想必大多對數(shù)學(xué)感興趣的人都對Mandelbrot集有所耳聞。

雖然每個做這個程序的都要說，但是我還是以我的語言再解釋一次吧。

對于復(fù)平面上任意一個復(fù)數(shù)C，從X0=0開始，Xn=Xn-1^2+C反復(fù)迭代 ，如果結(jié)果始終不會發(fā)散，則C屬于曼德布洛特集。

所以繪制曼德布洛特集其實很簡單，按照定義把這些點找出來就可以啦。

用python實現(xiàn)一下：

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt

n=1000

Y, X = np.mgrid[-1.5:1.5:3/n, -2:1:3/n]

C = X+1j*Y

#做出復(fù)平面C,每一個元素，都是復(fù)平面上該點的坐標(biāo)。

#下面來檢查一下這些點，哪些滿足Mandelbrot集定義

pic = np.zeros((n,n)) ?#定義一個平面，用來保存定義要求的每一次迭代的結(jié)果。

ans = np.zeros((n,n)) ?#用來繪制最終曼德布洛特集的平面。

for i in range(20):

? ? pic=pic**2+C ?? #按照曼德布洛特集的定義進(jìn)行迭代。

? ?

ans = np.float32(np.abs(pic)<100) ?

#檢查多次迭代后，最終結(jié)果模值小于100的點都認(rèn)為收斂，從而得到每一點的收斂情況

# 把收斂結(jié)果然后轉(zhuǎn)化成浮點類型，放在ans中。

plt.imshow(ans,cmap="rainbow")

plt.show()? ?#把a(bǔ)ns畫出來

怎么樣，是不是很簡單？ 我們來看看結(jié)果如何。

總共13行就實現(xiàn)了這樣的效果。

現(xiàn)在修改一下程序，我們把迭代過程中的每一步滿足的點集都繪制在一張圖上。修改的方法很簡單，讓保存最終結(jié)果的ans是每一步結(jié)果的和，看下修改后的代碼

import?numpy?as?np

from?matplotlib?import?pyplot?as?plt

n=1000

Y, X = np.mgrid[-1.5:1.5:3/n, -2:1:3/n]

C = X+1j*Y

pic = np.zeros((n,n))??

ans = np.zeros((n,n))??

for?i?in?range(20):

? ? pic=pic**2+C? ??

????ans += np.float32(np.abs(pic)<100)??

????#這里ans放入循環(huán)體中，對每一步求和，從而展示出逐漸收斂的過程。

plt.imshow(ans,cmap="rainbow")

plt.show()? ?

看看結(jié)果：

效果是不是挺驚艷。

如果想繪制局部圖形，還是老程序，但是需要修改對應(yīng)的參數(shù)：

import numpy as np

from matplotlib import pyplot as plt

n=1000

Y, X = np.mgrid[-0.05:0.05:0.1/n, 0.2:0.3:0.1/n]??

#在這里只選擇平面上自己想繪制的部分區(qū)間。

C = X+1j*Y

pic = np.zeros((n,n)) ?

ans = np.zeros((n,n))??

for i in range(200):

#由于繪制范圍變小，為了在局部依然明確的區(qū)分出收斂情況，則需要相應(yīng)提高迭代次數(shù)。

? ? pic=pic**2+C ??

? ? ans += np.float32(np.abs(pic)<100)??

plt.imshow(ans,cmap="rainbow")

plt.show() ?

怎么樣，沒有疑問了吧。