鑒于上次此節(jié)評(píng)論被吞，故寫(xiě)在“我的筆記”上

#復(fù)習(xí)（數(shù)列的上極限和下極限）

1.數(shù)列上/下極限第一定義的合理性。Bolzano-Weierstrass定理確保E非空（+∞，-∞算極限點(diǎn)），確界原理確保非空集合一定有上/下確界。

2.上節(jié)課已說(shuō)明，無(wú)上界的數(shù)列的不一定趨于+∞，但上極限一定是+∞

3.命題3.16

①意思：第一節(jié)課（dedekind分割）就說(shuō)明了，一般的集合不一定有最大/小值（即使有界），但極限點(diǎn)組成的集合E一定包含最大/小值（上/下極限）

②證明（以上極限為例）（雖然沒(méi)有“開(kāi)區(qū)間套”的說(shuō)法，但我將此證法命名為開(kāi)區(qū)間套方便記憶）

先設(shè)a是上極限（即E的上確界），則存在a的鄰域開(kāi)區(qū)間包含極限點(diǎn)（上確界性質(zhì)的應(yīng)用），然后用開(kāi)區(qū)間性質(zhì)（某點(diǎn)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，則它必有一個(gè)鄰域也在開(kāi)區(qū)間內(nèi)），之后再利用極限點(diǎn)的性質(zhì)（極限點(diǎn)的任一去心鄰域內(nèi)都有無(wú)窮多項(xiàng)），也就是說(shuō)此開(kāi)區(qū)間內(nèi)有無(wú)窮多項(xiàng)，從中取出一項(xiàng)。重復(fù)操作（因?yàn)槭菬o(wú)窮多項(xiàng)，所以可取出an的子列）

4.證明數(shù)列有極限只需下極限≥上極限

5.上/下極限的第二定義。【重頭戲】

（同樣的思路在正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斷斂散時(shí)屢次用到，比較判別法（包括Cauchy根值判別法）、比值判別法（以D'Alembert判別法為代表））

極限點(diǎn)L是上極限的【必要條件】是L+ε（?ε＞0）右側(cè)只有有限項(xiàng)。（“L右側(cè)只有有限項(xiàng)”結(jié)論過(guò)強(qiáng)，非必要條件）

6.上下極限的保序性