(lái)刻畫的。只要碰到一個(gè)相變，就會(huì)問(wèn)在這個(gè)相變中，哪些對(duì)稱性發(fā)生了自發(fā)破缺。遇到什么現(xiàn)象，都用朗道自發(fā)對(duì)稱性理論來(lái)套。

但是，上個(gè)世紀(jì)八十年代強(qiáng)關(guān)聯(lián)凝聚態(tài)實(shí)驗(yàn)的重大發(fā)現(xiàn)——分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)——讓我們看到了超越此“標(biāo)準(zhǔn)模型”的可能性。如拓?fù)浼ぐl(fā)“任意子”的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)和基態(tài)簡(jiǎn)并度[2]，本質(zhì)上與對(duì)稱破缺毫無(wú)關(guān)聯(lián)。我們甚至沒(méi)法定義一個(gè)局域參數(shù)作為序參量來(lái)刻畫與區(qū)分不同的分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)。同時(shí)，分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的低能有效理論是拓?fù)淞孔訄?chǎng)論—Chern-Simons理論[3]。比如，對(duì)于Laughlin霍爾態(tài)，其低能有效理論是阿貝爾Chern-Simons理論。作用量可寫為

，其中場(chǎng)量aμ是U(1)規(guī)范場(chǎng)。該規(guī)范理論在(2+1)維閉合流形上的大規(guī)范不變性要求系數(shù) k 必須量子化為整數(shù)：k∈Z。S是一個(gè)拓?fù)淞孔右?guī)范理論，明顯不同于L[Φ]。從傳統(tǒng)的微擾重整化技術(shù)來(lái)看，我們很難想象一個(gè)只含有電子算符的量子多體系統(tǒng)會(huì)“流動(dòng)到”一個(gè)含有演生規(guī)范場(chǎng)的拓?fù)淞孔訄?chǎng)論。需要注意的是，這里的Chern-Simons理論是所謂的流體力學(xué)構(gòu)造[3]，具有嚴(yán)格的系數(shù) (即k) 量子化要求，不同于Zhang[4]的復(fù)合玻色子場(chǎng)論、Lopez和Fradkin[5]以及Jain[6-8]的復(fù)合費(fèi)米子場(chǎng)論。

作為拓?fù)湫蚶碚摰南闰?qū)，Wen[9, 10]指出分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)不是簡(jiǎn)單的“填能級(jí)+微擾”能夠解釋的費(fèi)米子系統(tǒng)[11]，而是一種完全超越傳統(tǒng)固態(tài)物理框架的強(qiáng)關(guān)聯(lián)物質(zhì)形態(tài)。他把分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)等一大類超越對(duì)稱破缺機(jī)制的量子多體態(tài)所含有的“剛性”、“序”稱為“拓?fù)湫颉盵10] (注：為了與近年來(lái)出現(xiàn)的容易混淆的術(shù)語(yǔ)區(qū)分開(kāi)，本文臨時(shí)稱之為“本征拓?fù)湫颉?，intrinsic topological order，iTO)。

iTO的提出使我們對(duì)超越對(duì)稱破缺序的量子多體物理的理解有了飛躍式發(fā)展。同時(shí)，拓?fù)淞孔訄?chǎng)論和共形場(chǎng)論的引進(jìn)，極大地促進(jìn)了凝聚態(tài)物理與數(shù)學(xué)物理等學(xué)科的交流。但是問(wèn)題在于，iTO的確切的定義是什么?是不是有能隙的超越對(duì)稱破缺機(jī)制的多體態(tài)都是iTO? 比如，郝?tīng)柕?(Haldane) 相[12]是不是iTO呢?

