? 在平面內(nèi)，單位方球[-1,1]×[-1,1]是緊致集，它所包含的單位閉球x^2+y^2≤1也是緊致集，類似結(jié)論對于有限維歐氏空間都成立，但若是把空間推廣到無窮維，就會出現(xiàn)一些看似奇怪的情況。

??在泛函分析中，我們知道可數(shù)Hilbert空間l^2的單位閉球B（或球面S）不是緊致集。取其標(biāo)準(zhǔn)正交集的集合E={e_k：k=1,2，…}，若B（或S）是緊致集，則E作為其閉子集也應(yīng)該是緊致集，但E內(nèi)任意兩點的距離都是√2，只要考慮半徑小于√2/2的球來覆蓋，它就沒有有限子覆蓋，這是E是緊致集的結(jié)論矛盾！事實上，E是有界閉集，但不是緊致集。

??再考慮可數(shù)積X=×[-1,1]，由Tychonoff定理，X是緊空間。既然緊空間的閉子集一定是緊集，為什么它的單位閉球B不是緊致的呢？事實上，有無限個±1坐標(biāo)的“頂點”不滿足平方收斂條件，這里的可數(shù)積不能被賦予l^2的度量。

??一般來說，對一簇任意拓撲空間X_i的乘積，我們可以賦予不同拓撲。最常見的有：

??1）積拓撲（product topology）：其開集形如有限個U_k與其余X_i的積，其中U_k的X_k內(nèi)的開集。

??2）箱拓撲（box topology）：其開集形如U_k的積，其中U_k的X_k內(nèi)的開集。

??Tychonoff定理告訴我們，任意一族緊空間的積是緊空間，但這是對積拓撲而言的。積拓撲形式上有無限個指標(biāo)，但起實際作用的只有有限個，在無限之中選出有限，這就使得Tychonoff定理等價于選擇公理（證明參見【2】）！

??如果我們考慮箱拓撲，上面的空間X=×[-1,1]就不是緊致的。可以取U+ = (-1,1]，U- = [-1,1)覆蓋?[-1,1]，對X的每個分量取正號或負號，就得到了X的一個不可數(shù)覆蓋，它顯然沒有有限子覆蓋！

??在箱拓撲下，E不是X的緊致集。可以考慮（-1/2, 1/2）×…× （-1/2, 1/2）×（1/2, 1] ×（-1/2, 1/2）×（-1/2, 1/2）×…覆蓋e_i，其中（1/2, 1]位于第i個坐標(biāo)分量，當(dāng)i取遍自然數(shù)時，這樣的覆蓋彼此不相交，因此不能有有限子覆蓋。

??在積拓撲下，E也不是X的緊致集?？梢钥紤]用（-1/2, 1/2）×…× （-1/2, 1/2）×（1/2, 1] × [-1,1]?× [-1,1]?×…覆蓋e_i，其中（1/2, 1]位于第i個坐標(biāo)分量，當(dāng)i取遍自然數(shù)時，這樣的覆蓋依然彼此不相交，因此不能有有限子覆蓋。

??既然在積拓撲下E不是緊致集，那么它應(yīng)該也不是X的閉子集。事實上，考慮包含原點0的任意開集U，在積拓撲下除有限個指標(biāo)為其坐標(biāo)分量都是上面的空間[-1,1]，這些分量所對應(yīng)的e_i自然都在U內(nèi)，因此0無疑就是E的聚點。

??一般而言，無窮維空間的幾何體都是非緊致的，像Tychonoff定理那樣出現(xiàn)緊致是因為有特別設(shè)計的積拓撲，它本質(zhì)上只處理了有限個空間分量，能夠保持拓撲空間的很多良好性質(zhì)，反而是變成了無窮積空間中的默認拓撲。

??擴展閱讀：

??【1】JamesR.Munkres, 芒克里斯, 熊金城,等. 拓撲學(xué):(原書第2版)[M]. 機械工業(yè)出版社, 2006. （點集拓撲學(xué)的經(jīng)典教材，專門有一章討論Tychonoff定理）

??【2】兒玉之宏, 永見啟應(yīng), 方嘉琳. 拓撲空間論[M]. 科學(xué)出版社, 2001. （拓撲空間理論的專著，內(nèi)容相當(dāng)?shù)纳钸h）

??【3】汪林, 楊富春. 拓撲空間中的反例[M]. 科學(xué)出版社, 2000. （匯集了拓撲空間包括拓撲線性空間內(nèi)的常見反例，對積拓撲與箱拓撲有簡單比較）

??【4】WALTERRUDIN著, 劉培德. 泛函分析 (原書第2版)[M]. 機械工業(yè)出版社, 2004. （高觀點的泛函分析教材，對拓撲線性空間有特別處理）