1943年，馮·卡門(mén)創(chuàng)辦“Quarterly of Applied Mathematics”(《應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊》)，并執(zhí)筆完成“Tooling up mathematics for engineering”(《用數(shù)學(xué)武裝工程科學(xué)》)一文刊登于創(chuàng)刊號(hào)卷首。文章通過(guò)數(shù)學(xué)家與工程師對(duì)話的形式，闡釋數(shù)學(xué)與應(yīng)用科學(xué)間的關(guān)系。其中的很多觀點(diǎn)，今天看來(lái)仍頗富啟示作用。

撰文?| 馮·卡門(mén)翻譯?|?李家春、戴世強(qiáng)

人們常說(shuō)，研究數(shù)學(xué)的主要目的之一是為物理學(xué)家和工程師們提供解決實(shí)際問(wèn)題的工具。從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看來(lái)，事實(shí)很清楚，許多重大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是在了解自然規(guī)律的迫切要求下應(yīng)運(yùn)而生的，許多數(shù)學(xué)方法是由主要對(duì)實(shí)際應(yīng)用感興趣的人創(chuàng)立的。然而，每個(gè)真正的數(shù)學(xué)家都會(huì)感到，把數(shù)學(xué)研究局限于考察那些有直接應(yīng)用的問(wèn)題，對(duì)這位“科學(xué)的皇后”來(lái)說(shuō)未免有點(diǎn)不公道，事實(shí)上，這位“皇后”的虔誠(chéng)的歌頌者對(duì)于把他們的女主人貶黜為她的比較注重實(shí)際的、一時(shí)較為顯赫的姐妹的“侍女”，經(jīng)常感到忿忿不平。

這就不難理解為什么數(shù)學(xué)家和工程師持有爭(zhēng)論不休的分歧意見(jiàn)了。兩種職業(yè)的代表人物不止一次地表示了這種分歧意見(jiàn)。

數(shù)學(xué)家對(duì)工程師說(shuō)：我在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上建造了一座大廈——建立在明確的公設(shè)上的定理體系。我深入分析了邏輯思維過(guò)程， 確定是否存在可以認(rèn)為是正確的（至少是可能正確的）論述。我所關(guān)心的是， 由我自己的思維確切定義的事物之間的函數(shù)關(guān)系，以及使我得以探索這種函數(shù)關(guān)系各個(gè)方面的方法。如果你們發(fā)現(xiàn)我所建立的概念、邏輯過(guò)程或方法能用于你們的日常工作， 那我自然感到欣慰。我得到的所有結(jié)果任憑你們處置， 但是得讓我按自己的方式來(lái)追求自己的目標(biāo)。

工程師說(shuō)：你們的老前輩，那些偉大的數(shù)學(xué)家，他們的意見(jiàn)同你們可不一樣。難道歐拉不是既致力于純粹數(shù)學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)，又從事工程裝置的理論研究嗎? 渦輪機(jī)、柱的屈曲和打樁的基本理論方面，都有著歐拉的貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展是同物理學(xué)的發(fā)展特別是力學(xué)的發(fā)展分不開(kāi)的。很難設(shè)想，要是沒(méi)有為計(jì)算運(yùn)動(dòng)物體軌跡尋找數(shù)學(xué)工具的迫切要求，人們的頭腦中會(huì)孕育有關(guān)微分方程的概念。倘若我們假定運(yùn)動(dòng)由某些基本的力學(xué)關(guān)系或幾何關(guān)系確定，而這些關(guān)系在運(yùn)動(dòng)的每一瞬間都成立，就會(huì)自然而然地產(chǎn)生微分方程的概念。還有， 變分法也主要是為解決物理問(wèn)題而創(chuàng)立的，有時(shí)解決這些問(wèn)題本身就是目的， 有時(shí)是為了實(shí)際應(yīng)用。十八世紀(jì)和十九世紀(jì)的前幾十年也許是數(shù)學(xué)科學(xué)突飛猛進(jìn)的黃金時(shí)代，那時(shí)，純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間并沒(méi)有明確的界限。大師們把邏輯思維和直觀創(chuàng)造力結(jié)合起來(lái)，創(chuàng)立了一系列方法和定理；大功告成之后，進(jìn)行抽象思維的數(shù)學(xué)家著手致力于彌補(bǔ)邏輯推理方面的某些不足之處，把前一時(shí)期大師們的豐碩成果加以編纂，使之系統(tǒng)化。

