【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。?

第一章直線、角、平行線——平行線??

§1-12平行線的性質(zhì)

【01】我們從習(xí)題1-11里第10題的作圖的結(jié)果，可以知道平行線有下面的性質(zhì)：

【02】平行公理：過已知直線外的一已知點，只能作一條直線平行于已知直線。

【03】如圖1·81，過點 O 作出了直線 CD 平行于直線 AB? 。那末過點 O 的任何其他的直線和直線 AB 都不平行，而和直線 AB 相交。

【04】這里請?zhí)貏e注意，凡是不加證明而采用的真理叫做公理。公理是命題的一種，它的結(jié)論的正確性是經(jīng)過億萬次的實踐證明過的，因而被大家公認(rèn)為真理。它和定理不同，用不著象定理這樣的證明就能確定它的結(jié)論是成立的。例如，§1-1 里的“經(jīng)過兩點可以畫一條直線，并且只可以畫一條直線”就是一條直線的公理，它的結(jié)論是不能、也不必象定理那樣去證明，只能通過畫圖實踐來驗證。

【05】平行線還有下面的一些性質(zhì)：

【06】平行線性質(zhì)定理1：兩條平行線和第三條直線相交，那末同位角相等。

【已知】AB // CD，EF 是它們的截線（圖1·82）。

【求證】同位角 ∠1＝∠2? 。

【分析】要證明 ∠1＝∠2，我們也可以證明 ∠1 不等于 ∠2 是不可能的。采用這種方法證明的時候，先要假定 ∠1 不等于 ∠2（大于或者小于)，那末再過點 O 作補助線 OP，使 ∠EOP＝∠2，如圖1·83所示。然后再證明 ∠1 不等于 ∠2 是不可能的。

【證】假定 ∠1 不等于 ∠2，這樣就可以過點 O 作一補助線 OP，使 ∠EOP＝∠2（圖1·83）。

????????但如果 ∠EOP＝∠2，則直線 OP // CD（同位角相等則兩直線平行），而已知 AB?//?CD? 。

????????這里得出經(jīng)過一點 O 有兩條直線 AB 和 OP 都平行于直線 CD，這是不可以的（平行公理）。

????????這是由于假定 ∠1 不等于 ∠2 而引起的矛盾，因此 ∠1 不等于 ∠2 的假定是不成立的。既然 ∠1 不等于 ∠2 不成立，那末 ∠1 就應(yīng)該等于 ∠2? 。

????????從此得出本定理的結(jié)論，平行線的同位角相等。

【07】這里所采用的證明方法，不是直接去證明 ∠1＝∠2，而是反面去證明 ∠1 不等于 ∠2 是不可能的。事實上否定結(jié)論的反面，就是肯定結(jié)論的正面成立。這種證明的方法叫做反證法。

【08】有時為了證明的需要添作補助線（圖1·83 的 OP），并且把補助線畫成虛線，以便于區(qū)別。

【09】我們根據(jù)平行線性質(zhì)定理1，就容易得到下面的一些性質(zhì)：

【10】平行線性質(zhì)定理2：兩條平行線和第三條直線相交，那末內(nèi)錯角相等。

【已知】AB // CD，EF 是它們的截線（圖1·84）。

【求證】∠3＝∠2? 。

【分析】要證明∠3＝∠2，可以這樣想：∠3＝∠1（對頂角），如果能證得∠1＝∠2，就可證得∠3＝∠2，但已知 AB?//?CD，所以 ∠1＝∠2（平行線的同位角相等），從這里可以證得本題的結(jié)論。

【證】AB?//?CD（已知），根據(jù)平行線性質(zhì)定理1，可以得出 ∠1＝∠2，又 ∠1＝∠3（對頂角相等），∴ ∠3＝∠2（等于同量的量相等）。

【11】平行線性質(zhì)定理3：兩條平行線和第三直線相交，那末同旁內(nèi)角的和等于180°? 。

【已知】AB?//?CD，EF是它們的截線（圖1·85）。

【求證】∠2＋∠4＝180°? 。

【分析】要證明 ∠2＋∠4＝180°，只要證得 ∠1＝∠2? 。因為 ∠1＋∠4＝180°，但題設(shè) AB?//?CD，∠1＝∠2（平行線的同位角相等），由此可以證得本題的結(jié)論。

【證】AB?//?CD（已知），根裾平行線性質(zhì)定理1，可以得出 ∠1＝∠2，

又 ∠1＋∠4＝180°（鄰補角），∴ ∠2＋∠4＝180°（等量代入）。

【12】三直線平行的定理：如果兩條直線都和第三條直線平行，那末這兩條直線也互相平行。

【已知】AB?//?EF，CD?//?EF（圖1·86）。

【求證】AB?//?CD.

