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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR和損失期望值ES是常見的風(fēng)險(xiǎn)度量

首先明確：

• 時(shí)間范圍-我們展望多少天？

• 概率水平-我們怎么看尾部分布？

在給定時(shí)間范圍內(nèi)的盈虧預(yù)測分布，示例如圖1所示。??

圖1：預(yù)測的損益分布?

給定概率水平的預(yù)測的分位數(shù)。

圖2：帶有分位數(shù)的預(yù)測損益分布?

超出分位數(shù)的尾部。

圖3：帶有分位數(shù)和尾部標(biāo)記的預(yù)測損益分布?

點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

R語言基于ARMA-GARCH-VaR模型擬合和預(yù)測實(shí)證研究分析案例

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01

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方法

風(fēng)險(xiǎn)值（VaR）是在所選概率水平下預(yù)測分布分位數(shù)的負(fù)數(shù)。因此，圖2和3中的VaR約為110萬元。

損失期望值（ES）是超出VaR的尾部預(yù)期值的負(fù)值（圖3中的黃金區(qū)域）。因此，它總是比相應(yīng)的VaR大。

別名

損失期望值

損失期望值有很多別名：

• 條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）

• 平均短缺

• 平均超額損失

我發(fā)現(xiàn)“處于風(fēng)險(xiǎn)中的條件價(jià)值”令人困惑。我可以看到人們認(rèn)為在一定條件下它是一種風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，而不是超出風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的預(yù)期損失。

平均超額損失似乎是最具描述性的名稱。

在上方，我們看到一個(gè)帶有多個(gè)名稱的概念。在下面，我們看到一個(gè)具有多個(gè)概念的名稱。

概率等級

當(dāng)我說5％時(shí)，有人說95％。其實(shí)我們都是在處理尾部，這意味著（在我的術(shù)語中）肯定少于50％。

縮略語

“風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值”的縮寫有可能與其他兩個(gè)概念混淆：

• 方差

• 向量自回歸

所有這些都可以避免與大寫約定沖突：

• VaR：風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值

• var：方差

• VAR：向量自回歸

估算

初始成分

有兩種初始成分：

• 投資組合中的資產(chǎn)

• 所涉及資產(chǎn)的價(jià)格歷史

衍生成分

投資組合加上當(dāng)前價(jià)格得出投資組合權(quán)重。

價(jià)格歷史記錄矩陣用于獲取退貨歷史記錄矩陣。

給定投資組合的回報(bào)歷史記錄，可以通過多種方式獲得預(yù)測分布：

• 擬合假設(shè)分布

• 模擬（使用一段時(shí)間內(nèi)的經(jīng)驗(yàn)分布）

• 總體預(yù)測

• 梯度模擬

如果假設(shè)正態(tài)分布，則可以估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差以獲得預(yù)測分布。如果假設(shè)t分布，則還需要估計(jì)自由度或假設(shè)自由度。

通常被稱為模擬方法的方法實(shí)際上只是使用一些特定數(shù)量的投資組合收益的經(jīng)驗(yàn)分布。

使用單變量garch模型可以很好地估算VaR和ES。

R語言

對于VaR和ES ，R語言是非常合適的環(huán)境。

填充區(qū)域

您可能想知道如何填充圖中的區(qū)域，如圖3所示。竅門是使用該polygon函數(shù)。

?????plot(xseq,?pd,?type="l",?col="steelblue",?lwd=3,?????????yaxt="n",?ylab="",?????????xlab="Predicted?Profit/Loss?(millions?of?dollars)")????abline(v=qnorm(.05,?mean=.5,?sd=1),?lty=2,?lwd=3)?????polygon(c(xseqt,?max(xseqt)),?c(dnorm(xseqt,?????????mean=.5,?sd=1),?0),?col="gold",?border=NA)????lines(xseq,?pd,?type="l",?col="steelblue",?lwd=3)????abline(h=0,?col="gray80",?lwd=2)

投資組合方差計(jì)算

給定方差矩陣和權(quán)重向量的R命令來獲得投資組合方差：

weight?%*%?varianceMatrix?%*%?weight

假設(shè)權(quán)重向量與方差矩陣完全對齊。

weight?%*%?varianceMatrix[names(weight),????names(weight)]?%*%?weight

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和損失期望值的估計(jì)

評估風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值和損失期望值的簡介，以及使用R進(jìn)行估算 。

基本?

