使用小車車?yán)斫釶oincare Map判斷極限環(huán)穩(wěn)定性-HZD基礎(chǔ)知識之一

2022-04-06 21:13 作者:我與機器人 0人讀過 | 我要投稿

前言

最近在看雙足控制框架另一學(xué)派，HZD Jessy 大神寫的書feedback control of dynamic bipedal robot locomotion, 看到里面使用龐加萊map來表述周期性運動的穩(wěn)定性，之前雖然在nonlinear system control里學(xué)過，但后面并沒有去嘗試使用，這里使用小車車進行舉例理解，可能有理解不到位的地方歡迎大家指出。

基礎(chǔ)知識描述：

一個問題：

當(dāng)我們遇到超過2維的系統(tǒng)時，如果機器人控制時存在周期運動，比如雙足行走過程,如何來證明極限環(huán)的穩(wěn)定性？

這里給出的工具就是Poincare Map.

定義：

為了降低維度，我們不可能研究整條軌跡，一般研究那些和一個面相交的點(這個面一般是平面)參考圖1，而且只研究給定方向的交點，這個面就叫做Poincare Section, 而通過transformation T將一個點連接到下一個穿過面的點就叫做Poincare map(First return map)。注意這里可能有點拗口，后面可以看例子，可能就比較清晰了。

公式如下：

$P_%7Bk%2B1%7D%3DT%5Cleft(P_%7Bk%7D%5Cright)%3DT%5Cleft(T%5Cleft(P_%7Bk-1%7D%5Cright)%5Cright)%3DT%5E%7B2%7D%5Cleft(P_%7Bk-1%7D%5Cright)%3DT%5E%7Bk%2B1%7D%5Cleft(P_%7B0%7D%5Cright)$

通過這個方式，由于我們只關(guān)注和平面的交點，而不是軌跡本身，那么就把一個continuous flow ?轉(zhuǎn)換為離散圖。

針對極限環(huán)來說：

我們的目標(biāo)就是證明這個極限環(huán)是穩(wěn)定的，也就是從任意點出發(fā)的軌跡最后都converge這個環(huán)，對于Poincare Map 來說就是不斷的去靠近equilibrium point( $P%5E*%3DT(P%5E*)$ )，收斂到一個可以接受的范圍內(nèi)。

使用Poincare Map什么情況下極限環(huán)穩(wěn)定？

一句話總結(jié)，求關(guān)于P的雅克比，只要特征值小于1，哪極限環(huán)就是穩(wěn)定的

哪如何證明？

可以簡單理解為，只需要在某個equilibrium point或者目標(biāo)點附近，使得線性化后變量

小于1，那么當(dāng)時間infinity的時候極限環(huán)就每次穿過poincare section的相同點域內(nèi)。

具體證明公式如下，其中 $P_0%3DP%5E*%2B%5Cdelta%20P_0$ ，是一個在目標(biāo)點(Equlilibium Point)點的附近一個點， $P_%7Bi%2B1%7D%3DT(P_i)%3DP%5E*%2B%5Cdelta%20P_%7Bi%2B1%7D$ 為迭代式, $%5Cleft.%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%20$ 在目標(biāo)點附近做雅克比運算，多次迭代后得到如下式子：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%20T%5Cleft(P%5E%7B*%7D%2B%5Cdelta%20P_%7B0%7D%5Cright)%20%26%20%5Csimeq%20T%5Cleft(P%5E%7B*%7D%5Cright)%2B%5Cleft.%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%20.%20%5Cdelta%20P_%7B0%7D%20%5C%5C%20P_%7B1%7D%20%26%20%5Csimeq%20P%5E%7B*%7D%2B%5Cleft.%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%20.%20%5Cdelta%20P_%7B0%7D%20%5C%5C%20%5Cdelta%20P_%7B1%7D%20%26%5Cleft.%5Csimeq%20%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%20.%20%5Cdelta%20P_%7B0%7D%20%5C%5C%20T%5E%7B2%7D%5Cleft(P%5E%7B*%7D%2B%5Cdelta%20P_%7B0%7D%5Cright)%20%26%3DT%5Cleft(P%5E%7B*%7D%2B%5Cdelta%20P_%7B1%7D%5Cright)%20%5C%5C%20P_%7B2%7D%20%26%20%5Csimeq%20T%5Cleft(P%5E%7B*%7D%5Cright)%2B%5Cleft.%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%20.%20%5Cdelta%20P_%7B1%7D%20%5C%5C%20%5Cdelta%20P_%7B2%7D%20%26%20%5Csimeq%5Cleft(%5Cleft.%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%5Cright)%5E%7B2%7D%20.%20%5Cdelta%20P_%7B0%7D%20%5C%5C%20%26%20%5Cvdots%20%5C%5C%20T%5E%7Bk%7D%5Cleft(P%5E%7B*%7D%2B%5Cdelta%20P_%7B0%7D%5Cright)%20%26%3DP%5E%7B*%7D%2B%5Cleft(%5Cleft.%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%5Cright)%5E%7Bk%7D%20.%20%5Cdelta%20P_%7B0%7D%20%5C%5C%20%5Cdelta%20P_%7Bk%7D%20%26%20%5Csimeq%5Cleft(%5Cleft.%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%5Cright)%5E%7Bk%7D%20.%20%5Cdelta%20P_%7B0%7D%20%5Cend%7Baligned%7D$