【分析】要證明 AB?//?CD，可先作一補助直線 PQ 與它們相交，證明 ∠1＝∠2 就可以了。但是題設(shè) AB?//?EF，CD?//?EF，所以有 ∠1＝∠3 和 ∠2＝∠3（平行線的同位角相等），即可證得 ∠1＝∠2? 。

【證】任意畫一條補助直線 PQ 與 AB，CD，EF 都相交，并注明它們的同位角為 ∠1，∠2 和 ∠3（圖1·86）。

∵ AB // EF（已知）【符號“∵”表示“因為”】∴ ∠1＝∠3（平行線的同位角相等），

又 CD?//?EF（已知），∴ ∠2＝∠3（平行線的同位角相等），∴ ∠1＝∠2? 。

根據(jù)平行線的判定定理，就有 AB?//?CD? 。

例1.已知 ∠1＝∠7（圖1·87）。求證 l? // l?? 。

【分析】要證明?l? // l?，只要證明 ∠1＝∠5 就可以了。

【證】∠1＝∠7（已知），∠7＝∠5（對頂角），∴ ∠1＝∠5? 。根據(jù)平行線的判定定理2，則有?l? // l?? 。

例2.求證，和兩條平行線中的一條垂直的直線，也和另一條直線垂直。

【已知】l? // l?，又?l? ⊥ l?（圖1·88）。

【求證】l? ⊥ l?? 。

【分析】要證明 l??⊥?l?，只要證明 ∠1＝90° 就可以了。

【證】l??⊥?l?（已知），∴ ∠2＝90°? 。

又 l? // l?（已知），∴ ∠1＝∠2（平行線的同位角相等），

即 ∠1＝90°（等量代入），∴?l??⊥?l?? 。

例3.已知 AB // CD，∠1＝∠2（圖1·89），那末 CD 平分 ∠BCE? 。

本例的求證可以改寫如下：

【求證】∠3＝∠2? 。

【證】AB // CD（已知），∴ ∠1＝∠3（平行線的內(nèi)錯角相等）。

但 ∠1＝∠2（已知），∴ ∠3＝∠2（也就是 CD 平分∠BCE）。

例4.已知 AB // CD，∠3＝45°，∠1＝75°（圖1·90）。求 ∠A? 。

【解】因為 AB?//?CD? 。所以 ∠2＝∠3＝45°（平行線的內(nèi)錯角相等），

而 ∠A＋∠1＋∠2＝180°（平行線的同旁內(nèi)角互補）

∴ ∠A＝180°－∠1－∠2＝180°－75°－45°＝60°? 。

答：∠A＝60? 。

例5.已知 ∠1＝∠2，又 ∠3＝100°（圖1·91）。求∠4? 。

【解】因為 ∠1＝∠2（已知），又 ∠2＝∠5（對頂角），∴?∠1＝∠5? ?！?l? // l?（同位角相等）。

可知 ∠3＋∠4＝180°（平行線的同旁內(nèi)角互補），∴ ∠4＝180°－∠3，已知 ∠3＝100°，即 ∠4＝180°－100°＝80°

答：∠4＝80°? 。

習(xí)題1-12

1、已知AB // CD? 。在圖中找出相等的同位角，內(nèi)錯角和互補的同旁內(nèi)角?！就唤怯?∠1＝∠4，∠3＝∠7，內(nèi)錯角有 ∠1＝∠9，∠3＝∠10，同旁內(nèi)角有 ∠1＋∠8＝2d，∠3＋∠11＝2d】

2、已知 AB?//?DC，∠ADC＝∠ABC（如圖）。求證 ∠1＝∠2? 。[提示：先證明 AD?//?BC ]

3、圖中已知 AB?//?CD，∠D＝23°，∠B＝42°? 。求 ∠DEB [提示：過 E 作補助線 EF 平行于 AB ]【65°】

4、如圖，已知 AB?//?DC，AD?//?BC，并且 ∠A 是直角，求其余三個角的度數(shù)?！酒溆嗳齻€角都是 90°】

5、如圖，已知 ∠3＋∠4＝180°? 。求證 ∠1＝∠2? 。[提示：先證明 a?//?b ]

6、如圖，已知 AB // CD，∠1＝∠2? 。求證 EB?//?CF? 。[提示：證明 ∠EBC＝∠FCB ]

7、如圖，已知 l? // l?，求證 ∠1＋∠8＝180°? 。[提示：先證明 ∠1＝∠5 ]

8、如圖，∠B＝∠D＝120°，∠A＝60°，(1) 哪些直線是平行的？(2) 求出 ∠C 的度數(shù)?！続B // CD，AD // BC，∠C＝60°】

9、用曲尺畫 CD⊥ AB，再畫 EF⊥AB，就可知道 CD 平行于 EF，為什么？【同位角相等】

10、如圖，已知 ∠A＝∠B，又 AB // DC? 。求證 ∠D＝∠C? 。

11、如圖，BCD 是一直線，CE?//?BA，∠1＝50°，∠2＝47°? 。求 ∠A，∠B 和 ∠ACB 的度數(shù)?！尽螦＝47°，∠B＝50°，∠ACB＝83°】

12、如圖，已知 BA // DE，∠B＝150°，∠D＝140°? 。求 ∠C? 。[提示：過點 C 作補助線平行于 BA ]【70°】

13、兩條平行線的同旁內(nèi)角的度數(shù)之比為 11:7，求這兩角的度數(shù)。[提示：可設(shè)這兩角的度數(shù)為 x 和 y，根據(jù)題目所指出的關(guān)系，列出方程組再求解 ]【110°，70°】

14、如圖，∠1＝45°，∠2＝45°，∠3＝125°? 。求 ∠4 和 ∠5? ?！尽?＝55°，∠5＝125°】

15、如圖，DE 是過 △ABC 的頂點 A 的直線，并且 DE 平行于 BC? 。求 ∠1＋∠2＋∠3 等于幾度。[提示：利用 ∠4＋∠1＋∠5 等于 180° ]【∠1＋∠2＋∠3＝180°】

16、“兩直線都與第三直線相交，則它們的同位角相等”，這樣說法對嗎？為什么？【不對，這兩直線不一定是平行】