當(dāng)然現(xiàn)在我們已經(jīng)知道，細(xì)究此類凝聚態(tài)物理問(wèn)題需要借助量子信息科學(xué)中的一些非常深刻的概念和方法。Chen等[13]，Verstraete等[14]和Vidal[15]借助量子信息中的 “有限深度的量子電路”來(lái)重新認(rèn)識(shí)有能隙的多體態(tài)。首先，自旋系統(tǒng)的每個(gè)格點(diǎn)上的自旋子空間提供了一個(gè)有限維度的“子空間”。比如，自旋-1/2的體系的每個(gè)格點(diǎn)上的子空間維度是2。我們從具有這種希爾伯特空間的局域可分解的性質(zhì)的多體態(tài)出發(fā)，使用空間局域幺正算符(LU)將有能隙的多體態(tài)作絕熱幺正變換。如果多體態(tài)可以通過(guò)有限次數(shù)的LU操作變換成平凡的直積態(tài)，那么該多體態(tài)就是短程糾纏態(tài)。否則，該多體態(tài)是長(zhǎng)程糾纏態(tài)。在熱力學(xué)極限下,我們需要非常小心定義“有限次數(shù)”：先取熱力學(xué)極限，再取次數(shù)的極限。然后，如果任意次數(shù)LU都無(wú)法連接到直積態(tài)，那么該多體態(tài)是長(zhǎng)程糾纏態(tài)。SPT和iTO分別是短程糾纏態(tài)和長(zhǎng)程糾纏態(tài)。

在有限多次的LU操作下，郝?tīng)柕は嗟幕鶓B(tài)波函數(shù) (比如AKLT嚴(yán)格可解模型的基態(tài)波函數(shù)[16]) 可以變換成平凡的直積態(tài)，因而郝?tīng)柕は嗍嵌坛碳m纏態(tài)。但是從對(duì)稱保護(hù)的意義上來(lái)看，奇整數(shù)自旋的郝?tīng)柕は嗳匀皇恰胺瞧椒病钡?，而偶整?shù)自旋的郝?tīng)柕は嗍峭耆椒驳摹＿@是因?yàn)檫B接奇整數(shù)自旋的郝?tīng)柕は嗯c平凡的直積態(tài)之間的所有絕熱路徑 (注：路徑就是一連串LU操作) 都破壞特定的對(duì)稱性，比如自旋旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性或者時(shí)間反演對(duì)稱性。像奇整數(shù)自旋郝?tīng)柕は噙@種非平凡的短程糾纏態(tài)被稱為“對(duì)稱保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)” (SPT) [17-19]。(郝?tīng)柕ぶ赋稣麛?shù)自旋鏈都是有能隙的。為了記念這一結(jié)果發(fā)現(xiàn)，大家把這些有能隙的相叫做郝?tīng)柕は?。而這里提到的關(guān)于奇整數(shù)自旋和偶整數(shù)自旋郝?tīng)柕は嗟谋举|(zhì)區(qū)別，則是后人的結(jié)果。)

“對(duì)稱保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)” (SPT) 的邊界有很多奇妙的性質(zhì)，如邊緣上會(huì)出現(xiàn)的半整數(shù)自旋。因?yàn)轶w內(nèi)每個(gè)格點(diǎn)上的自旋都是整數(shù)，所以邊緣上出現(xiàn)的半整數(shù)自旋是一個(gè)幾乎不可思議的事情，其表明一維體內(nèi)有非平凡的SPT序。但如果自旋對(duì)稱性被破壞，分?jǐn)?shù)化的邊界自旋就不再存在。SPT的體態(tài)有能隙,體內(nèi)的激發(fā)都是系統(tǒng)本身的玻色子 (及其組合) 激發(fā)或者自旋翻轉(zhuǎn)等。這些激發(fā)被稱為平凡激發(fā)。但是SPT邊界上會(huì)有非平凡的量子態(tài)出現(xiàn) (以量子反常體現(xiàn)) 。在不破壞對(duì)稱性的條件下，SPT的邊界態(tài)無(wú)法單獨(dú)成為一個(gè)可以被格點(diǎn)正規(guī)化的量子理論。除奇整數(shù)郝?tīng)柕ぷ孕淸12]之外，與SPT序有關(guān)的具體模型已經(jīng)有很多研究，比如摻雜的奇整數(shù)郝?tīng)柕ゆ淸20]、二維CZX自旋模型[21]、二維玻色整數(shù)量子霍爾態(tài)[22-24]、二維Levin-Gu自旋模型[25]、二維自旋量子霍爾效應(yīng)[26]、三維拓?fù)漤槾朋w[27]、三維玻色拓?fù)浣^緣體(BTI)[28]等。

