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大家好，我是大老李。今天聊一個比較輕松的話題–“近整數”，Almost Integer?！敖麛怠钡母拍罘浅：唵?，就是一些從無理數的運算組合中，不經意發(fā)現(xiàn)一些計算結果非常接近整數的情況，所以叫近整數。

之前的節(jié)目中，大老李提到過一個近整數，就是在有關“黑格納數163”那期節(jié)目。我提到了這樣一個數字：

。

因為e,

和

都是無理數，所以這個數字的計算結果直覺中當然是一個無理數，這是對的。但是這個無理數是如此接近于整數，以至于大老李第一次看到的時候驚得下巴都快掉下來了。當然，你用計算器是算不出這個數字的小數部分了，因為它的整數部分已經非常大了，但我十分建議你自己上網找些大數字計算器，看看這個數字的樣子：

其小數點后有12個9，你就知道它是多么接近于整數。當然最令人吃驚的是通過e,

和

這些無理數的簡單組合，能計算出這樣一個如此接近整數的數。當然這個數字如此解近整數是有原因的，具體原因還是請聽黑格納數那期節(jié)目，而且我們知道根號里的163換成其他任何整數都不會使結果更加接近整數了。所以這個形式簡單的數字里蘊含了很深的數學含義，這就是我們研究近整數的原因之一。

以下大老李給大家介紹一些其他的近整數，它們的共同特點就是都是從無理數包括超越數的組合中得到的一些非常接近整數的無理數。另外，要注意一點，近整數是與進制無關的，不管是10進制，16進制，或者二進制下，這些數字都還是近整數，所以外星人也可能在研究這些數字。

首先一組近整數是黃金分割比的冪次。黃金分割就是

，約等于1.618。這個數字的冪次會越來越接近整數，比如它的17，18，19次方：

這其實是原因的，因為黃金分割比屬于無理數里比較特別的一種稱為PV數，這種數字在“三維世界的黃金比例-塑料常數”中也提到過，請大家自行查閱。

下一個近整數是

，這里的11是弧度制下的11，不是11°。如果你手頭有科學計算器可以馬上算一下，你會發(fā)現(xiàn)：

它為什么如此接近-1？其實道理不難。因為我們知道22/7是pi的一個近似分數，那么：

知道

(11)$約等于-1就一點不奇怪了。

當然，你還可以用

更好的近似分數構造這種類型的近整數，比如355/113。這個就留個聽眾自行嘗試了。

下一個例子是非常讓人震驚的一個例子，有另一個有關e和

的近整數：

這個近整數是1988年，幾乎有三位數學家尼爾斯·洛恩，約翰·康威和西蒙·普勞夫同時發(fā)現(xiàn)的。上一期說過

是為數不多的幾個被證明的超越數，它現(xiàn)在被稱為“蓋爾方德常數。”而

是一個近整數，這說明

的小數部分非常接近pi的小數部分，但這是為什么，至今沒有人給出令人滿意的解釋，可以說是數學中的神秘現(xiàn)象。

下一個近整數比較搞笑：是很多cos余弦的嵌套：

我很懷疑這個數字是發(fā)現(xiàn)者無聊按計算器算出來的?，F(xiàn)在的問題是為什么這個數字是近整數？以上cos再多一層不行，5換成4或6也不行。這是數字里的又一個神秘現(xiàn)象。

下一個近整數是拉馬努金發(fā)現(xiàn)的：

這個數字很有拉馬努金風格。

有些近整數是含有對數的：

再說一些有關pi和e的近整數：比如

再一次出現(xiàn)163。也很神奇的是用

去減掉e。因為我想象不出來任何場合需要用

這樣的運算，但是這樣結果乘以163會如此接近整數，實在是太神奇了。

還有與pi和e相關的是：

再來一個與163相關的 :

與e和pi相關的近整數非常多，我就不在節(jié)目念了。強烈推薦你關注我的公眾號，“大老李聊數學”，我會發(fā)這些數字以文稿形式發(fā)送出來 ，供你欣賞。

最后，如果我們允許用物理常數進行運算的話，那么科學家也發(fā)現(xiàn)了一些在國際單位制下，可以得到近整數，最讓人吃驚這樣一個數：

其中c是光速，e是單位電子電量，k是玻爾茲曼常數，h是普朗克常數。你如果將以上常數用國際單位制下的數值代入，就會發(fā)現(xiàn)是1.0008，單位是mA/(sK)。這些單位這么組合有什么意義嗎？科學家還沒有看出來。但是這個結果如此接近1是巧合還是必然？會不會是我們測量不精確，其實這個組合就應該等于1？如果這是必然，那么這些看似不太相關的常數如此組合，能得到一個整數，那么其中肯定有一個十分深刻的道理，這讓人浮想聯(lián)翩。

好了，近整數就講到這里。近整數有點像數學里的物理實驗 ，通過一些簡單的對無理數的組合運算，不經意間得到一個非常接近整數的無理數。其中很多近整數我們能解釋其接近整數的原因，還有很多我們不知道。特別是e和

的一些組合，它們不愧為數學常數中的兩大王牌，任何場合它們都不會缺席。而數學家發(fā)現(xiàn)包含

和

的運算組合可以得到近整數的結果，這使得這兩個我們最熟悉的數學常數更平添了一點神秘感。

最后，科學家還發(fā)現(xiàn)一些物理常數的組合能得到近整數，這是巧合還是必然？這又是一個有待人類無盡探索的問題。好了，下期再見！

參考鏈接：

https://en.wikipedia.org/wiki/Almost_integer

http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html

喜馬拉雅：https://www.ximalaya.com/keji/6310606/

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