據(jù)

祖暅原理

設(shè)

棱臺(tái)

與

等上下底面面積與高

圓臺(tái)

上下底面面積與高

分別為

S1，S2，h

圓臺(tái)

上下底面半徑

分別為

r1，r2

所在圓錐母線

與

對(duì)稱軸

所成夾角為β

所在圓錐母線

與

所補(bǔ)圓錐母線

分別為

l2，l1

有

r1=l1sinβ

r2=l2sinβ

h=(l2-l1)cosβ

設(shè)

圓錐母線為l

有

V圓錐

=

?dV

=

∫(0，2π）dφ

∫(0，β）dθ

∫(0，lcosβ/cosθ)ρ2sinθdρ

=

∫(0，2π）dφ

∫(0，β）dθ

(1/3ρ3sinθ)Ⅰ(0，lcosβ/cosθ)

=

∫(0，2π）dφ

∫(0，β）(l3cos3β/(3cos3θ)sinθdθ

=

∫(0，2π）dφ

∫(1，cosβ)(-l3cos3β/(3cos3θ))dcosθ

=

∫(0，2π）dφ

(l3cos3β/(6cos2θ)Ⅰ(1，cosβ)

=

∫(0，2π）(l3cosβ/6-l3cos3β/6)dφ

=

∫(0，2π）(l3sin2βcosβ/6)dφ

=

πl(wèi)3sin2βcosβ/3

即

V棱臺(tái)

=

V圓臺(tái)

=

πsin2βcosβ(l23-l13)/3

=

πsin2β(l12+l1l2+l22)cosβ(l2-l1)/3

=

π(r12+r1r2+r22)h/3

=

(S1+√(S1S2)+S2)h/3

得證

ps.

棱臺(tái)體積

極限證法

詳見

CV18156155

答疑.