探秘概率問(wèn)題

（本文為科協(xié)“奇點(diǎn)杯”征文大賽一等獎(jiǎng)作品，同步推送至成都七中林蔭校區(qū)各班電子班牌）

那晚，阿根廷1：2憾負(fù)沙特阿拉伯后，我到天臺(tái)抽了根煙，風(fēng)很冷，這是我第一次看見天臺(tái)站了這么多人……

——某知乎用戶

不要賭球，因?yàn)槟阌肋h(yuǎn)無(wú)法探清概率的真相。

概率撲朔迷離，卻無(wú)時(shí)無(wú)刻不誘惑著所有人。

今天我將以數(shù)學(xué)的視角帶大家探索幾個(gè)有趣的概率問(wèn)題。諸位，請(qǐng)擦亮你們的雙眼。

無(wú)限=有限？

我們先來(lái)看一個(gè)問(wèn)題：

Q1.一位小朋友決心和你輪流擲一枚均勻的硬幣，先擲到正面朝上者勝。但是小朋友邪魅一笑，說(shuō)自己先擲，你察覺到了不對(duì)勁，暗地盤算道這游戲貌似不公平。那么問(wèn)題來(lái)了，此時(shí)小朋友的勝率到底多大？

硬幣是均勻的，這點(diǎn)大家都很滿意。至于順序，當(dāng)然要秉承“謙恭禮讓”的精神，反正概率都是五五開嘛。然而，事實(shí)真的如此嗎？

說(shuō)時(shí)遲那時(shí)快，小朋友率先拋起了硬幣，不過(guò)很遺憾，背面朝上。你拿起硬幣的手微微顫抖，心想小朋友雖已經(jīng)錯(cuò)失了一次五五開的機(jī)會(huì)，但他仍然把握一定勝率?？磥?lái)，先手還是有優(yōu)勢(shì)的？你開動(dòng)了聰明的小腦瓜，列出了如下算式：

其中，第一項(xiàng)表示小朋友第一次獲勝的概率；第二項(xiàng)表示第一輪兩人均未獲勝，重新開啟第二輪的概率；后面依次類推……概率不多不少，正是?？磥?lái)小朋友果然自有陰謀。不過(guò)你不甘心，并不是因?yàn)閯偎愕?，而是這個(gè)等比數(shù)列求和浪費(fèi)了你大量腦細(xì)胞。那么，有沒有什么更方便的算法呢？

顯然，如果二位人品極差，此游戲可不斷循環(huán)，因此概率是無(wú)窮的，不能直接算出。當(dāng)你玩到第二輪時(shí)，小朋友即將擲出他的第二枚硬幣，你含情脈脈地望著他，滿腦子都是他擲第一枚硬幣時(shí)的樣子。命運(yùn)似乎開了個(gè)玩笑，一切又回到原點(diǎn)……你靈光乍現(xiàn)：既然不能直接求出概率，何不用概率表示概率？

我們?cè)O(shè)小朋友獲勝的概率為，此時(shí)我們并不知道是多少，但是知道可以拆成兩部分：一部分是直接獲勝的概率；另一部分是一輪之后回到原點(diǎn)的概率，此時(shí)概率依然是。不過(guò)請(qǐng)注意，經(jīng)歷了一輪的洗禮，游戲進(jìn)行到此處的概率僅有，因此我們可以列出下列等式：

解得

此處我們運(yùn)用到了一定的遞歸與迭代的思想，各位可以看看下面的問(wèn)題，以當(dāng)練習(xí)：

Q2.你和剛才那位小朋友一起練投籃，雙方輪流投擲，先投中者勝。小朋友的命中率比你低，于是他可憐巴巴地望著你，希望能讓他先投，命中率為的你同意了。此時(shí)聰明的你發(fā)現(xiàn)兩位的勝率正好五五開，請(qǐng)問(wèn)小朋友的命中率是多少？

答案：37.5%

Q3.袋子里有紅球、藍(lán)球、黃球各一個(gè)，每次操作時(shí)隨機(jī)摸出一個(gè)球，記錄顏色并放回，直到連續(xù)摸出2個(gè)紅球?yàn)橹?，則操作次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是多少？