SPT研究領(lǐng)域的最重要的進(jìn)展之一是文獻(xiàn)[29,30]提出的統(tǒng)一的分類與表征方法。具體來(lái)講，奇整數(shù)郝?tīng)柕は嘀皇荢PT大家族的冰山一角。正如抽象數(shù)學(xué)“群論”被用于分析對(duì)稱破缺序，代數(shù)拓?fù)淅锩娴摹?群的上同調(diào)論” [29, 30]被發(fā)現(xiàn)可以用來(lái)構(gòu)造SPT的嚴(yán)格可解模型的配分函數(shù)，并在給定空間維度D和對(duì)稱群G的條件下給出SPT的不等價(jià)類 (亦即SPT的分類)。具體來(lái)講，給定G之后，我們可以用G 的上同調(diào)群的群元來(lái)標(biāo)記SPT的不等價(jià)類。在群上同調(diào)的框架下，我們可以用定義在離散時(shí)空格點(diǎn)上的非線性西格瑪模型來(lái)研究SPT的體內(nèi)的基態(tài)和邊界的低能激發(fā)態(tài)。正如物理其他領(lǐng)域一樣，用不同的角度不同的方法去理解SPT物理是非常有價(jià)值的。群上同調(diào)的構(gòu)造辦法非常系統(tǒng)化。另一方面，由于群上同調(diào)的格點(diǎn)模型代表SPT不動(dòng)點(diǎn)的物理，不動(dòng)點(diǎn)模型的自旋之間的相互作用十分復(fù)雜 (比如：可能是六個(gè)相鄰自旋或者更多的相互作用)。群上同調(diào)理論關(guān)于連續(xù)自旋幺正對(duì)稱群的計(jì)算非常復(fù)雜，對(duì)反幺正對(duì)稱性的SPT的分類也不完全[28, 31]。然而這兩種類型的對(duì)稱性是實(shí)際量子自旋材料中常見(jiàn)的對(duì)稱性。另外，給定一個(gè)“非不動(dòng)點(diǎn)”的基態(tài)波函數(shù),群上同調(diào)方法不方便直接用于判斷出該基態(tài)是否是SPT、是哪一個(gè)SPT。

與SPT相反，iTO[10, 32-35]具有長(zhǎng)程糾纏，不需要對(duì)稱性的保護(hù)，支持非平凡的拓?fù)浼ぐl(fā)(比如二維iTO中的任意子)。iTO的邊界上會(huì)有“引力反?！?(比如一維手征流)。iTO的典型例子是手征自旋液體[2]、toric code自旋模型[36]、Kitaev蜂窩格子自旋模型[36]、Levin-Wen弦網(wǎng)自旋模型[37, 38]、Dijkgraaf-Witten模型[39]等。iTO和SPT有重要的對(duì)偶關(guān)系[25, 40]；通過(guò)研究iTO序我們可以間接探索新的SPT序。當(dāng)iTO具有某種對(duì)稱性G，我們稱這種iTO為SET (symmetry-enriched topological phases，對(duì)稱富化拓?fù)鋺B(tài)) [13]。從這個(gè)定義上來(lái)看，分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)可以看成含有二維手征iTO和對(duì)稱群的SET序。SET的研究也與尋找拓?fù)淞孔幼孕后w[41, 42]緊密聯(lián)系：通過(guò)研究任意子激發(fā)攜帶的分?jǐn)?shù)化量子數(shù)，我們可以分類與刻畫不同的自旋液體態(tài)。二維SET的張量范疇數(shù)學(xué)框架最近也有非常系統(tǒng)的研究[43-47]。三維iTO含有圈激發(fā) (loop excitations)，因而有必要研究三維SET甚至無(wú)能隙的自旋液體態(tài)中對(duì)稱性如何分?jǐn)?shù)化[48-60]。