數(shù)學(xué)家：我覺(jué)得你低估了你所說(shuō)的系統(tǒng)編纂工作的重要性。為了保證正確地應(yīng)用微積分學(xué)和微分方程理論，絕對(duì)有必要精確地定義我們所說(shuō)的極限過(guò)程，給出象無(wú)窮小、無(wú)窮大這樣的術(shù)語(yǔ)的真實(shí)涵義，你說(shuō)對(duì)不對(duì)呢？你大概不能把伽利略稱(chēng)為抽象數(shù)學(xué)家或純粹數(shù)學(xué)家吧！也許你還記得，正是伽利略指出了把相等和不等的觀念應(yīng)用于無(wú)窮量時(shí)必然會(huì)出現(xiàn)的矛盾。他注意到，你可以說(shuō)整數(shù)比其平方數(shù)的個(gè)數(shù)多，因?yàn)槊總€(gè)平方數(shù)都是整數(shù)，但整數(shù)不全是平方數(shù)；你也可以說(shuō)，平方數(shù)和整數(shù)的個(gè)數(shù)相同，這同樣也是合理的，因?yàn)槊恳粋€(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)著一個(gè)平方數(shù)。可公度性、可數(shù)性、連續(xù)統(tǒng)的邏輯分析、集合論以及近代的拓?fù)鋵W(xué)， 這些觀念的建立是人類(lèi)思維發(fā)展的關(guān)鍵步驟；其中有許多是沒(méi)有自覺(jué)地考慮物理應(yīng)用而獨(dú)立地構(gòu)想出來(lái)的。但是，即使從應(yīng)用的角度看來(lái)，也有必要加固我們自己的大廈的基礎(chǔ)，也就是說(shuō)，改善數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。對(duì)級(jí)數(shù)收斂性條件（即允許進(jìn)行逐項(xiàng)微分和積分的條件）不作精確的分析，誰(shuí)也不可能有把握正確無(wú)誤地運(yùn)用級(jí)數(shù)。在具有想象和直觀天賦的人們完成主要工作之后，再開(kāi)始尋求新發(fā)現(xiàn)的牢固基礎(chǔ)，這是一種不正確的傾向。達(dá)朗貝爾就已經(jīng)要求把微積分學(xué)建立在極限論的基礎(chǔ)上了；按你的看法，柯西，勒讓德和高斯無(wú)疑在富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)天才之列，他們?yōu)閿?shù)學(xué)從直觀到嚴(yán)格的過(guò)渡作出了卓有成效的貢獻(xiàn)。十九世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)繼續(xù)朝著當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家（或許是樂(lè)觀地）認(rèn)定的完全合乎邏輯和絕對(duì)嚴(yán)格的偉大目標(biāo)向前發(fā)展。然而，除了闡明基本原理之外，那個(gè)時(shí)期也為應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展開(kāi)辟了新的道路。比如說(shuō)，你提到了微分方程，你們工程師從這一數(shù)學(xué)分支得益非淺。復(fù)變函數(shù)理論、微分方程按奇性的分類(lèi)以及對(duì)這些奇性的研究，都是在你所說(shuō)的系統(tǒng)編纂時(shí)期內(nèi)發(fā)展起來(lái)的，難道你不認(rèn)為這些正是建立微分方程這一數(shù)學(xué)分支的非常重要的步驟嗎？這些理論把通過(guò)試湊求解微分方程的原始方式變成了全面了解整個(gè)領(lǐng)域的系統(tǒng)的方法。

