預(yù)備知識(shí)：

1. 夾逼準(zhǔn)則：若三個(gè)數(shù)列{xn}，{yn}，{zn}從某項(xiàng)開(kāi)始成立xn<=yn<=zn，n>n0，且lim xn =lim zn=a，則lim yn=a.

2. 兩個(gè)多項(xiàng)式f（x），g（x）互素的充分必要條件是存在多項(xiàng)式u（x），v（x），使得u（x）f（x）+v（x）g（x）=1；

3. 如果（f1（x），g（x））=1，（f2（x），g（x））=1，那么（f1（x）f2（x），g（x））=1.

4. 已知（f（x），g（x））=1，則（f（x），f（x）+g（x））=1，（g（x），f（x）+g（x））=1.

參考資料：

1. 《數(shù)學(xué)分析》（陳紀(jì)修 於崇華 金路）

2. 《解析幾何》（呂林根 許子道?編）

3. 《大學(xué)教材全解 高等代數(shù)（北大第三版）》（總策劃：薛金星 主編：劉建波）

數(shù)學(xué)分析——

例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析（陳紀(jì)修?於崇華?金路）》）——

求下列數(shù)列的極限（等于先告訴你數(shù)列收斂）：

1. lim（1-1/2^2）（1-1/3^2）…（1-1/n^2）；

2. lim（n*lg n）^（1/n）；

3. lim[1/2+3/2^2+…+（2n-1）/2^n].

解：

1. 由平方差公式：
   

1. lim（1-1/2^2）（1-1/3^2）…（1-1/n^2）

   =lim（1*3/2^2）（2*4/3^2）…[（n-1）（n+1)/n^2]

   =lim（1/2)[(n+1）/n]

   =1/2.

2. 由夾逼準(zhǔn)則：

1. lg n/n=lg n/lg（10^n）<1，所以lg n<n；
   

2. n>10時(shí)，1<lg n<n，lim n^（1/n)=1，則lim（lg n）^（1/n）=1；
   

3. 所以，lim（n*lg n）^（1/n）=lim（lg n）^（1/n）lim n^（1/n)=1.

3. 極限存在的前提下：

1. 令S=1/2+3/2^2+…+（2n-1）/2^n；

2. 2S=1+3/2+…+（2n-1）/2^（n-1）；

3. S

   =2S-S

   =1+1+1/2+…+1/2^（n-2）-（2n-1）/2^n

   =1+[1-1/2^（n-1）]/[1-（1/2）]-（2n-1）/2^n

   =3-1/2^（n-2）-（2n-1）/2^n；

4. lim[1/2+3/2^2+…+（2n-1）/2^n]

   =lim[3-1/2^（n-2）-（2n-1）/2^n]

   =3.
   

解析幾何——

例題（來(lái)自《解析幾何（呂林根 許子道?編）》）——

設(shè)一直線上三四按A，B，P滿足AP=λPB（λ≠-1），O是空間任意一點(diǎn)，求證：

OP=（OA+λOB）/（1+λ）.

證：

1. AP=λPB（λ≠-1），則AB=AP+PB=λPB+PB=（1+λ）PB，PB=AB/（1+λ）；
   

2. OP

   =OA+AP

   =OA+λPB

   =OA+λAB/（1+λ）

   =OA+λ（OB-OA）/（1+λ）

   =（OA+λOB）/（1+λ），證畢。

   
   

高等代數(shù)——

例題（來(lái)自《大學(xué)教材全解 高等代數(shù)（北大第三版）（總策劃：薛金星 主編：劉建波）》）——

對(duì)于任意的非負(fù)整數(shù)n，令fn（x）=x^（n+2）-（x+1）^（2n+1），證明：

（fn（x），x^2+x+1）=1.

證明：數(shù)學(xué)歸納法——

1. 當(dāng)n=0時(shí)，f0（x）=x^2-x-1，顯然有（f0（x），x^2+x+1）=1；

2. 假設(shè)（fn-1（x），x^2+x+1）=1結(jié)論成立，即（x^（n+1）-（x+1）^（2n-1），x^2+x+1）=1，所以，存在多項(xiàng)式u（x），v（x），使

   u（x）fn-1（x）+v（x）（x^2+x+1）=1；

3. fn（x）

   =x^（n+2）-（x+1）^（2n+1）

   =x[x^（n+1）-（x+1）^（2n-1）]+x（x+1）^（2n-1）-（x+1）^（2n+1）

   =xfn-1（x）+[x-（x+1）^2]（x+1）^（2n-1）

   =xfn-1（x）-（x^2+x+1）（x+1）^（2n-1），

   則

   fn-1（x）

   =[fn（x）+（x^2+x+1）（x+1）^（2n-1）]/x；

4. 由2、3：

   u（x）fn-1（x）+v（x）（x^2+x+1）

   =u（x）[fn（x）+（x^2+x+1）（x+1）^（2n-1）]/x+v（x）（x^2+x+1）

   =[u（x）/x]fn（x）+[u（x）（x+1）^（2n-1）/x+v（x）]（x^2+x+1）

   =1，

   所以，（fn（x），x^2+x+1）=1，證畢。