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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于MVGARCH的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。在本文中，當(dāng)從單變量波動率預(yù)測跳到多變量波動率預(yù)測時，我們需要明白，現(xiàn)在我們不僅要預(yù)測單變量波動率元素，還要預(yù)測協(xié)方差元素

引言

假設(shè)你有兩個序列，那么這個協(xié)方差元素就是2乘2方差-協(xié)方差矩陣的對角線。我們應(yīng)該使用的準(zhǔn)確術(shù)語是 "方差-協(xié)方差矩陣"，因為該矩陣由對角線上的方差元素和非對角線上的協(xié)方差元素組成。但是由于讀 "方差-協(xié)方差矩陣 "非常累人，所以通常被稱為協(xié)方差矩陣，或者有時不太正式地稱為var-covar矩陣。

如果你還在讀這篇文章，說明你在建立相關(guān)關(guān)系模型方面有一些經(jīng)驗。鑒于你知道各個序列的方差

，相關(guān)和協(xié)方差之間的聯(lián)系是直接的。?

所以當(dāng)我第一次研究這個問題時，我不明白為什么我們不單獨建立所有非對角線的模型，例如使用樣本成對相關(guān)的滾動窗口呢？你想有一個有效的相關(guān)矩陣，這意味著對稱（很容易施加）和正負(fù)無限。

首先，為什么非負(fù)定屬性很重要，其次，為什么它不容易施加。把非負(fù)定屬性看作是多變量的，相當(dāng)于單變量情況下對波動率的正向施加。你不會想讓你的模型生成負(fù)的波動率吧？在單變量的情況下，

乘以任何平方數(shù)，我們都可以保持在正數(shù)的范圍內(nèi)。在更高的維度上，確保協(xié)方差的 "正性 "涉及到乘法，不是乘以一個平方的標(biāo)量，而是乘以一個 "平方 "的矢量。

將XC表示為居中的隨機(jī)變量X，所以

?。現(xiàn)在根據(jù)定義

是一個協(xié)方差矩陣，顯然是非負(fù)定的?，F(xiàn)在，如果我們用矩陣乘以一個 "平方 "向量，

我們可以將向量 "插入 "期望值中（因為（1）向量不是隨機(jī)變量，以及（2）期望算子的線性）。我們（應(yīng)該）仍然得到非負(fù)定矩陣

。??你用哪個向量

并不重要，因為它是 "平方 "的。

如果我們對協(xié)方差條目進(jìn)行單獨建模，并將它們 "修補(bǔ) "成一個矩陣，將每個成對的協(xié)方差放在正確的位置（例如，變量1和變量3之間的協(xié)方差在條目

和?

，不能保證我們最終得到一個非負(fù)定的矩陣。由于不存在非負(fù)定的協(xié)方差矩陣，那么我們就有可能得到一個無效的協(xié)方差矩陣。

從業(yè)人員由于擺脫了繁瑣的學(xué)術(shù)判斷過程，可能會擺脫這個理論上的失誤。然而，還有其他問題，在本質(zhì)上是計算上的問題。一個非負(fù)的無限矩陣可以有零或負(fù)的行列式。在許多貝葉斯的應(yīng)用中，我們希望使用精確矩陣而不是協(xié)方差矩陣。為了計算精確矩陣，我們簡單地反轉(zhuǎn)協(xié)方差矩陣，但這意味著我們要除以行列式，因此，行列式為零就會產(chǎn)生問題。

文獻(xiàn)中的主要構(gòu)建模塊是GARCH過程。假設(shè)我們有一個隨機(jī)變量

，我們可以用它的波動率來建模。?

(1)?

很容易理解。對于今天的波動率來說，重要的是昨天的波動率

，特別強(qiáng)調(diào)的是昨天的沖擊，

。請記住，如果

，那么

僅僅是對方差

的估計，而沒有考慮到t-1以前的任何情況。

提高維度

現(xiàn)在，添加另一個隨機(jī)變量

?。你現(xiàn)在有兩個波動率和一個協(xié)方差項。但是，為什么不以向量自動回歸（VAR）擴(kuò)展自動回歸的同樣方式來擴(kuò)展這個過程？進(jìn)入VEC模型。

(2)?

這里

是一個矢量化運(yùn)算符，將一個矩陣作為一個矢量進(jìn)行堆疊。由于矩陣的對稱性，我們不需要所有的系數(shù)，所以更好的表述：

(3)?

這個模型背后的直覺與VAR的基礎(chǔ)是一樣的。也許當(dāng)股票的波動率高時，債券的波動率就低，也許當(dāng)債券的波動率高時，與股票的協(xié)方差就高，等等。

這個模型的一個潛在問題，也是與VAR相似的，就是波動率是獨立的過程，這意味著只有A和B的對角線是重要的，在這種情況下，我們只是用不必要的估計噪音來干擾這個模型。之前提到的另一個計算問題是，由于我們沒有對矩陣過程本身進(jìn)行建模，而是對三個項逐一進(jìn)行建模，所以我們不能確保結(jié)果是一個有效的協(xié)方差矩陣，特別是沒有施加非負(fù)-無限約束。BEKK模型（Baba, Engle, Kraft and Kroner, 1990）取得了這一進(jìn)展。有一個很好的理由不詳細(xì)討論這些 "第一代 "模型。它們對于少數(shù)幾個變量來說是非常難以估計的。我沒有親自嘗試過那些模型。對于這些模型，即使人們成功地進(jìn)行了估計，就實踐者而言，估計的復(fù)雜性給結(jié)果帶來了很大問題。

CCC 和DCC

恩格爾（2002）在其開創(chuàng)性的論文中提出了下一個重要的步驟，隨后文獻(xiàn)中出現(xiàn)了一個高潮。"Dynamic Conditional Correlation: 一類簡單的多變量廣義自回歸條件異方差模型"。從摘要中可以看出："這些（模型）具有單變量GARCH模型的靈活性，加上參數(shù)化的相關(guān)模型"。這類條件相關(guān)模型的關(guān)鍵切入點是要認(rèn)識到?

