R語言用多元ARMA,GARCH ,EWMA, ETS,隨機波動率SV模型對金融時間序列數(shù)據(jù)建模
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本文將說明單變量和多變量金融時間序列的不同模型，特別是條件均值和條件協(xié)方差矩陣、波動率的模型。
均值模型
本節(jié)探討條件均值模型。
iid模型
我們從簡單的iid模型開始。iid模型假定對數(shù)收益率xt為N維高斯時間序列：
均值和協(xié)方差矩陣的樣本估計量分別是樣本均值
和樣本協(xié)方差矩陣
我們從生成數(shù)據(jù)開始，熟悉該過程并確保估計過程給出正確的結果（即完整性檢查）。然后使用真實的市場數(shù)據(jù)并擬合不同的模型。
讓我們生成合成iid數(shù)據(jù)并估算均值和協(xié)方差矩陣：
# 生成綜合收益數(shù)據(jù)X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)# 樣本估計（樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣）mu_sm <- colMeans(X)Sigma_scm <- cov(X)# 誤差norm(mu_sm ? ? - mu, "2")#> [1] 2.44norm(Sigma_scm - Sigma, "F")#> [1] 70.79
現(xiàn)在，讓我們針對不同數(shù)量的觀測值T再做一次：
# 首先生成所有數(shù)據(jù)X <- rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)# 現(xiàn)在遍歷樣本的子集for (T_ in T_sweep) {?# 樣本估算?mu_sm <- colMeans(X_)?Sigma_scm <- cov(X_)?# 計算誤差?error_mu_vs_T ? ?<- c(error_mu_vs_T, ? ?norm(mu_sm ? ? - mu, "2"))?error_Sigma_vs_T <- c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm - Sigma, "F"))# 繪圖plot(T_sweep, error_mu_vs_T,? ? main = "mu估計誤差",
plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T? ? main = "Sigma估計中的誤差", ylab = "誤差"
單變量ARMA模型
對數(shù)收益率xt上的ARMA（p，q）模型是
其中wt是均值為零且方差為σ2的白噪聲序列。模型的參數(shù)是系數(shù)?i，θi和噪聲方差σ2。
請注意，ARIMA（p，d，q）模型是時間差分為d階的ARMA（p，q）模型。因此，如果我們用xt代替對數(shù)價格，那么先前的對數(shù)收益模型實際上就是ARIMA（p，1，q）模型，因為一旦對數(shù)價格差分，我們就獲得對數(shù)收益。
rugarch生成數(shù)據(jù)?
我們將使用rugarch包??生成單變量ARMA數(shù)據(jù)，估計參數(shù)并進行預測。
首先，我們需要定義模型：
# 指定具有給定系數(shù)和參數(shù)的AR（1）模型#>#> *----------------------------------*#> * ? ? ? ARFIMA Model Spec ? ? ? ? ?*#> *----------------------------------*#> Conditional Mean Dynamics#> ------------------------------------#> Mean Model ? ? ? ? ? : ARFIMA(1,0,0)#> Include Mean ? ? : TRUE#>#> Conditional Distribution#> ------------------------------------#> Distribution : ?norm#> Includes Skew ? ?: ?FALSE#> Includes Shape ? : ?FALSE#> Includes Lambda ?: ?FALSE#> ? ? ? ? ?Level Fixed Include Estimate LB UB#> mu ? ? ? ?0.01 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?0 NA NA#> ar1 ? ? ?-0.90 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?0 NA NA#> ma ? ? ? ?0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> arfima ? ?0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> archm ? ? 0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> mxreg ? ? 0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> sigma ? ? 0.20 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?0 NA NA#> alpha ? ? 0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> beta ? ? ?0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> gamma ? ? 0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> eta1 ? ? ?0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> eta2 ? ? ?0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> delta ? ? 