工程師：我同意你的觀點(diǎn)，尤其是關(guān)于復(fù)變函數(shù)論的觀點(diǎn)。確實(shí)，保角變換是解決無(wú)數(shù)物理問(wèn)題的一種最有效、最優(yōu)美的方法。我也同意你關(guān)于奇性分析具有根本重要性的看法。事實(shí)上，在非正則點(diǎn)附近，我們所用的圖解法和數(shù)值解法肯定會(huì)失效或不便于使用，從而必須求助于解析方法。不過(guò)遺憾的是，你們數(shù)學(xué)家有點(diǎn)象對(duì)人體疾病比對(duì)人體正常功能規(guī)律更感興趣的醫(yī)生，或者象關(guān)注人類(lèi)思維病理失常而不去研究正常思維過(guò)程規(guī)律的心理學(xué)家。大多數(shù)情況下，我們必須研究“性質(zhì)良好的函數(shù)”，希望有行之有效的方法相當(dāng)準(zhǔn)確地確定它們?cè)谀承┨囟ㄇ樾沃械男再|(zhì)。

數(shù)學(xué)家答道：難道你們不會(huì)應(yīng)用我們提出的求解微分方程和積分方程的一般方法嗎? 如果它們的解由如你所說(shuō)的“性質(zhì)良好的函數(shù)”給出，那么我看不出還有什么了不得的困難，也不明白你們還要我們干些什么。

工程師：你們的一般定理處理的多數(shù)是解的存在性和解法的收斂性，你可能記得亥維賽說(shuō)過(guò)的俏皮話：“按照數(shù)學(xué)家的意見(jiàn)，這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的；因此，我們或許可以拿它來(lái)派點(diǎn)用場(chǎng)?！蹦銈儎趲熧M(fèi)功、絞盡腦汁來(lái)證明解的存在性，而我們從物理上看來(lái)，這一點(diǎn)卻常是一目了然的。你們很少花費(fèi)精力來(lái)尋找和討論實(shí)際有用的解；即使這樣做了，多數(shù)也只是局限于簡(jiǎn)單情形，比方說(shuō)，討論涉及幾何形狀簡(jiǎn)單的物體的問(wèn)題。我來(lái)談?wù)勊^特殊函數(shù)。我承認(rèn)，數(shù)學(xué)家們研究過(guò)很多種特殊函數(shù)，把它們的數(shù)值列成了表，對(duì)它們的級(jí)數(shù)展開(kāi)式和定積分表示式已經(jīng)作了詳盡研究。可惜，這種函數(shù)在工程中應(yīng)用范圍有限。物理學(xué)家在探索基本定律時(shí)可以選擇幾何形狀簡(jiǎn)單的試件作實(shí)驗(yàn)研究；工程師卻不得不直接處理形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，他不能僅僅因?yàn)橐环N結(jié)構(gòu)幾何形狀簡(jiǎn)單，應(yīng)力分布可用特殊函數(shù)算出，就退而采用這種結(jié)構(gòu)。而且，大多數(shù)特殊函數(shù)僅適用于線性問(wèn)題。過(guò)去，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，物理學(xué)家和工程師往往把他們的問(wèn)題加以線性化。數(shù)學(xué)家喜歡這種簡(jiǎn)化，因?yàn)樗箖?yōu)美的數(shù)學(xué)方法大有用武之地。遺憾的是，隨著工程科學(xué)向前發(fā)展，人們需要得到較為精確的數(shù)據(jù)和進(jìn)一步接近物理真實(shí)性， 這就迫使我們想方設(shè)法去解決許多非線性問(wèn)題。

數(shù)學(xué)家：嗯，很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)家對(duì)于非線性問(wèn)題極感興趣。看來(lái)，你們迫切需要的是發(fā)展適當(dāng)?shù)慕品椒ā２贿^(guò)，你對(duì)我們證明存在性的批評(píng)是不正確的，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多存在性的證明遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了直觀的范圍。我也知道，你們工程師非常成功地使用了各種迭代方法。譬如說(shuō)，要證明一個(gè)邊值問(wèn)題解的存在性，我們也經(jīng)常采用迭代法，換句話說(shuō)，我們和你們一樣，確實(shí)也構(gòu)造了一系列近似解，唯一的區(qū)別在于你們只是假定迭代過(guò)程可以產(chǎn)生唯一的解，而我們證明了這一點(diǎn)。還有，在我看來(lái)，你們用于解彈性力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題的所謂“能量法”，與變分學(xué)中的直接方法密切相關(guān)，我指的是，不解歐拉-拉格朗日微分方程，直接構(gòu)造有給定邊值的極小化函數(shù)的方法。我覺(jué)得，在純粹數(shù)學(xué)分析與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間畢竟存在許多共同之處。

