【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)88】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
定理：非空有上界數(shù)集必有上確界；
定理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必收斂；
數(shù)列極限lim?q^n=0，這里|q|<1；
柯西列：數(shù)列{an}為柯西列，即對(duì)任意小數(shù)ε>0，存在正整數(shù)N，對(duì)任意m，n>N，|am-an|<ε；
柯西準(zhǔn)則：數(shù)列{an}收斂的充要條件是數(shù)列{an}是柯西列；
設(shè)lim an=a，若a>0，an>0，則lim an^（1/n）=1；
lim（1+1/n）^n=e；
定理：數(shù)列{an}收斂的充要條件是：{an}的任何子列都收斂。
公式：（axb）^2+（ab）^2=a^2b^2；
雙重向量積：給定空間三向量，先作其中兩個(gè)向量的向量積，再作所得向量與第三個(gè)向量的向量積，那么最后的結(jié)果仍然是一向量，叫做所給三向量的雙重向量積。例如（axb）xc就是三向量a，b，c的一個(gè)雙重向量積；
性質(zhì)：（axb）xc是和a，b共面且垂直于c的向量；
（axb）xc=（ac）b-（bc）a；
拉格朗日恒等式：（axb）（a'xb'）=（aa'）（bb'）-（ab'）（ba'）；
（axb）x（a'xb'）=（a，b，b'）a'-（a，b，a'）b'=（a，a'，b'）b-（b，a'，b'）a；
（axb，cxd，exf）=（a，b，d）（c，e，f）-（a，b，c）（d，e，f）；
右手系/左手系：設(shè)有不共面的三個(gè)向量a，b，c，將它們移到同一始點(diǎn)，則a，b決定一個(gè)平面，而c指向平面的一旁，將右手四指并攏與拇指分開，使四指向掌心彎曲的方向，表示從a的方向經(jīng)過(guò)小于平角的轉(zhuǎn)動(dòng)達(dá)到b的方向，此時(shí)若拇指方向與c方向指向平面的同一旁，則稱向量組{a，b，c}構(gòu)成右手系，否則稱為左手系；
直角標(biāo)架/直角坐標(biāo)系：設(shè)i，j，k是空間中以O(shè)為起點(diǎn)的三個(gè)向量，它們兩兩垂直并且都是單位向量，則O；i，j，k稱為空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的直角標(biāo)架或直角坐標(biāo)系，記為{O；i，j，k}；
右手直角標(biāo)架/右手直角坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個(gè)右手架標(biāo)或右手直角坐標(biāo)系；否則稱為左手直角架標(biāo)或左手直角坐標(biāo)系；
直角坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該直角坐標(biāo)系的基向量；
仿射架標(biāo)/仿射坐標(biāo)系：如果我們不要求i，j，k單位長(zhǎng)度且兩兩正交，只要求它們不共面，那么{O；i，j，k}稱為空間一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射架標(biāo)或仿射坐標(biāo)系；
右手仿射架標(biāo)/右手仿射坐標(biāo)系：如果向量i，j，k成右手系，那么{O；i，j，k}稱為一個(gè)右手仿射架標(biāo)或右手仿射坐標(biāo)系；否則稱為左手仿射架標(biāo)或左手直仿射坐標(biāo)系；
仿射坐標(biāo)系的基向量：我們把i，j，k稱為該仿射坐標(biāo)系的基向量；
坐標(biāo)：O；i，j，k是空間的一個(gè)仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），則任意一個(gè)向量v可以唯一表示成v=xi+yj+zk，稱（x，y，z）為向量v在該坐標(biāo)系{O；i，j，k}下的坐標(biāo)，記為v=（x，y，z）；
點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè){O；i，j，k}是空間的一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)的仿射坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系），規(guī)定P點(diǎn)的坐標(biāo)為向量OP的坐標(biāo)，向量OP成為P點(diǎn)的定位向量或矢徑，若P點(diǎn)的坐標(biāo)為{x，y，z}，記為P（x，y，z）；
坐標(biāo)軸/坐標(biāo)平面/卦限：i，j，k所在的直線通常成為坐標(biāo)軸或分別成為x，y，z軸，每?jī)筛鴺?biāo)軸所決定的平面稱為坐標(biāo)平面或xOy，yOz，zOx坐標(biāo)平面，3個(gè)坐標(biāo)平面把空間分割成8個(gè)部分，稱為該坐標(biāo)系的8個(gè)卦限；
已知a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）：
ab=a1b1+a2b2+a3b3；
|a|=（a1^2+a2^2+a3^2）^（1/2）；
axb=（a2b3-a3b2）i+（a3b1-a1b3）j+（a1b2-a2b1）k；
距離公式：已知兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1）及P2（x2，y2，z2），P1，P2兩點(diǎn)間的距離|P1P2|為[（x2-x1）^2+（y2-y1）^2+（z2-z1）^2]^（1/2）；
定比分點(diǎn)公式：已知兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1）及P2（x2，y2，z2）.在P1P2上求一點(diǎn)P，使P分線段P1P2成兩個(gè)有向線段的量的比P1P/PP2=λ（λ≠-1），設(shè)P=（x，y，z），則x=（x1+λx2）/（1+λ），y=（y1+λy2）/（1+λ），z=（z1+λz2）/（1+λ）.
