這里解釋一下什么是鐵磁性和順磁性，上面已經(jīng)說物質(zhì)可以在磁鐵的作用下出現(xiàn)磁性，這個過程就叫“磁化”；磁化的過程會使內(nèi)部小磁鐵重組而產(chǎn)生一個宏觀磁場；但是由于物質(zhì)本身性質(zhì)不同，磁場的方向與外加磁場方向不一定相同，我們據(jù)此把物質(zhì)分為三類：順磁性、鐵磁性和抗磁性；前兩種方向與外部相同而最后一種相反，但鐵磁性最終產(chǎn)生的磁性要遠(yuǎn)大于順磁性，并且在外部磁場撤去后仍能保留磁場。后來，為了紀(jì)念這位偉大的科學(xué)家，人們就把這個點（上圖中的溫度Tc）命名為“居里點”。?鐵磁性所對應(yīng)的微觀本質(zhì)應(yīng)該是什么樣的呢？1920年德國物理學(xué)家楞次（Wilhelm Lenz，注意不是發(fā)現(xiàn)楞次定律的那個俄國科學(xué)家）研究了這個問題并提出了一個理論模型：他認(rèn)為可以把物質(zhì)內(nèi)部想象成一張網(wǎng)格，每個小格子里都分布有一個原子，這個原子用一個簡化的箭頭表示，箭頭方向就代表著該小磁鐵的磁場方向（上邊提到的安培分子電流假說認(rèn)為，每個原子都是一個個小磁鐵），就像這樣：

后來，他的學(xué)生伊辛（Ernst Ising）在導(dǎo)師以上模型的基礎(chǔ)上提出了一個簡化模型，并得到一維物質(zhì)無法保持磁性的觀點：他的模型包括了兩種磁性情況；主要是基于海森堡此前提出的有關(guān)自旋的模型而建構(gòu)起來的（海森堡是量子力學(xué)有名的奠基人之一；這里提到的自旋起源于兩個研究生的假設(shè)，后來被實驗所證實，它是一種區(qū)別于常見坐標(biāo)變量的新變量，就像質(zhì)量一樣，它也是微觀粒子的內(nèi)稟屬性之一）。

這個模型的物理圖景是這樣的：首先我們物質(zhì)總是傾向于處在能量最低的狀態(tài)（能量最小原理），而對鐵磁系統(tǒng)來說，原子磁場指向方向相同時彼此之間的相互作用能量會比較小，因而原子之間的相互作用，也就是磁力會傾向于使它們保持同一指向；但溫度等擾動卻會破壞這一傾向，它傾向于使系統(tǒng)變得雜亂無章，這使得小磁鐵們的指向最終很難保持一致，使得最終無法表現(xiàn)出宏觀的磁性來。

這個模型就是著名的伊辛模型。

1925 年 Ising 發(fā)表了一篇短文，作為他博士論文的總結(jié)。他精確地計算了自旋的一維晶格系統(tǒng)的配分函數(shù)。伊辛首先證明了在任何溫度下都不會在一維上發(fā)生向鐵磁有序狀態(tài)的相變。
后來，楞次和伊辛經(jīng)過簡單的推導(dǎo)就認(rèn)為，這個結(jié)論對二維和三維物質(zhì)同樣適用，即它們在任何溫度下由于同樣的原因均無法表現(xiàn)出磁性。這個模型乍聽起來很高大上，考慮到伊辛模型是我們今天的主角，讀者可能會認(rèn)為它應(yīng)是準(zhǔn)確無誤的。但是…

但是！這個模型提出的背景是為了解決磁鐵受熱過程中關(guān)于其微觀本質(zhì)變化的細(xì)節(jié)問題；但伊辛模型此時似乎未能很好的回答這個問題——三維物質(zhì)可以表現(xiàn)出磁性，也就是說，伊辛模型的簡單外推并不符合鐵磁性物質(zhì)的實際情況。伊辛做了一維模型的求解，但不能簡單的直接推廣到二維、三維中去。由于涉及的數(shù)學(xué)過程太復(fù)雜，在當(dāng)時還沒有被完整的求解出來。