0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> lambda ? ?0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> vxreg ? ? 0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> skew ? ? ?0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> shape ? ? 0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> ghlambda ?0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> xi ? ? ? ?0.00 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NAfixed.pars#> $mu#> [1] 0.01#>#> $ar1#> [1] -0.9#>#> $sigma#> [1] 0.2true_params#> ? ?mu ? ar1 sigma#> ?0.01 -0.90 ?0.20
然后，我們可以生成時間序列：
# 模擬一條路徑apath(spec, n.sim = T)# 轉(zhuǎn)換為xts并繪圖plot(synth_log_returns, main = "ARMA模型的對數(shù)收益率"plot(synth_log_prices, main = "ARMA模型的對數(shù)價格"
ARMA模型
現(xiàn)在，我們可以估計參數(shù)（我們已經(jīng)知道）：
# 指定AR（1）模型arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 估計模型#> ? ? ? ? ? mu ? ? ? ? ?ar1 ? ? ? ?sigma#> ? ? ? 0.0083 ? ? ?-0.8887 ? ? ? 0.1987#> ? ?mu ? ar1 sigma#> ?0.01 -0.90 ?0.20
我們還可以研究樣本數(shù)量T對參數(shù)估計誤差的影響：
# 循環(huán)for (T_ in T_sweep) {?estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit))?error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) - true_params)/true_params)# 繪圖matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T,? ? ? ?main = "估計的ARMA系數(shù)", xlab = "T", ylab = "值",
matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,? ? ? ?main = "估計ARMA系數(shù)的相對誤差", xlab = "T", ylab = "誤差 (%)",
首先，真正的μ幾乎為零，因此相對誤差可能顯得不穩(wěn)定。在T = 800個樣本之后，其他系數(shù)得到了很好的估計。
ARMA預測
為了進行健全性檢查，我們現(xiàn)在將比較兩個程序包?Forecast?和?rugarch的結果：
# 指定具有給定系數(shù)和參數(shù)的AR（1）模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE),? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))# 生成長度為1000的序列arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim# 使用 rugarch包指定和擬合模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 使用包“ forecast”擬合模型#> ARIMA(1,0,0) with non-zero mean#>#> Coefficients:#> ? ? ? ? ? ar1 ? ?mean#> ? ? ? -0.8982 ?0.0036#> s.e. ? 0.0139 ?0.0017#>#> sigma^2 estimated as 0.01004: ?log likelihood=881.6#> AIC=-1757.2 ? AICc=-1757.17 ? BIC=-1742.47# 比較模型系數(shù)#> ? ? ? ? ?ar1 ? ?intercept ? ? ? ?sigma#> -0.898181148 ?0.003574781 ?0.100222964#> ? ? ? ? ? mu ? ? ? ? ?ar1 ? ? ? ?sigma#> ?0.003605805 -0.898750138 ?0.100199956
確實，這兩個軟件包給出了相同的結果。
ARMA模型選擇?
在先前的實驗中，我們假設我們知道ARMA模型的階數(shù)，即p = 1和q = 0。實際上，階數(shù)是未知的，因此必須嘗試不同的階數(shù)組合。階數(shù)越高，擬合越好，但這將不可避免地導致過度擬合。已經(jīng)開發(fā)出許多方法來懲罰復雜性的增加以避免過度擬合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。
