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微積分（八十七）——復(fù)積分（二）

2023-06-18 17:47 作者:Mark-McCutcheon 0人讀過 | 我要投稿

設(shè)光滑曲線

$%5C%5CC%3Az(t)%3Dx(t)%2Biy(t)%2Ct%5Cin%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

函數(shù) $f(z)$ 在其上連續(xù)。由上節(jié)內(nèi)容，我們可以把復(fù)積分拆分為四個(gè)和式的加減，而取極限后則成為四個(gè)R積分。如果我們稍微整理合并這四個(gè)R積分則可以得到：

$%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz%5C%5C%3D%5Cint_%7B%5Calpha%7D%5E%7B%5Cbeta%7Du(%5Cvarphi%20(t)%2C%5Cpsi%20(t))%5Cvarphi%20'(t)%20%5C%20dt-%5Cint_%7B%5Calpha%7D%5E%7B%5Cbeta%7Dv(%5Cvarphi%20(t)%2C%5Cpsi%20(t))%5Cpsi%20'(t)%20%5C%20dt%5C%5C%2Bi%5B%5Cint_%7B%5Calpha%7D%5E%7B%5Cbeta%7Du(%5Cvarphi%20(t)%2C%5Cpsi%20(t))%5Cpsi%20'(t)%20%5C%20dt%2B%5Cint_%7B%5Calpha%7D%5E%7B%5Cbeta%7Dv(%5Cvarphi%20(t)%2C%5Cpsi%20(t))%5Cvarphi%20'(t)%20%5C%20dt%5D%5C%5C%3D%5Cint_%7B%5Calpha%7D%5E%7B%5Cbeta%7D%5Bu(%5Cvarphi%20(t)%2C%5Cpsi%20(t))%2Biv(%5Cvarphi%20(t)%2C%5Cpsi%20(t))%5D(%5Cvarphi%20'(t)%2Bi%5Cpsi%20'(t))%20%5C%20dt%5C%5C%3D%5Cint_%7B%5Calpha%7D%5E%7B%5Cbeta%7Df(z(t))z'(t)%20%5C%20dt%20$

雖然包含虛數(shù)，但上式是實(shí)積分。覺得奇怪的讀者可以閱讀本系列第六十二節(jié)。

我們用上面的公式試進(jìn)行一個(gè)簡單的計(jì)算練習(xí)。

（一個(gè)重要的積分）? ?曲線 $C$ 為以 $z_0$ 為圓心的任一圓周，函數(shù) $f(z)%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B(z-z_0)%5En%7D%20$ ，證明：

$%5C%5C%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz%3D%5Cbegin%7Bcases%7D2%5Cpi%20i%2C(n%3D1)%5C%5C0%2C(n%E4%B8%BA%E4%B8%8D%E4%B8%BA1%E7%9A%84%E6%95%B4%E6%95%B0)%5Cend%7Bcases%7D$

證明? ?設(shè) $z_0%3Dx_0%2Bi%20y_0$ ，

$%5C%5CC%3Az(t)%3D(x_0%2Biy_0)%2Br(%5Ccos%20t%2Bi%5Csin%20t)%2Ct%5Cin%20%5B0%2C2%5Cpi%5D%2Cr%5Cin%20(0%2C%2B%E2%88%9E)$

于是

$%5Cint_%7BC%7Df(z)%20%5C%20dz%20%5C%5C%3D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7Br%5En(%5Ccos%20t%2Bi%5Csin%20t)%5En%7D%20%5Ccdot%20r(-%5Csin%20t%2Bi%5Ccos%20t)%20%5C%20dt%5C%5C%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%5E%7Bn-1%7D%7D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(%5Ccos%20t%2Bi%5Csin%20t)%5E%7Bn-1%7D%7D%20%5C%20dt$

理論上我們可以形式地將式中地三角形式化為指數(shù)形式，但考慮到許多讀者對(duì)此應(yīng)該并不熟知，故我們?nèi)圆扇∪切问?。?dāng) $n%3D1$ 時(shí)，上式結(jié)果顯然為 $2%5Cpi%20i$ ，而當(dāng) $n%5Cneq%201$ 時(shí)，上式

$%5C%5C%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%5E%7Bn-1%7D%7D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D(%5Ccos%20t%2Bi%5Csin%20t)%5E%7B1-n%7D%20%5C%20dt$

稍微動(dòng)用高中數(shù)學(xué)知識(shí)，由復(fù)數(shù)相乘的幾何意義知上式

$%5C%5C%3D%5Cfrac%7Bi%7D%7Br%5E%7Bn-1%7D%7D%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D(%5Ccos%20(1-n)t%2Bi%5Csin(1-n)t)%20%20%5C%20dt%3D0$

這就證完了。

上面的結(jié)論請(qǐng)讀者牢記。

下面鄭重提出兩個(gè)性質(zhì)：

在某一區(qū)域上有一連續(xù)復(fù)函數(shù)，

在區(qū)域內(nèi)任取兩點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)任取曲線將兩點(diǎn)連接，在兩點(diǎn)中取定起點(diǎn)和終點(diǎn)，函數(shù)沿該曲線的積分均為一個(gè)定值。即該區(qū)域內(nèi)函數(shù)的積分值在起點(diǎn)和終點(diǎn)確定的情況下與積分路徑無關(guān)。
任取周線全包含于區(qū)域內(nèi)，函數(shù)在該周線上的積分均為零。