(4)?

是一個矩陣，對角線上是各個序列的波動率（現(xiàn)在單獨估計），對角線外是零。這只是以矩陣形式對我們開始時的常規(guī)方程進(jìn)行了處理。

?，因為

?，F(xiàn)在具備幾個條件：

• 把

• 對角線和非對角線分開，你可以用通常的單變量GARCH估計值來 "填補(bǔ) "這個對角線。非對角線是由相關(guān)矩陣給出的，我們現(xiàn)在可以對其進(jìn)行決定。當(dāng)我們假設(shè)一個恒定的相關(guān)矩陣（CCC），也就是說

• ，我們可以自然地使用樣本相關(guān)矩陣。我們可以假設(shè)該矩陣

• 是時變的，并使用滾動窗口或指數(shù)衰減權(quán)重或其他方式來估計它。

• 由于二次形式

• ，并且因為

• 是相關(guān)矩陣，我們肯定會得到一個有效的協(xié)方差矩陣，即使我們使用恒定的相關(guān)矩陣，它也是時間變化的。

• 由于這種對角線與非對角線的分離，我們實際上可以處理許多變量，與 "第一代 "類模型非常不同。我認(rèn)為，這是該模型被接受和流行的主要原因。

現(xiàn)在我們進(jìn)行估計。

使用R進(jìn)行估算

讓我們得到一些數(shù)據(jù)。我們提取三個ETF的過去幾年的數(shù)據(jù)。SPY（追蹤標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)），TLT和IEF（分別追蹤長期和中期債券）。

k?<-?3?#?多少年數(shù)據(jù)sym?=?c('SPY',?'TLT',?"IEF")?#??標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)，長期和中期債券，所有ETFsfor?(i?in?1:l)getSymbols(sym[i],?src="yahoo",?from=start,?to=end) ret?<-?na.omit(ret)#??刪除第一個觀察值

現(xiàn)在來演示如何使用CCC和DCC模型構(gòu)建協(xié)方差矩陣。我們首先得到單變量波動率。我們需要它們，它們位于對角線矩陣

的對角線上。我們用重尾的不對稱GARCH來估計它們。

garch(distribution="std")?#std是學(xué)生t分布volatilityfit?#?用一個矩陣來保存三種資產(chǎn)的波動率for?(i?in?1:l)?model?=?ugarchfit(spec,ret[,i])

現(xiàn)在，一旦我們有了

，我們就能夠創(chuàng)建基于CCC和DCC的協(xié)方差矩陣。對于CCC（恒定條件相關(guān)），我們使用樣本相關(guān)矩陣，而對于DCC（動態(tài)），我們使用基于例如3個月的移動窗口估計的相關(guān)矩陣。

#?創(chuàng)建一個CCC模型的協(xié)方差nassets?<-?l?#??為了提高可讀性，l看起來太像1了。#?為不同時期的矩陣制作容器。array(dim=c(n,?nassets,?TT))#?計算樣本無條件的相關(guān)矩陣。samp_cor?<-?cor(ret)?#?在整個循環(huán)過程中會保持不變wind?<-?60?#?大概三個月的時間for?(i?in?(w+1):TT)(volatilitfit[i,])*diag(assets)cov_ccc cor_tv? cov_dcc<-?dt?%*%?cor_tv[,,i]?%*%?dt

結(jié)果

結(jié)果按年計算，并乘以100，轉(zhuǎn)為百分比，以提高可讀性。繪制它。

par()$mar?#?邊距 plot(ann*cov_ccc[1,1,]~timeplot(ann*cov_ccc[1,2,]~time)

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GARCH-DCC模型和DCC（MVT）建模估計

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01

02

03

04

在上圖中，我們有協(xié)方差矩陣的對角線。我們看到（1）中期債券的波動性最低，正如預(yù)期的那樣，（2）SPY的波動性很大，方差也很高。(3) 曲線長端的方差高于中期的方差，這是收益率曲線文獻(xiàn)中一個典型的事實。(4) 有趣的是，長期債券的波動性一直在上升，這可能是對即將提高政策利率的高度警覺。

在下圖中，我們有三個協(xié)方差項，一次是假設(shè)CCC的估計（實線），一次是假設(shè)DCC的估計（虛線）。對于中期和長期債券之間的協(xié)方差，如果你假設(shè)恒定或動態(tài)相關(guān)矩陣，并不重要。然而，這對SPY與債券的協(xié)方差項確實很重要。例如，基于DCC的協(xié)方差矩陣認(rèn)為在2013年中期股票和債券之間的協(xié)方差幾乎為零，而基于CCC的協(xié)方差則表明在此期間的協(xié)方差為負(fù)。究竟是恒定的還是動態(tài)的，對跨資產(chǎn)投資組合的構(gòu)建可能有很大的影響。

本文摘選?《?R語言多元動態(tài)條件相關(guān)DCC-MVGARCH、常相關(guān)CCC-MVGARCH模型進(jìn)行多變量波動率預(yù)測?》?，點擊“閱讀原文”獲取全文完整資料。

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