# 嘗試不同的組合# 查看排名#> ? ?AR MA Mean ARFIMA ? ? ? ? BIC converged#> 1 ? 1 ?0 ? ?1 ? ? ?0 -0.38249098 ? ? ? ? 1#> 2 ? 1 ?1 ? ?1 ? ? ?0 -0.37883157 ? ? ? ? 1#> 3 ? 2 ?0 ? ?1 ? ? ?0 -0.37736340 ? ? ? ? 1#> 4 ? 1 ?2 ? ?1 ? ? ?0 -0.37503980 ? ? ? ? 1#> 5 ? 2 ?1 ? ?1 ? ? ?0 -0.37459177 ? ? ? ? 1#> 6 ? 3 ?0 ? ?1 ? ? ?0 -0.37164609 ? ? ? ? 1#> 7 ? 1 ?3 ? ?1 ? ? ?0 -0.37143480 ? ? ? ? 1#> 8 ? 2 ?2 ? ?1 ? ? ?0 -0.37107841 ? ? ? ? 1#> 9 ? 3 ?1 ? ?1 ? ? ?0 -0.36795491 ? ? ? ? 1#> 10 ?2 ?3 ? ?1 ? ? ?0 -0.36732669 ? ? ? ? 1#> 11 ?3 ?2 ? ?1 ? ? ?0 -0.36379209 ? ? ? ? 1#> 12 ?3 ?3 ? ?1 ? ? ?0 -0.36058264 ? ? ? ? 1#> 13 ?0 ?3 ? ?1 ? ? ?0 -0.11875575 ? ? ? ? 1#> 14 ?0 ?2 ? ?1 ? ? ?0 ?0.02957266 ? ? ? ? 1#> 15 ?0 ?1 ? ?1 ? ? ?0 ?0.39326050 ? ? ? ? 1#> 16 ?0 ?0 ? ?1 ? ? ?0 ?1.17294875 ? ? ? ? 1#選最好的armaOrder#> AR MA#> ?1 ?0
在這種情況下，由于觀察次數(shù)T = 1000足夠大，因此階數(shù)被正確地檢測到。相反，如果嘗試使用T = 200，則檢測到的階數(shù)為p = 1，q = 3。
ARMA預測?
一旦估計了ARMA模型參數(shù)?i? ^ i和θ^j，就可以使用該模型預測未來的值。例如，根據(jù)過去的信息對xt的預測是
并且預測誤差將為xt-x ^ t = wt（假設參數(shù)已被估計），其方差為σ2。軟件包?rugarch?使對樣本外數(shù)據(jù)的預測變得簡單：
# 估計模型（不包括樣本外）coef(arma_fit)#> ? ? ? ? ? mu ? ? ? ? ?ar1 ? ? ? ?sigma#> ?0.007212069 -0.898745183 ?0.200400119# 整個樣本外的預測對數(shù)收益forecast_log_returns <- xts(arma_fore@forecast$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)# 恢復對數(shù)價格prev_log_price <- head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)# 對數(shù)收益圖plot(cbind("fitted" ? = fitted(arma_fit),# 對數(shù)價格圖plot(cbind("forecast" = forecast_log_prices,? ? main = "對數(shù)價格預測", legend.loc = "topleft")
多元VARMA模型
對數(shù)收益率xt上的VARMA（p，q）模型是
其中wt是具有零均值和協(xié)方差矩陣Σw的白噪聲序列。該模型的參數(shù)是矢量/矩陣系數(shù)?0，Φi，Θj和噪聲協(xié)方差矩陣Σw。
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比較
讓我們首先加載S＆P500：
# 加載標普500數(shù)據(jù)head(SP500_index_prices)#> ? ? ? ? ? ? ?SP500#> 2012-01-03 1277.06#> 2012-01-04 1277.30#> 2012-01-05 1281.06#> 2012-01-06 1277.81#> 2012-01-09 1280.70#> 2012-01-10 1292.08# 準備訓練和測試數(shù)據(jù)logreturns_trn <- logreturns[1:T_trn]logreturns_tst <- logreturns[-c(1:T_trn)]# 繪圖{ plot(logreturns,?addEventLines(xts("訓練"
現(xiàn)在，我們使用訓練數(shù)據(jù)（即，對于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）來擬合不同的模型（請注意，通過指示排除了樣本外數(shù)據(jù)?out.sample = T_tst）。特別是，我們將考慮iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后將對方差建模進行更詳細的研究）。
# 擬合i.i.d.模型coef(iid_fit)#> ? ? ? ? ? mu ? ? ? ?sigma#> 0.0005712982 0.0073516993mean(logreturns_trn)#> [1] 0.0005681388sd(logreturns_trn)#> [1] 0.007360208# 擬合AR（1）模型coef(ar_fit)#> ? ? ? ? ? ?mu ? ? ? ? ? ar1 ? ? ? ? sigma#> ?0.0005678014 -0.0220185181 ?0.0073532716# 擬合ARMA（2,2）模型coef(arma_fit)#> ? ? ? ? ? ?mu ? ? ? ? ? ar1 ? ? ? ? ? ar2 ? ? ? ? ? ma1 ? ? ? ? ? ma2 ? ? ? ? sigma#> ?0.0007223304 ?0.0268612636 ?0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 ?0.0072573570# 擬合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型coef(arch_fit)#> ? ? ? ? ? ?mu ? ? ? ? ? ar1 ? ? ? ? ? ma1 ? ? ? ? omega ? ? ? ?alpha1#> ?6.321441e-04 ?8.720929e-02 -9.391019e-02 ?4.898885e-05 ?9.986975e-02#擬合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型coef(long_arch_fit)#> ? ? ? ? ? mu ? ? ? ?omega ? ? ? alpha1 ? ? ? alpha2 ? ? ? alpha3 ? ? ? alpha4 ? ? ? alpha5#> 