我們今天來講一下后幾題，這幾題與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)關(guān)系比較密切，嚴(yán)格地說，結(jié)論要當(dāng)作必備知識(shí)牢記住，不然到后面學(xué)級(jí)數(shù)就懵逼了；

另外，這幾道習(xí)題是環(huán)環(huán)相扣的，上一題的結(jié)論可能就是下一題的條件，也都是常見數(shù)列極限，要滾瓜爛熟——

6.對(duì)實(shí)數(shù)的指數(shù)函數(shù)式的數(shù)列——

其中an=q^n，|q|<1，我們要求證an的極限是0——

1. 照例先回溯定義——要求證an的極限是0，即求證，對(duì)于任意小數(shù)r>0，都存在一個(gè)N，使得n>N的時(shí)候，|an-0|=|an|=|q^n|=|q|^n<r；

2. 又|q|<1，所以ln?|q|<0；

3. 由1、2得到不等式?n?ln |q|<ln r，則n>N>（ln?r）/（?ln?|q|）時(shí)可使1中不等式成立，取N=E（（ln?r）/（?ln?|q|））+1，則可使1中不等式成立；

4. 即an的極限是0。

6.5書中由此引出了另一個(gè)無窮小——

求證bn=A *an是無窮小，其中an=q^n，|q|<1，A為常數(shù)——

1. 照例先回溯定義——要求證bn的極限是0，即求證，對(duì)于任意小數(shù)r>0，都存在一個(gè)N，使得n>N的時(shí)候，|bn-0|=|bn|=|Aq^n|=|A||q|^n<r；

2. 又|q|<1，所以ln?|q|<0；

3. 由1、2得到不等式?n?ln |q|+ln |A|<ln r，則n>N>（ln?r-ln |A|）/（?ln?|q|）時(shí)可使1中不等式成立，取N=E（（ln?r-ln?|A|）/（?ln?|q|））+1，則可使1中不等式成立；

4. 即bn的極限是0。

7這就是最最經(jīng)典的一種數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)了，級(jí)數(shù)部分會(huì)翻來覆去地聊這個(gè)，不過在學(xué)會(huì)極限的運(yùn)算律之前，這題的證法是很有啟發(fā)性的——

對(duì)數(shù)列an=a*q^n，|q|<1，我們求各項(xiàng)和得到一個(gè)關(guān)于和的數(shù)列，S1=a1，……Sn=a1+a2+……an，求數(shù)列Sn的極限——

1. Sn=a1+a2+……an=a+aq+……a*q^（n-1）=a[（1-q^n）/（1-q）]=a/（1-q）-[a/（1-q）]q^n；

2. 我們由6.5的結(jié)論已知[a/（1-q）]q^n是一個(gè)無窮小量；

3. 數(shù)列極限的無窮小定義，我們知道，Sn與常數(shù)a/（1-q）之間相差一個(gè)無窮小量[a/（1-q）]q^n，即Sn的極限為a/（1-q）。

8這道題就是一個(gè)迭代數(shù)列的典型題，史濟(jì)懷老師的《數(shù)學(xué)分析教程》的習(xí)題1.3最后一題與這道題類似，方法大同小異——

已知x0=a，x1=b，而后的數(shù)列xn滿足：xn=（xn-1+xn-2）/2，求數(shù)列通項(xiàng)——

技巧——

1. 借助恒等變換，兩邊同時(shí)減去xn-1得到xn-xn-1=-（xn-1-xn-2）/2；

2. 這樣我們就成功構(gòu)造了一個(gè)新的等比數(shù)列——an=xn-xn-1，公比為-（1/2），首項(xiàng)為b-a；

3. 由此得到an的通項(xiàng)an=（b-a）（-1/2）^（n-1），該通項(xiàng)公式對(duì)a1也適用；

4. Sn=a1+a2+……an=（x1-x0）+（x2-x1）+……（xn-xn-1）=xn-x0=（b-a）[1-（-1/2）^n]/（3/2）=（2/3）[（b-a）-（b-a）（-1/2）^n]；

5. 由7中結(jié)論，得到Sn的極限為（2/3）（b-a）；

6. 則xn-x0=（2/3）（b-a），xn=x0+（2/3）（b-a）=a+（2/3）（b-a）=（2b+a）/3。

9介紹了無窮級(jí)數(shù)的定義并舉了個(gè)例子——

就是把數(shù)列各項(xiàng)相加得到的式子叫做無窮級(jí)數(shù)，無窮級(jí)數(shù)能夠求得有限數(shù)成為級(jí)數(shù)收斂，否則，則? ? 。

之后到了級(jí)數(shù)那一章會(huì)有詳細(xì)地介紹如何判斷級(jí)數(shù)是不是收斂，是《數(shù)學(xué)分析》和《高等數(shù)學(xué)》的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。

我們明天聊聊數(shù)列極限的性質(zhì)~