柯西不等式，用過都說好（2022浙江圓錐曲線）
2022-08-31 17:49 作者:數(shù)學(xué)老頑童 | 我要投稿
（2022浙江，21）如圖，已知橢圓
，設(shè)
、
是橢圓上異于
的兩點(diǎn)，且點(diǎn)
在線段
上，直線
、
分別交直線
于
、
兩點(diǎn).
（1）求點(diǎn)
到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；
（2）求
的最小值.
解：（1）在橢圓上任取一點(diǎn)，則
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值.
（2）設(shè)直線、
的方程分別為
；
，
、
的坐標(biāo)分別為
、
，
橢圓的方程可改寫為
，
整理得
，
設(shè)直線的方程為
，
因?yàn)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=Q" alt="Q">在上，
所以，
解得，
所以的方程為
，
與橢圓聯(lián)立，得
，
展開
，
并項(xiàng)
，
各項(xiàng)同除以，得
，
所以
，
，
聯(lián)立直線與直線
，
解得，
同理，
所以
當(dāng)且僅當(dāng)，即
時(shí)，取得最小值.
標(biāo)簽：