答案：12

你相信直覺嗎？

隨機(jī)抽取一名幸運(yùn)讀者，你和他（她）生日相同的概率是多少？

很明顯，是（本文不考慮2月29日，給這天出生的同學(xué)們道個(gè)歉）。

如果再抽取2名、3名、4名……存在兩人生日相同的概率又是多少呢？此時(shí)事情開始變得復(fù)雜了起來(lái)，而且隨著人數(shù)的增加，這種概率的變化是反直覺的，我們不妨做一個(gè)小測(cè)試，請(qǐng)讀者務(wù)必按照直覺作答：

Q4.百無(wú)聊賴的你調(diào)查了你們班54位同學(xué)的生日，其中有兩位同學(xué)生日相同的概率最接近下面的（???? ）選項(xiàng)。

A.15%? ? ? ? ? ? ?B.30%? ? ? ? ? ??C. 50%? ? ? ? ? ? ? ?D.99%

答案是D（似乎有些出乎意料），你選對(duì)了嗎？

事實(shí)上，大部分人會(huì)選擇A或B項(xiàng)，究其原因，是概率計(jì)算的方法出了問(wèn)題。很多人會(huì)誤以為這是一個(gè)平行事件的概率計(jì)算（即：滿足條件數(shù)/總數(shù)）。然而，此題的實(shí)質(zhì)是一個(gè)分步概率問(wèn)題。

仔細(xì)分析這個(gè)問(wèn)題時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)“其中有兩位同學(xué)生日相同”所蘊(yùn)含的信息太過(guò)寬泛，或許張三和李四都在1月14日出生，或許狗蛋和王二麻子都在 5 月 14 日出生（不要對(duì)數(shù)字產(chǎn)生無(wú)端聯(lián)想），或許這四人都在同一天出生?？偠灾?，這樣考慮水太深，我們把握不住。

但是俗話說(shuō)“正難則反”，學(xué)過(guò)逆否命題的你們，應(yīng)該對(duì)條件的否定形式十分熟悉：

這54位同學(xué)中，任意兩位同學(xué)生日不同的概率是多少？

這樣的反面模型就十分適合計(jì)算了，此時(shí)我們不妨采用“一個(gè)蘿卜一個(gè)坑”的思想：

不管第一位同學(xué)生日是什么，第二位同學(xué)都有的概率與之不同，等第三位同學(xué)到來(lái)的時(shí)候，已經(jīng)有2個(gè)生日被填滿，他還有363種選擇，因此概率為……以此類推，則

具體計(jì)算過(guò)程是十分不便的，但是通過(guò)冪函數(shù)的性質(zhì)可以估出大概的大小。

進(jìn)而又衍生出了下一個(gè)問(wèn)題：

Q5.至少找出多少人，才能使其中有兩人生日相同的概率達(dá)到50%以上？

答案是23。換句話說(shuō)，如果你在世界杯的某場(chǎng)比賽中調(diào)查雙方球員及裁判的生日，其中存在兩人生日相同的概率是可以對(duì)半開的，事實(shí)并沒有騙人。

鑒于前文提到了沙特阿拉伯，我專門上網(wǎng)搜索了沙特的23人大名單，結(jié)果非常地amazing啊，沙特的門將與某位前鋒都出生于1月10日！

接下來(lái)為大家提供兩個(gè)小練習(xí)，難度不大，讀者可以試試看：

Q6. 六位同學(xué)隨機(jī)在[0, 10]中選一個(gè)整數(shù)，存在兩人所選數(shù)字相同的概率是多少？（概率寫成百分比形式，保留整數(shù)）

答案：85%

Q7. 根據(jù)防疫規(guī)定，你將和同學(xué)們進(jìn)行“七天七檢”的核酸檢測(cè)混采，10 人 1 管，你在這一個(gè)星期中當(dāng)“管長(zhǎng)”的概率是多少？（概率寫成百分比形式，保留整數(shù)）

答案：52%

后續(xù)詳見第36期《未來(lái)夢(mèng)》