SPT，iTO和SET都是強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)。我們不可能通過(guò)能帶結(jié)構(gòu)的分析來(lái)實(shí)現(xiàn)完整的分類和表征。尋找這些拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)的“拓?fù)洳蛔兞俊毙枰碌乃悸?。人們?cè)谘芯裤~氧高溫超導(dǎo)的過(guò)程當(dāng)中已經(jīng)發(fā)展了許多非常有效的理論研究方法異[11, 61-63]。規(guī)范場(chǎng)論就是其中一種。作為粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的理論基礎(chǔ)，規(guī)范場(chǎng)論在高能物理中占據(jù)著至關(guān)重要的地位。在凝聚態(tài)物理特別是強(qiáng)關(guān)聯(lián)物理中，規(guī)范結(jié)構(gòu)通常以低能下的演生的動(dòng)力學(xué)自由度出現(xiàn)。在長(zhǎng)波低能下，我們可以構(gòu)造出具有動(dòng)力學(xué)的阿貝爾規(guī)范結(jié)構(gòu)甚至非阿貝爾規(guī)范結(jié)構(gòu)。

近年來(lái)凝聚態(tài)物理中的拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)為研究具有拓?fù)湫再|(zhì)的規(guī)范場(chǎng)論提供了一個(gè)非常重要的平臺(tái)。同時(shí)，數(shù)學(xué)物理、高能物理里有許多與實(shí)際(3 + 1)維時(shí)空的粒子物理并無(wú)直接關(guān)系、但仍具有十分重要的理論價(jià)值的研究成果。令人振奮的是，這些研究成果十分巧妙地應(yīng)用到了凝聚態(tài)特別是強(qiáng)關(guān)聯(lián)拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)中，比如在研究拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)的邊界態(tài)的量子反常、體內(nèi)的拓?fù)淞孔訄?chǎng)論、編織統(tǒng)計(jì)、拓?fù)淞孔佑?jì)算等方面的應(yīng)用。文獻(xiàn)[64]簡(jiǎn)要回顧了近年來(lái)SPT，iTO和SET這些拓?fù)湮飸B(tài)的規(guī)范場(chǎng)論的研究進(jìn)展，特別在“投影構(gòu)造理論”、“低能有效理論”、“拓?fù)漤憫?yīng)理論”這三大塊。在“投影構(gòu)造理論”中，將物理自由度分成多個(gè)“部分子”，這些部分子之間在紫外有強(qiáng)烈的規(guī)范漲落。在“低能有效理論”中，使用流體力學(xué)方式的辦法來(lái)得到拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)的低能有效規(guī)范場(chǎng)論。在這些場(chǎng)論里的規(guī)范場(chǎng)是有動(dòng)力學(xué)的。在“拓?fù)漤憫?yīng)理論”中，通過(guò)施加外部規(guī)范場(chǎng)來(lái)探測(cè)拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)中的對(duì)稱性的性質(zhì)。這些拓?fù)漤憫?yīng)理論里的規(guī)范場(chǎng)是靜止的，沒(méi)有動(dòng)力學(xué)。

以上介紹的主要是玻色/自旋系統(tǒng)的拓?fù)湮飸B(tài)；費(fèi)米系統(tǒng)具有更加復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和豐富的物理現(xiàn)象，見(jiàn)最近的費(fèi)米子SPT的分類進(jìn)展[65]。另外，對(duì)于高對(duì)稱性 (higher symmetry)/高形式對(duì)稱性 (higher-form symmetry) 保護(hù)的SPT也是一個(gè)非常有趣的方向[66]。

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本文摘自《物理學(xué)報(bào)》，作者略有改動(dòng)。http://wlxb.xml-journal.net/article/doi/10.7498/aps.69.20200197