所以在當(dāng)時這個模型確實引起了很多爭議，以至于在伊辛模型被大量利用的今天，知道伊辛對該模型的貢獻(xiàn)的人卻寥寥無幾。伊辛此后默默留在大學(xué)里承擔(dān)教學(xué)任務(wù)，他再也沒有回到科研中去。盡管爭議很大，我們前面提到的海森堡卻表明了自己獨到的見解：他認(rèn)為伊辛的成功之處在于：在自己導(dǎo)師所解決的一系列關(guān)于鐵磁體細(xì)節(jié)問題的基礎(chǔ)上，伊辛提出了兩個相鄰原子之間的相互作用并不足產(chǎn)生鐵磁性的假設(shè)。

所以，鐵磁性的產(chǎn)生可能還需要別的什么東西？某一種更強的力？相關(guān)問題的研究由于數(shù)學(xué)工具的缺乏而停止了腳步，漸漸的被歲月所遺忘…...

這個問題再一次“上熱搜”始于上世紀(jì)40年代理論物理學(xué)家昂薩格（Lars Onsager，1968年諾貝爾化學(xué)獎獲得者）對該問題的重新關(guān)注。他把目光放在二維伊辛模型上，決心要以一種更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行驗證，或者證偽。

二維伊辛模型的復(fù)雜之處在于，此時對某一個箭頭（也就是我們前面提到的原子磁場方向）來說，已不止像一維那樣僅有左右相鄰箭頭的影響，還多了上下相鄰箭頭的影響，這大大增加了模型的解決難度。但大神就是大神，再難的問題也阻止不了昂薩格的腳步，他用一種鬼斧神工般的、至今也未能被完全理解的所謂“非人類”的數(shù)學(xué)過程證明了，二維伊辛模型的磁性會隨著溫度的改變而有所變化（而并非如伊辛所說在任何溫度下都不會顯現(xiàn)磁性），其在低溫情況下溫度對系統(tǒng)干擾度相對較小，此時原子之間的相互作用占優(yōu)勢——最終所有原子指向一致；當(dāng)溫度逐漸上升，天平會逐漸傾斜，到達(dá)某一個溫度值時溫度對系統(tǒng)的擾動將占優(yōu)勢，這時系統(tǒng)就不會表現(xiàn)出磁性。

其實這個結(jié)論乍一看與伊辛的導(dǎo)師楞次最初的猜想差不多；只是人家成功的把猜想用數(shù)學(xué)一步步推導(dǎo)出來了。這個結(jié)論表明，我們確實可以用一張二維網(wǎng)格去模型化實際物質(zhì)，將一個個原子用箭頭表示，而無需考慮粒子本身的各種紛繁復(fù)雜的屬性。

值得一提的是，在對伊辛模型求解所做的貢獻(xiàn)中也不乏中國人的身影。在凝聚態(tài)物理中存在各種各樣的模型，這些模型并不對系統(tǒng)的具體細(xì)節(jié)屬性有所規(guī)定，也就是說，對于兩個包含原子不同的系統(tǒng)，當(dāng)它們運用相同的模型進(jìn)行計算（當(dāng)然得滿足該模型所規(guī)定的前提條件）時，所最終求解的邊界條件、臨界指數(shù)等值應(yīng)當(dāng)相等且與理論完全吻合（否則理論要被修正）；二維伊辛模型中同樣存在一組臨界指數(shù)，對這些指數(shù)的求解一直是一個重大的研究課題之一——楊振寧就曾于1952年嚴(yán)格求解出當(dāng)時由昂薩格在一次國際會議上隨手寫下卻未證明的一個指數(shù)；后來，1967年吳大峻等人又成功計算出另一指數(shù)。這組指數(shù)對標(biāo)定物質(zhì)相變具有關(guān)鍵作用。假如相變是一輛車，指數(shù)就是其上一個關(guān)鍵零部件；缺少此零部件，這輛車將無法開動。

自此，我們對伊辛模型的歷史有了一個基本的了解；后來這個模型的應(yīng)用范圍從鐵磁性研究拓展開來，被其他眾多學(xué)科所應(yīng)用而大放異彩，甚至在計算機領(lǐng)域、包括人工智能方向發(fā)揮自己獨有的作用。下一篇文章我們將談?wù)勔列聊Ｐ驮诮M合優(yōu)化問題中的應(yīng)用。