? ? ? ?圓錐曲線的研究，由來已久，最早起源于古希臘數(shù)學(xué)三大尺規(guī)作圖難題，其中有“化圓為方”、“倍立方體”和“三等分角”問題，在研究其中的“倍立方體”問題時，希波克拉底意外發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線。還有一個說法是古人在研究日晷時發(fā)現(xiàn)的。后來一大批的數(shù)學(xué)巨匠都對他展開了深入的研究，其中有阿里斯泰庫斯，歐幾里得，阿基米德，厄拉多塞，直到阿波羅尼奧斯取得了杰出的研究成果，并撰寫了《圓錐曲線》一書。后來，中亞數(shù)學(xué)家歐馬爾·海亞姆也對此進行了深入探索，并掌握了用圓錐曲線求解三次方程的方法，但對圓錐曲線本身的發(fā)展并沒有重大突破。歷史等待了將近兩千年，終于迎來了圓錐曲線的又一次創(chuàng)新和發(fā)展。

? ? ? ??首先取得重大突破的是開普勒，他為圓錐曲線找到了很好的應(yīng)用場景，就是用它來定義行星運行軌道。伽利略又進一步把它應(yīng)用到了拋物運動軌跡中。這在無形中再一次推動了圓錐曲線的發(fā)展。數(shù)學(xué)家蒙蒂又重新定義了圓錐曲線，這次他的定義借助了交點和定長來進行，為解析幾何奠定了很好的開端。此時，西方繪畫藝術(shù)中的投射與截影的發(fā)展，也為研究圓錐曲線提供了新的工具。由此，三位法國數(shù)學(xué)家笛沙格，帕斯卡和德·拉·希爾共同開辟了圓錐曲線別開生面的研究方向。直到笛卡爾，費馬和沃利斯的研究取得重大突破，圓錐曲線的研究才逐步轉(zhuǎn)移到坐標系和方程的方向上來。這再次說明了，數(shù)學(xué)的發(fā)展不是一蹴而就的，不是某一個人的靈光閃現(xiàn)，而是一代代人不停的積淀，最終才能產(chǎn)出一個分支出來。

? ? ???缺少現(xiàn)代解析法的支持，單純借助幾何法來研究圓錐曲線，這是早期研究的必由之路，無奈之下，就連物理知識也被拿來分析數(shù)學(xué)，其中既有數(shù)學(xué)發(fā)展受制于前位知識的無奈，也有對古人智慧的驚嘆。前面三個命題已經(jīng)初步展示了阿基米德的力學(xué)分析法解決圓錐曲線圖形的相關(guān)問題的精妙之處。在本命題，阿基米德的方法將為我們解釋“圓錐曲面旋轉(zhuǎn)體”的體積算法問題。在命題的分析過程中，既領(lǐng)略了古人的聰明才智，又體會了數(shù)學(xué)的發(fā)展路徑，從中進一步感受力學(xué)分析法和窮竭法對后續(xù)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響。讀過前面文章的朋友，有人提出《阿基米德的方法》被發(fā)現(xiàn)，它的失傳是否意味著這種方法在歷史中的中斷。愚以為，其中的窮竭法在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中也是離不開的分析方法，說明它的影響并未中斷。而且，這本手寫卷被發(fā)現(xiàn)，說明在中世紀這種方法依然在流傳，不然，也不會有這部羊皮卷流傳，更不會有人再利用這部羊皮卷抄寫經(jīng)文了，這也說明它的影響是一直持續(xù)進行的。

? ? ??下面我們要敘述的是阿基米德的方法中的第四個命題，在這個命題中解決了拋物面旋轉(zhuǎn)體的體積計算的相關(guān)問題，這種形如碗狀的幾何體，單純直接去計算它的體積，甚至估算它的體積都絕非易事，但借助杠桿原理，阿基米德方法就成功的解決了這個難題。在命題的論證中，阿基米德的方法直接使用了拋物線的二次性，即拋物線上點的縱坐標對應(yīng)橫坐標的平方這個關(guān)系，同時直接使用了《幾何原本》第十二卷中的命題10，即同底同高的圓柱是圓錐體體積的三倍。再結(jié)合杠桿原理和窮竭法就可以成功推導(dǎo)出拋物面旋轉(zhuǎn)體體積的公式出來。下面就奉上我們的翻譯文稿，供大家品鑒并指正。