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02#> ? ? ? alpha6 ? ? ? alpha7 ? ? ? alpha8 ? ? ? alpha9 ? ? ?alpha10#> 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06# 擬合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型coef(garch_fit)#> ? ? ? ? ? ?mu ? ? ? ? ? ar1 ? ? ? ? ? ma1 ? ? ? ? omega ? ? ? ?alpha1 ? ? ? ? beta1#> ?6.660346e-04 ?9.664597e-01 -1.000000e+00 ?7.066506e-06 ?1.257786e-01 ?7.470725e-01
我們使用不同的模型來預測對數(shù)收益率：
# 準備預測樣本外周期的對數(shù)收益# i.i.d.模型預測forecast(iid_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dates_out_of_sample)# AR（1）模型進行預測forecast(ar_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dates_out_of_sample)# ARMA（2,2）模型進行預測forecast(arma_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dates_out_of_sample)# 使用ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型進行預測forecast(arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dates_out_of_sample)# ARMA（0,0）+ARCH（10）模型預測forecast(long_arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dates_out_of_sample)# ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型預測forecast(garch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dates_out_of_sample)
我們可以計算不同模型的預測誤差（樣本內(nèi)和樣本外）：
print(error_var)#> ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? in-sample out-of-sample#> iid ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5.417266e-05 ?8.975710e-05#> AR(1) ? ? ? ? ? ? ? ? ?5.414645e-05 ?9.006139e-05#> ARMA(2,2) ? ? ? ? ? ? ?5.265204e-05 ?1.353213e-04#> ARMA(1,1) + ARCH(1) ? ?5.415836e-05 ?8.983266e-05#> ARCH(10) ? ? ? ? ? ? ? 5.417266e-05 ?8.975710e-05#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 ?9.244012e-05
我們可以觀察到，隨著模型復雜度的增加，樣本內(nèi)誤差趨于變?。ㄓ捎跀M合數(shù)據(jù)的自由度更高），盡管差異可以忽略不計。重要的實際上是樣本外誤差：我們可以看到，增加模型復雜度可能會得出較差的結果。就預測收益的誤差而言，似乎最簡單的iid模型已經(jīng)足夠了。
最后，讓我們展示一些樣本外誤差的圖表：
plot(error,? ? main = "不同模型收益預測的樣本外誤差",
請注意，由于我們沒有重新擬合模型，因此隨著時間的發(fā)展，誤差越大（對于ARCH建模尤其明顯）。
滾動窗口比較
讓我們首先通過一個簡單的示例比較靜態(tài)預測與滾動預測的概念：
#ARMA（2,2）模型spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))# 靜態(tài)擬合和預測ar_static_fit <- fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T_tst)#滾動擬合和預測modelroll <- aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1,# 預測圖plot(cbind("static forecast" ?= ar_static_fore_logreturns,? ? main = "使用ARMA（2,2）模型進行預測", legend.loc = "topleft")# 預測誤差圖plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2,? ? main = "ARMA（2,2）模型的預測誤差", legend.loc = "topleft")
我們可以清楚地觀察到滾動窗口過程對時間序列的影響。
現(xiàn)在，我們可以在滾動窗口的基礎上重做所有模型的所有預測：