現(xiàn)在我們的目標(biāo)就是使得 $%5Cdelta%20P_0$ 收斂到0，根據(jù)線性代數(shù)知識我們可以推出如下:

$%5Cleft.%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20%5Clambda_%7B1%7D%20%26%20%26%200%20%5C%5C%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5C%5C%200%20%26%20%26%20%5Clambda_%7Bn%7D%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright)%20%5Coperatorname%7Bthen%7D%5Cleft(%5Cleft.%5Cmathcal%7BL%7D%5Cright%7C_%7BP%5E%7B*%7D%7D%5Cright)%5E%7Bk%7D%3D%5Cleft(%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D%20%5Clambda_%7B1%7D%5E%7Bk%7D%20%26%20%26%200%20%5C%5C%20%26%20%5Cddots%20%26%20%5C%5C%200%20%26%20%26%20%5Clambda_%7Bn%7D%5E%7Bk%7D%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright)$

也就是說明當(dāng)所有雅克比矩陣的特征值小于1，整個 $%5Cdelta%20P_0$ 收斂到0，對于大于1能表明不穩(wěn)定，等于1那就是不能給出極限環(huán)是否穩(wěn)定。(nonlinear的老套路了)

例子：考慮如下系統(tǒng)

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%20%5Cdot%7Bx%7D_%7B1%7D%3D%20%5Ccos%20x_%7B3%7D%20%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D_%7B2%7D%3D%5Csin%20x_%7B3%7D%20%5C%5C%20%5Cdot%7Bx%7D_%7B3%7D%3Du%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright.$ 狀態(tài)變量為小車車的x,y和yaw方向角度值，控制輸入為 $u%3D%5Csin%20%5Cleft(%5Cbar%7B%5Cpsi%7D-x_%7B3%7D%5Cright)$

系統(tǒng)有限狀態(tài)如圖，c是時間，每切換到一個狀態(tài)時間變?yōu)?，黑色橫線表明滿足條件就進行狀態(tài)轉(zhuǎn)移：

結(jié)合Python驗證：

第一步：先使用Python構(gòu)建仿真環(huán)境，給定初始條件，可以看到小車車收斂于一個極限環(huán):

小車車跑起來的圖
軌跡圖
第二步：驗證所選的g(x)和控制系統(tǒng)是否滿足橫穿而不是相切。

$%5Cmathbf%7Bx%7D%20%5Cin%20%5Cmathcal%7BS%7D%20%5CRightarrow%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20%5Cmathbf%7Bx%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7Bf%7D%5Cright)(%5Cmathbf%7Bx%7D)%20%5Cneq%200%20%5C%5C%20%5Cmathcal%7BS%7D%3Ax%2B2%3D0$

在這里，選擇第三階段為例，q=2， $g(x)%3Dx_1%2B2$ ，那么可以得到：

然后得到： $%5Cleft(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20g%7D%7B%5Cpartial%20%5Cmathbf%7Bx%7D%7D%20%5Ccdot%20%5Cmathbf%7Bf%7D%5Cright)(%5Cmathbf%7Bx%7D)%20%3Dcos(x_3)$ 當(dāng)滿足不為零即可。

第三步：使用程序把三個階段描述出來，同時估計其EP點，即 $%5Cmathbf%7Bp%7D(%5Coverline%7B%5Cmathbf%7Ba%7D%7D)%3D%5Coverline%7B%5Cmathbf%7Ba%7D%7D$ ，這個又稱微分同胚，其中 $%5Coverline%7B%5Cmathbf%7Ba%7D%7D$ 為目標(biāo)收斂點。

注意這里 $%5Cmathbf%7Bp%7D(%5Cmathbf%7Ba%7D)%20$ 輸出的值就為狀態(tài)變量的值,代碼如下：

第四步：既然我們已經(jīng)找到E.P. 點那么直接求在這個附近下的雅克比矩陣,這里取h=0.01，然后看他的eigen value是否小于1即可知道這個極限環(huán)是否收斂。

注意：這里可以看到我們選擇Poincare Section是面是二維的，說明這里我們關(guān)心的是

即如下平面

可以看到，所有的eigenvalue是小于1，那就說明我們的這個極限環(huán)是穩(wěn)定的。

結(jié)論：

Poincare map主要用來分析周期性運動的穩(wěn)定性，但是那個g不是很好找，在復(fù)雜的系統(tǒng)下。HZD理論也是找一個平面，這個平面可以是所有可能的軌跡組成的平面，然后把不在這個平面的設(shè)計一個控制器，讓其收斂到這個平面。

代碼：

Reference:

[1]https://www2.physics.ox.ac.uk/sites/default/files/profiles/read/lect5-43146.pdf

[2]https://hal.archives-ouvertes.fr/cel-01510146v1/document

[3]https://www.ensta-bretagne.fr/jaulin/automooc.pdf

標(biāo)簽：雙足機器人極限環(huán)穩(wěn)定性判斷龐加萊圖

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