矩陣乘法運(yùn)算律——
a.結(jié)合律：（AB）C=A（BC）
b.左分配律：A（B+C）=AB+AC
c.右分配律：（B+C）D=BD+CD
d.若A是n級(jí)矩陣，單位矩陣為E，則有：AE=EA=A
e.矩陣乘法與數(shù)量乘法滿足：k（AB）=（kA）B=A（kB）
f.可逆方陣：設(shè)A為n階方陣，若存在n階方陣B，使AB=BA=E，則稱B為A的逆方陣，而稱A為可逆方陣。
矩陣A可逆的充要條件：|A|不為0——|A|為矩陣A對(duì)應(yīng)的行列式。
矩陣對(duì)應(yīng)行列式滿足：|AB|=|A||B|；
設(shè)A與B都是數(shù)域K上的n級(jí)矩陣，如果AB=E，那么A與B都是可逆矩陣，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。
定義：n階行列式|A|中，劃去第i行和第j列，剩下的元素按原來(lái)次序組成的n-1階行列式稱為矩陣A的（i，j）元的余子式，記作Mij。
定義：令A(yù)ij=（-1）^（i+j）Mij，稱Aij是A的（i，j）元的代數(shù)余子式。
定義：設(shè)A=（aij）nxn，則它的伴隨矩陣A*=（bij）nxn，其中bij=Aji（i，j=1，2，……），Aij為|A|中aij的代數(shù)余子式。
A的伴隨矩陣A*滿足：A*=|A|A^（-1）
E（i，j）為單位矩陣i，j行對(duì)調(diào)——
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j行成B矩陣：B=E（i，j）A
方陣A可逆，A對(duì)調(diào)i，j列成B矩陣：B=AE（i，j）
矩陣的轉(zhuǎn)置：把n級(jí)矩陣A的行與列互換得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置，記作A'，|A'|=|A|。
定義：設(shè)A為方陣，若A'=A，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A'=-A，則稱A為反/斜對(duì)稱矩陣。
定義：如果AB=BA，則稱A與B可交換。
矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算律——
（A+B）'=A'+B'
（kA）'=kA'
（AB）'=B'A'
定理：如果A可逆，那么A'也可逆，并且（A'）^（-1）=（A^（-1））'；
克萊姆法則：設(shè)A是n*n矩陣，線性方程組Ax=B——
若|A|≠0，則方程組有唯一解：xi=Δi/Δ，其中Δ=|A|，Δi為|A|中第i列換為B，其它各列與|A|相同的n階行列式（i=1，2，……，n）；
對(duì)n維方陣A，若其行（列）向量線性相關(guān)，則|A|=0，若其行向量線性無(wú)關(guān)，則|A|不為0.
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析》（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）
《空間解析幾何》（高紅鑄?王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)題解精粹》（錢吉林?編著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系?編）》）——
單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。
證：不妨設(shè){an}為有上界的的遞增數(shù)列——
由確界原理：數(shù)列{an}有上確界，記a=sup{an}；
對(duì)任意小數(shù)ε>0，由上確界的定義：
對(duì)于任意n，有an<=a<a+ε，
存在N，a-ε<aN；
又?jǐn)?shù)列{an}單調(diào)遞增，所以當(dāng)n>N，有a-ε<aN<=an；
由2、3：對(duì)任意小數(shù)ε>0，存在N，當(dāng)n>N，有a-ε<an<a+ε，即|an-a|<ε，即數(shù)列{an}的上確界a為數(shù)列{an}極限。
解析幾何——
例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）》）——
設(shè)點(diǎn)C分線段AB為5：2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，7，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，2，3），求點(diǎn)B的坐標(biāo)。
解：利用定比分點(diǎn)公式——
由題：AC/CB=λ=5/2；
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z），可得方程組：
8=（3+5x/2）/（1+5/2）
2=（7+5y/2）/（1+5/2）
3=（4+5z/2）/（1+5/2）；
由2：x=10，y=0，z=13/5，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（10，0，13/5）.
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)題解精粹（錢吉林?編著）》）——
設(shè)A為n階方陣（n>=2），E為n階單位矩陣，A*為A的伴隨矩陣，|A|為A的行列式.
如A為非奇異，試證：A^（-1）=A*/|A|.
證：設(shè)A=（aij）nxn，則它的伴隨矩陣A*=（bij）nxn，其中bij=Aji（i，j=1，2，……），Aij為|A|中aij的代數(shù)余子式，即——
又由代數(shù)余子式的性質(zhì)得：
as1At1+as2At2+…+asnAtn=|A|，若s=t，
as1At1+as2At2+…+asnAtn=0，若s≠t.
所以——
所以，A（A*/|A|）=（AA*）/|A|=（|A|E）/|A|=E，則A^（-1）=A*/|A|.
到這里！