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（VaR）和預(yù)期短缺（ES）始終與投資組合有關(guān)。

您需要兩種基本成分：

• 投資組合

• 所涉及資產(chǎn)的價(jià)格歷史

這些可以用來估計(jì)市場風(fēng)險(xiǎn)。價(jià)格歷史記錄中可能不包含其他風(fēng)險(xiǎn)，例如信用風(fēng)險(xiǎn)。

多元估計(jì)

當(dāng)我們從資產(chǎn)級別開始時(shí)，VaR和ES在投資組合級別上都是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)數(shù)字。一種方法是估計(jì)資產(chǎn)收益的方差矩陣，然后使用投資組合權(quán)重將其折疊為投資組合方差。

單變量估計(jì)

通過投資組合的單個(gè)時(shí)間序列收益（現(xiàn)在是該投資組合），估算更為簡單。

我們可以通過將投資組合中資產(chǎn)的簡單收益矩陣乘以投資組合權(quán)重的矩陣來獲得此信息。

R1?<-?assetSimpRetMatrix?%*%?portWts

或 ：

R1?<-?assetSimpRetMatrix[,?names(portWts)]?%*%?portWts

R1上面計(jì)算的對象持有投資組合的（假設(shè)的）簡單收益。

r1?<-?log(R1?+?1)

當(dāng)然，還有其他選擇，但是一些常用方法是：

• 歷史的（使用最近一段時(shí)間內(nèi)的經(jīng)驗(yàn)分布）

• 正態(tài)分布（根據(jù)數(shù)據(jù)估算參數(shù)）并使用適當(dāng)?shù)姆治粩?shù)

• t分布（通常假設(shè)自由度而不是估計(jì)自由度）

• 擬合單變量garch模型并提前進(jìn)行模擬

R分析

以下是示例，其中spxret11包含2011年標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)每日對數(shù)收益的向量。因此，我們將獲得2012年第一天的風(fēng)險(xiǎn)度量（收益）。

>??"historical")???????????[,1]VaR?-0.02515786>?"gaussian")??????????[,1]VaR?-0.0241509>??"gaussian"????????????[,1]VaR?-0.03415703>??"historical")??????????[,1]ES?-0.03610873>??"gaussian")??????????[,1]ES?-0.03028617

如果第一個(gè)參數(shù)是矩陣，則每一列都可以視為投資組合中的資產(chǎn)。

no?weights?passed?in,?assuming?equal?weighted?portfolio$MVaR???????????[,1][1,]?0.02209855$contributionConvertible?Arbitrage????????????CTA?Global??????????0.0052630876?????????-0.0001503125?Distressed?Securities??????Emerging?Markets??????????0.0047567783??????????0.0109935244?Equity?Market?Neutral??????????0.0012354711?$pct_contrib_MVaRConvertible?Arbitrage????????????CTA?Global???????????0.238164397??????????-0.006801916?Distressed?Securities??????Emerging?Markets???????????0.215252972???????????0.497477204?Equity?Market?Neutral???????????0.055907342

風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的歷史估計(jì)

這是用于風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的歷史估計(jì)的簡單函數(shù)的定義：

VaRhistorical?<-?function(returnVector,?prob=.05,?????notional=1,?digits=2)?{??if(prob?>?.5)?prob?<-?1?-?prob??ans?<-?-quantile(returnVector,?prob)?*?notional??signif(ans,?digits=digits)}

投資組合，例如：

>?VaRhistorical(spxret11,?notional=13e6)????5%?330000

損失期望值?：

EShistorical?<-?function(returnVector,?prob=.05,?????notional=1,?digits=2)?{

可以這樣使用：

>?EShistorical(spxret11,?notional=13e6)[1]?470000

因此，風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值為? 330,000，損失期望值為 470,000。

正態(tài)分布

稍后會有一個(gè)更好的版本（從統(tǒng)計(jì)意義上來說），但是這是一種假設(shè)正態(tài)分布來獲得“風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值”的簡單方法：

用法如下：

>?VaRnormalEqwt(spxret11,?notional=13e6)[1]?310000>?VaRnormalEqwt(spxret11,?notional=13e6,?+?????expected.return=0)[1]?310000

在這種情況下，計(jì)算損失期望值有點(diǎn)復(fù)雜，因?yàn)槲覀冃枰业轿膊康钠谕怠?/p>

ESnormalEqwt?<-?function(returnVector,?prob=.05,?????notional=1,?expected.return=mean(returnVector),?????digits=2){??ans?<-?-tailExp?*?notional??signif(ans,?digits=digits)

這個(gè)例子的結(jié)果是：

>?ESnormalEqwt(spxret11,?notional=13e6)[1]?390000

一個(gè)更好的辦法是用指數(shù)平滑得到的波動性：

VaRnormalExpsmo?<-?function(returnVector,?prob=.05,??????notional=1,?expected.return=mean(returnVector),??????lambda=.97,?digits=2){??signif(ans,?digits=digits)

其中pp.exponential.smooth取自“指數(shù)衰減模型”。

>?VaRnormalExpsmo(spxret11,?notional=13e6)[1]?340000

t分布

VaRtExpsmo?<-?function(returnVector,?prob=.05,?????notional=1,?lambda=.97,?df=7,?digits=2){??if(prob?>?.5)?prob?<-?1?-?prob

結(jié)果是：

>?VaRtExpsmo(spxret11,?notional=13e6)2011-12-30?????340000

本文摘選?《?R語言風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR（Value at Risk）和損失期望值ES（Expected shortfall）的估計(jì)?》?，點(diǎn)擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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