# 基于i.i.d.模型的滾動預測roll(iid_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_t# AR（1）模型的滾動預測roll(ar_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,# ARMA（2,2）模型的滾動預測roll(arma_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,# ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型的滾動預測roll(arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? refit.every = 50, refit.win# ARMA（0,0）+ ARCH（10）模型的滾動預測roll(long_arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?refit.every = 50,# ARMA（1,1）+ GARCH（1,1）模型的滾動預測roll(garch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?refit.every = 50, refit.window
讓我們看看滾動基準情況下的預測誤差：
print(rolling_error_var)#> ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? in-sample out-of-sample#> iid ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5.417266e-05 ?8.974166e-05#> AR(1) ? ? ? ? ? ? ? ? ?5.414645e-05 ?9.038057e-05#> ARMA(2,2) ? ? ? ? ? ? ?5.265204e-05 ?8.924223e-05#> ARMA(1,1) + ARCH(1) ? ?5.415836e-05 ?8.991902e-05#> ARCH(10) ? ? ? ? ? ? ? 5.417266e-05 ?8.976736e-05#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 ?8.895682e-05
和一些圖表：
plot(error_logreturns,? ? main = "不同模型的滾動預測誤差", legend.loc = "topleft"
我們看到，現(xiàn)在所有模型都擬合了時間序列。此外，我們在模型之間沒有發(fā)現(xiàn)任何顯著差異。
我們最終可以比較靜態(tài)誤差和滾動誤差：
barplot(rbind(error_var[, "out-of-sample"], rolling_error_var[, "out-of-sample"])? ? ? ?col = c("darkblue", "darkgoldenrod"),? ? ? ?legend = c("靜態(tài)預測", "滾動預測"),
我們可以看到，滾動預測在某些情況下是必須的。因此，實際上，我們需要定期進行滾動預測改進。
方差模型
ARCH和GARCH模型
對數(shù)收益率殘差wt的ARCH（m）模型為
其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪聲序列，而條件方差σ2t建模為
其中，m為模型階數(shù)，ω> 0，αi≥0為參數(shù)。
GARCH（m，s）模型使用σ2t上的遞歸項擴展了ARCH模型：
其中參數(shù)ω> 0，αi≥0，βj≥0需要滿足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的穩(wěn)定性。
rugarch生成數(shù)據(jù)?
首先，我們需要定義模型：
# 指定具有給定系數(shù)和參數(shù)的GARCH模型#>#> *---------------------------------*#> * ? ? ? GARCH Model Spec ? ? ? ? ?*#> *---------------------------------*#>#> Conditional Variance Dynamics ? ?#> ------------------------------------#> GARCH Model ? ? ?: sGARCH(1,1)#> Variance Targeting ? : FALSE#>#> Conditional Mean Dynamics#> ------------------------------------#> Mean Model ? ? ? : ARFIMA(1,0,0)#> Include Mean ? ? : TRUE#> GARCH-in-Mean ? ? ? ?: FALSE#>#> Conditional Distribution#> ------------------------------------#> Distribution : ?norm#> Includes Skew ? ?: ?FALSE#> Includes Shape ? : ?FALSE#> Includes Lambda ?: ?FALSE#> ? ? ? ? ? Level Fixed Include Estimate LB UB#> mu ? ? ? ?0.005 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?0 NA NA#> ar1 ? ? ?-0.900 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?0 NA NA#> ma ? ? ? ?0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> arfima ? ?0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> archm ? ? 0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> mxreg ? ? 0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> omega ? ? 0.001 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?0 NA NA#> alpha1 ? ?0.300 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?0 NA NA#> beta1 ? ? 0.650 ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ?0 NA NA#> gamma ? ? 