解的情況，我們已經(jīng)遇到了至少三種，

1.證明解只有三種情況

r=<t<=n

同時(shí)還證明了不出現(xiàn)0=d，則一定有解

解要在有理數(shù) 實(shí)數(shù)集里，比如在整數(shù)集里就不行

行列式的性質(zhì)

n元線性方程組有唯一解的充要條件

(充分性就是克萊姆法則）

解的表達(dá)式留在第四章講

<=:假如是無解（無窮解），矛盾

嚴(yán)格增加

行列式的其他應(yīng)用

二階（面積）

1.究竟是無解還是很多解

2.未知數(shù)和方程個(gè)數(shù)不一致怎么辦

考慮所有的這樣的有序數(shù)組，

在一個(gè)集合里，肯定要定義什么是相等

我們聯(lián)想到集合里的向量，所以也把他叫做n元向量。

因?yàn)閍i是數(shù)，所以有加法和數(shù)乘的運(yùn)算法則。

還有很多滿足這個(gè)的例子：

如平面上以定點(diǎn)o為原點(diǎn)的所有向量集合

直線上以o為原點(diǎn)的所有向量組成的集合

因此我們想建立一個(gè)抽象數(shù)學(xué)模型。

因?yàn)檫@些例子（直線是舒展的），而且不僅是集合，還定義了運(yùn)算，所以我們?nèi)∶校壕€性空間。

在一個(gè)抽象的集合里要建立運(yùn)算

首先定義運(yùn)算

在我們解方程組的時(shí)候，所以很自然的定義數(shù)乘運(yùn)算，加法運(yùn)算

先定義了向量空間，又進(jìn)一步定義線性空間

兩個(gè)最基本的概念：集合和映射

什么是運(yùn)算？

定義了映射

陪域 codomain

為了給運(yùn)算下定義，還得考慮有序元素對(duì)（笛卡爾積）

運(yùn)算：

（除法不是整數(shù)集合的代數(shù)運(yùn)算）

詳見《近世代數(shù)》

一些線性空間的例子：

1.幾何空間：元素是以o為起點(diǎn)的所有向量，點(diǎn)不好做運(yùn)算

2.n維向量空間

3.函數(shù)空間

只從定義出發(fā)，論證線性空間的性質(zhì)

平面是幾何空間的子空間

線性子空間的定義

不過點(diǎn)o的平面是不是幾何空間的子空間？

有平面引入線性子空間

子空間的必要和充分條件

不過o的平面，不是子空間

代數(shù)運(yùn)算的定義

子空間的必要和充分條件

{0}和V都是V的子空間

向量組：有限個(gè)向量

線性組合：

線性表出

用剛剛的概念解決線性方程組解的問題

有無解<=>是否在生成的子空間里

之后就開始研究子空間的結(jié)構(gòu)了

從共線引入線性相關(guān)

又在線性方程組牛刀小試一下

（抄筆記）

復(fù)習(xí)線性相關(guān)

線性相關(guān)的性質(zhì)（跟著證明一下）

抄筆記，命題1

線性相關(guān)和子空間

極大線性無關(guān)組

等價(jià)的定義

那個(gè)有點(diǎn)點(diǎn)繞的證明

p88 結(jié)論3

向量組有次序

但是加法有交換律，找到使不全為零的數(shù)

對(duì)調(diào)換次序的向量組同樣適用

有限子集線性相關(guān)（無關(guān)）本質(zhì)上是向量組

（向量組是有限的）

無限子集：有一個(gè)有限子集線性相關(guān)

否則線性無關(guān)

無限個(gè)相加？＝0

需要用到極限

極限需要定義距離

基的定義

基的存在性（下冊(cè)157~158）

（證明沒抄）

極大線性無關(guān)集

解釋{0}和空集

證明空集是{0}的一個(gè)基

把基的定義放大了

向量組生成子空間的基

階梯型矩陣行秩=列zhi

行變換不改變列秩

齊次線性方程組解集結(jié)構(gòu)

1.解集是子空間

2.求子空間的一個(gè)基

（不妨設(shè)r個(gè)主元在前r列）

得到方程組的n-r個(gè)解

n-rank A

非齊次

線性流形 陪集

子空間的運(yùn)算

（關(guān)于子空間的充要條件）

子空間的交是子空間的運(yùn)算（運(yùn)算的定義）

包含v1和v2的所有向量，因?yàn)樽涌臻g對(duì)加法封閉，就得含有他們的和

這是包含并集的最小的子空間，因?yàn)榘⒓偷冒麄儍蓚€(gè)中的元素。

開始證明：子空間的維數(shù)公式

子空間的直和

對(duì)有限無限都適用

有限時(shí)，推出直和的又一等價(jià)條件

補(bǔ)空間

補(bǔ)空間不唯一

多個(gè)子空間直和

一些類比證明

研究線性空間：

利用基

利用子空間的運(yùn)算

把所有的線性空間分類，在每一類中研究某一具體的線性空間

什么叫做有相同的結(jié)構(gòu)呢

復(fù)習(xí)映射

映射相等：定義域，陪域相同，對(duì)應(yīng)法則相同。

同構(gòu)映射

因?yàn)槭菃紊洌钥梢苑粗?/p>

這個(gè)映射把a(bǔ)映成a在ai這組基下的坐標(biāo)

（坐標(biāo)的定義是啥來著？）

映射的乘法

恒等變換

可逆映射

二元關(guān)系

等價(jià)類性質(zhì)

劃分 等價(jià)類

給線性空間一個(gè)劃分，通過研究商集的結(jié)構(gòu)來研究

如何給線性空間一個(gè)劃分？

有幾何空間的例子

a和b有關(guān)系，就是他們?cè)谕粋€(gè)平面

陪集代表不唯一

是一個(gè)劃分，這個(gè)劃分叫商集，商集的元素是陪集

我們期望商集里也定義加法和數(shù)乘運(yùn)算

商空間

怎么找線性空間的基

1.找n個(gè)線性無關(guān)的向量，證明它能表出其他所有

2.任取一個(gè)向量試著用n個(gè)向量表出，再證明其線性無關(guān)。

反之如何？

定義加法數(shù)乘，構(gòu)成線性空間

探究能否做乘法

從映射的乘法引出矩陣的乘法

一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)到一個(gè)矩陣

轉(zhuǎn)兩次

規(guī)定AB+...

不適合交換律

滿足的運(yùn)算法則

從映射乘法 推出

用矩陣的理論處理線性方程組的問題

一組基

t特殊矩陣

抓住主要矛盾，打星號(hào)

矩陣的初等行變換和矩陣乘法有何關(guān)系