工程師：我并不否認(rèn)這一點(diǎn)，事實(shí)上，我一向認(rèn)為，分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)的支柱。不過(guò)，要是你真正著手把分析應(yīng)用到實(shí)際情形中去，你就會(huì)看到，從掌握一種近似方法的一般概念到成功地應(yīng)用這種方法，還有很多工作要做。比方說(shuō)，存在著可資利用的時(shí)間和人力的問(wèn)題。做某些類(lèi)型工作時(shí)，我們可以用精巧的機(jī)械裝置或電動(dòng)裝置，象微分分析儀或電動(dòng)計(jì)算機(jī)之類(lèi)。然而，在大多數(shù)場(chǎng)合下，我們必須不借助于這種手段進(jìn)行計(jì)算，這時(shí)，光知道近似過(guò)程的收斂性就不夠了，我們還得確定用哪一種方法能在最短的時(shí)間內(nèi)得到具有給定近似程度的解，必須對(duì)逐次近似所改進(jìn)的準(zhǔn)確度作出恰當(dāng)?shù)墓烙?jì)，所有這些實(shí)際問(wèn)題要求我們進(jìn)行艱苦的數(shù)學(xué)研究。我認(rèn)為，我們確實(shí)需要數(shù)學(xué)家的幫助，來(lái)改進(jìn)我們的直觀方法，或許不妨說(shuō)，對(duì)我們的直觀方法加以評(píng)論和系統(tǒng)化。事實(shí)上，要把數(shù)學(xué)成功地應(yīng)用于工程問(wèn)題，需要數(shù)學(xué)家與工程師的密切合作。在表面上截然不同的領(lǐng)域里找出作為它們基礎(chǔ)的共同的數(shù)學(xué)關(guān)系， 這決不是一件輕而易舉的事。打算搞應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)家必須對(duì)所涉及的物理過(guò)程有相當(dāng)透徹的了解。另一方面，為了適當(dāng)?shù)乩脭?shù)學(xué)工具， 工程師必須深入鉆研數(shù)學(xué)分析的基本原理，并達(dá)到相當(dāng)高的水平。把一堆機(jī)床雜亂無(wú)章地拼湊起來(lái)， 成不了一個(gè)高效率的金工車(chē)間。我們知道， 在你們的數(shù)學(xué)寶庫(kù)里有著非常管用的機(jī)床， 擺在我們面前的任務(wù)是要懂得如何調(diào)整、使用它們。

數(shù)學(xué)家：我覺(jué)得你的話有些道理。把你的譬喻引伸一步，為了成批解決工程問(wèn)題，你們還需要某種機(jī)床設(shè)計(jì)師——真正的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。他們的原有經(jīng)歷可以是各種各樣的：可以來(lái)自純粹數(shù)學(xué)界、物理學(xué)界或工程科學(xué)界，但他們的共同目標(biāo)是為工程科學(xué)提供數(shù)學(xué)工具。

馮·卡門(mén)

西奧多·馮·卡門(mén)（Theodore von Kármán，1881-1963），匈牙利猶太人，1936年入美國(guó)籍，是20世紀(jì)最偉大的航天工程學(xué)家，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)科學(xué)在航空航天和其他技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用，被譽(yù)為“航空航天時(shí)代的科學(xué)奇才”。他所在的加利福尼亞理工學(xué)院實(shí)驗(yàn)室后來(lái)成為美國(guó)國(guó)家航空航天局噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室（JPL）， 我國(guó)著名科學(xué)家錢(qián)偉長(zhǎng)、錢(qián)學(xué)森、郭永懷等都是他的親傳弟子。

本文原載《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)》創(chuàng)刊號(hào)李家春 戴世強(qiáng)譯自美國(guó)應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊

(Quarterly of Applied Mathematics)創(chuàng)刊號(hào)2-6 頁(yè)，(1943)