0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> eta1 ? ? ?0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> eta2 ? ? ?0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> delta ? ? 0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> lambda ? ?0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> vxreg ? ? 0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> skew ? ? ?0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> shape ? ? 0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> ghlambda ?0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> xi ? ? ? ?0.000 ? ? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ?0 NA NA#> $mu#> [1] 0.005#>#> $ar1#> [1] -0.9#>#> $omega#> [1] 0.001#>#> $alpha1#> [1] 0.3#>#> $beta1#> [1] 0.65true_params#> ? ? mu ? ?ar1 ?omega alpha1 ?beta1#> ?0.005 -0.900 ?0.001 ?0.300 ?0.650
然后，我們可以生成收益率時間序列：
# 模擬一條路徑hpath(garch_spec, n.sim = T)#> ?num [1:2000, 1] 0.167 -0.217# 繪圖對數(shù)收益{ plot(synth_log_returns, main = "GARCH模型的對數(shù)收益", lwd = 1.5)?lines(synth_volatility
GARCH
現(xiàn)在，我們可以估計參數(shù)：
# 指定一個GARCH模型ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)# 估計模型coef(garch_fit)#> ? ? ? ? ? ?mu ? ? ? ? ? ar1 ? ? ? ? omega ? ? ? ?alpha1 ? ? ? ? beta1#> ?0.0036510100 -0.8902333595 ?0.0008811434 ?0.2810460728 ?0.6717486402#> ? ? mu ? ?ar1 ?omega alpha1 ?beta1#> ?0.005 -0.900 ?0.001 ?0.300 ?0.650# 系數(shù)誤差#> ? ? ? ? ? mu ? ? ? ? ?ar1 ? ? ? ?omega ? ? ? alpha1 ? ? ? ?beta1#> 0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402
我們還可以研究樣本數(shù)量T對參數(shù)估計誤差的影響：
# 循環(huán)for (T_ in T_sweep) {?garch_fit?error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs((coef(garch_fit) - true_params)/true_params))?estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(garch_fit))# 繪圖matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,? ? ? ?main = "估計GARCH系數(shù)的相對誤差", xlab = "T", ylab = "誤差 (%)",
真實的ω幾乎為零，因此誤差非常不穩(wěn)定。至于其他系數(shù)，就像在ARMA情況下一樣，μ的估計確實很差（相對誤差超過50％），而其他系數(shù)似乎在T = 800個樣本后得到了很好的估計。
GARCH結果比較?
作為健全性檢查，我們現(xiàn)在將比較兩個軟件包?fGarch?和?rugarch的結果：
# 指定具有特定參數(shù)值的ARMA（0,0）-GARCH（1,1）作為數(shù)據(jù)生成過程garch_spec#生成長度為1000的數(shù)據(jù)path(garch_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$# 使用“ rugarch”包指定和擬合模型rugarch_fit <- ugarchfit(spec = garch_spec, data = x)# 使用包“ fGarch”擬合模型garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = x, trace = FALSE)# 比較模型系數(shù)#> ? ? ? ? mu ? ? ?omega ? ? alpha1 ? ? ?beta1#> 0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595#> ? ? ? ? mu ? ? ?omega ? ? alpha1 ? ? ?beta1#> 0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658# 比較擬合的標準偏差print(head(fGarch_fi#> [1] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994print(head(rugar#> [1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555
確實，這兩個軟件包給出了相同的結果。
使用rugarch包進行GARCH預測?
一旦估計出GARCH模型的參數(shù)，就可以使用該模型預測未來的值。例如，基于過去的信息對條件方差的單步預測為
給定ω^ /（1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j）。軟件包?rugarch?使對樣本外數(shù)據(jù)的預測變得簡單：
# 估計模型，不包括樣本外garch_fitcoef(garch_fit)#> ? ? ? ? ? ?mu ? ? ? ? ? ar1 ? ? ? ? omega ? ? ? ?alpha1 ? ? ? ? beta1#> ?0.0034964331 -0.8996287630 ?0.0006531088 ?0.3058756796 ?0.6815452241# 預測整個樣本的對數(shù)收益garch_fore@forecast$sigmaFor[1, ]# 對數(shù)收益圖plot(cbind("fitted" ? = fitted(garch_fit),? ? main = "合成對數(shù)收益預測", legend.loc = "topleft")
#波動率對數(shù)收益圖plot(cbind("fitted volatility" ? = sigma(garch_fit),? ? main = "預測合成對數(shù)收益率的波動性", legend.loc = "topleft")
不同方法
讓我們首先加載S＆P500：
# 加載標準普爾500指數(shù)數(shù)據(jù)head(SP500_index_prices)#> ? ? ? ? ? ? ?SP500#> 2008-01-02 1447.16#> 2008-01-03 1447.16#> 2008-01-04 1411.63#> 2008-01-07 1416.18#> 2008-01-08 1390.19#> 2008-01-09 1409.13# 準備訓練和測試數(shù)據(jù)x_trn <- x[1:T_trn]x_tst <- x[-c(1:T_trn)]# 繪圖{ plot(x, main = "收益"?addEventLines(xts("訓練", in
常數(shù)
讓我們從常數(shù)開始：
plot(cbind(sqrt(var_constant), x_trn)? ? main = "常數(shù)")
移動平均值
現(xiàn)在，讓我們使用平方收益的移動平均值：
plot(cbind(sqrt(var_t), x_trn),? ? main = "基于簡單滾動平方均值的包絡線(時間段=20)
EWMA
指數(shù)加權移動平均線（EWMA）：
請注意，這也可以建模為ETS（A，N，N）狀態(tài)空間模型：
plot(cbind(std_t, x_trn),? ? main = "基于平方EWMA的包絡")
乘法ETS
我們還可以嘗試ETS模型的不同變體。例如，具有狀態(tài)空間模型的乘性噪聲版本ETS（M，N，N）：
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")? ? main = "基于平方的ETS（M，N，N）的包絡"
ARCH
現(xiàn)在，我們可以使用更復雜的ARCH建模：
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")? ? main = "基于ARCH(5)的包絡")
GARCH
我們可以將模型提升到GARCH：
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")? ? main = "基于GARCH（1,1）的包絡")
SV隨機波動率
最后，我們可以使用隨機波動率建模：
或者，等效地，
plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black"),? ? main = "基于隨機波動率的包絡分析")
比較
現(xiàn)在，我們可以比較每種方法在樣本外期間的方差估計中的誤差：
#> ? ? ? ? ? MA ? ? ? ? EWMA ? ETS(M,N,N) ? ? ?ARCH(5) ? GARCH(1,1) ? ? ? ? ? SV#> 2.204965e-05 7.226188e-06 3.284057e-06 7.879039e-05 6.496545e-06 6.705059e-06barplot(error_all, main = "樣本外方差估計中的誤差"
滾動窗口比較
六種方法的滾動窗口比較：MA，EWMA，ETS（MNN），ARCH（5），GARCH（1,1）和SV。
?#滾動窗口lookback <- 200len_tst <- 40for (i in seq(lookback, T-len_tst, by = len_tst)) {?# MA?var_t <- roll_meanr(x_trn^2, n = 20, fill = NA)?var_fore <- var(x_trn/sqrt(var_t), na.rm = TRUE) * tail(var_t, 1)?error_ma <- c(error_ma, abs(var_fore - var_tst))??# EWMA?error_ewma <- c(error_ewma, abs(var_fore - var_tst))??# ETS(M,N,N)?error_ets_mnn <- c(error_ets_mnn, abs(var_fore - var_tst))??# ARCH?error_arch <- c(error_arch, abs(var_fore - var_tst))??# GARCH?error_garch <- c(error_garch, abs(var_fore - var_tst))??# SV?error_sv <- c(error_sv, abs(var_fore - var_tst))}barplot(error_all, main = "方差估計誤差",
多元GARCH模型
出于說明目的，我們將僅考慮恒定條件相關（CCC）和動態(tài)條件相關（DCC）模型，因為它們是最受歡迎的模型。對數(shù)收益率殘差wt建模為
其中zt是具有零均值和恒定協(xié)方差矩陣II的iid白噪聲序列。條件協(xié)方差矩陣Σt建模為
其中Dt = Diag（σ1，t，...，σN，t）是標準化噪聲向量C，協(xié)方差矩陣ηt=C-1wt（即，它包含等于1的對角線元素）。
基本上，使用此模型，對角矩陣Dt包含一組單變量GARCH模型，然后矩陣C包含序列之間的一些相關性。該模型的主要缺點是矩陣C是恒定的。為了克服這個問題，DCC被提議為
其中Ct包含等于1的對角元素。要強制等于1的對角元素，Engle將其建模為
Qt具有任意對角線元素并遵循模型
我們將生成數(shù)據(jù)，估計參數(shù)和預測。
從加載多元ETF數(shù)據(jù)開始：
SPDR S＆P 500 ETF
20年以上國債ETF
IEF：7-10年期國債ETF
# 下載數(shù)據(jù)prices <- xts()head(prices)#> ? ? ? ? ? ? ? ? SPY ? ? ?TLT ? ? ?IEF#> 2013-01-02 127.8779 99.85183 93.65224#> 2013-01-03 127.5890 98.49886 93.17085#> 2013-01-04 128.1493 98.88306 93.21463#> 2013-01-07 127.7991 98.92480 93.26714#> 2013-01-08 127.4314 99.57622 93.49468#> 2013-01-09 127.7553 99.48438 93.54719# 繪制三個對數(shù)價格序列plot(log(prices)? ? main = "三個ETF的對數(shù)價格", legend.loc = "topleft")
首先，我們定義模型：
# 指定i.i.d.單變量時間序列模型ugarch_spec# 指定DCC模型spec( multispec(replicate(spec, n = 3))? ?
接下來，我們擬合模型：
# 估計模型#>#> *---------------------------------*#> * ? ? ? ? ?DCC GARCH Fit ? ? ? ? ?*#> *---------------------------------*#>#> Distribution ? ? ? ? : ?mvnorm#> Model ? ? ? ? ? ? ? ?: ?DCC(1,1)#> No. Parameters ? ? ? : ?44#> [VAR GARCH DCC UncQ] : [30+9+2+3]#> No. Series ? ? ? ? ? : ?3#> No. Obs. ? ? ? ? ? ? : ?1007#> Log-Likelihood ? ? ? : ?12198.4#> Av.Log-Likelihood ? ?: ?12.11#>#> Optimal Parameters#> -----------------------------------#> ? ? ? ? ? ? ? Estimate ?Std. Error ? t value Pr(>|t|)#> [SPY].omega ? 0.000004 ? ?0.000000 ?11.71585 0.000000#> [SPY].alpha1 ?0.050124 ? ?0.005307 ? 9.44472 0.000000#> [SPY].beta1 ? 0.870051 ? ?0.011160 ?77.96041 0.000000#> [TLT].omega ? 0.000001 ? ?0.000001 ? 0.93156 0.351563#> [TLT].alpha1 ?0.019716 ? ?0.010126 ? 1.94707 0.051527#> [TLT].beta1 ? 0.963760 ? ?0.006434 149.79210 0.000000#> [IEF].omega ? 0.000000 ? ?0.000001 ? 0.46913 0.638979#> [IEF].alpha1 ?0.031741 ? ?0.023152 ? 1.37097 0.170385#> [IEF].beta1 ? 0.937777 ? ?0.016498 ?56.84336 0.000000#> [Joint]dcca1 ?0.033573 ? ?0.014918 ? 2.25044 0.024421#> [Joint]dccb1 ?0.859787 ? ?0.079589 ?10.80278 0.000000#>#> Information Criteria#> ---------------------#> ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?#> Akaike ? ? ? -24.140#> Bayes ? ? ? ?-23.925#> Shibata ? ? ?-24.143#> Hannan-Quinn -24.058#>#>#> Elapsed time : 0.8804049
我們可以繪制時變相關性：
# 提取時變協(xié)方差和相關矩陣dim(dcc_cor)#> [1] ? ?3 ? ?3 1007#繪圖plot(corr_t? ? main = "時變相關", legend.loc = "left")
我們看到兩個收益ETF之間的相關性非常高且相當穩(wěn)定。與SPY的相關性較小，在小于0的區(qū)間波動。
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