Espha的數(shù)學(xué)日常（1）-探究運動線段掃過的面積

2022-11-29 02:24 作者:Espha 0人讀過 | 我要投稿

結(jié)論是臨時推的，存在許多不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤健２糠謧€人認(rèn)為不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤揭呀?jīng)標(biāo)紅，歡迎大佬們在評論區(qū)補(bǔ)充。

眾所周知，利用定積分工具可以計算函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的(有向)面積。題目中的"面積“指的大約是積分。

如圖所示，A(a,0),B(a,f(a)),C(b,0),D(b,f(b))，利用定積分可以計算該曲邊梯形的面積。

后來有一天Espha看到了這樣一個題目

那好吧...既然被問了也不好意思拒絕。這題要求我們計算線段掃過的面積。據(jù)常理推斷，這應(yīng)該是可以用積分解決的。在解決之前，應(yīng)該先化成更簡單的描述。于是Espha掏出復(fù)數(shù)大法，馬上把這玩意化成了以下的等價問題: $C(x%2Cf(x))%2CD(g(x)%2Ch(x))%2C%E6%B1%82x%E4%BB%8Ea%E5%8F%98%E5%8C%96%E5%88%B0b%E6%97%B6%EF%BC%8C%E7%BA%BF%E6%AE%B5CD%E6%89%AB%E8%BF%87%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AFS$

Espha想了好久，發(fā)現(xiàn)太難了，因為要考慮重疊面積之類的，特別復(fù)雜。于是出題者降低難度。

那咱就用積分算一下吧..仿照定積分的思想試試。

我們先隨便畫一個圖。如圖可見，這樣的線段并不一定是垂直的。

因此，我們不能使用定積分那樣直接分割成矩形的方法計算。如果我們給它加一個微小變化量，動出來的將是一個普通四邊形。沒有什么特征的話，我們考慮通過行列式的方法計算它。

如圖。記[ABC]為三角形ABC的有向面積，記逆時針為正。那么

$%5BABCD%5D%3D%5BABC%5D%2B%5BACD%5D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26x_A%20%20%20%20%26y_A%20%20%5C%5C%0A1%20%26x_B%20%20%20%20%26y_B%20%20%5C%5C%0A1%20%26x_C%20%20%20%20%26y_C%20%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%20%2B%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26x_A%20%20%20%20%26y_A%20%20%5C%5C%0A1%20%26x_C%20%20%20%20%26y_C%20%20%5C%5C%0A1%20%26x_D%20%20%20%20%26y_D%20%20%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%20)%0A%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26x_A%20%20%20%20%26y_A%20%20%260%5C%5C%0A1%20%26x_B%20%20%20%20%26y_B%20%20%261%5C%5C%0A1%20%26x_C%20%20%20%20%26y_C%20%20%260%5C%5C%0A1%20%26x_D%20%20%20%20%26y_D%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%20$

P:(f(x),g(x)):::Q:(F(x),G(x))

則起始位置的線段和終止位置的線段對應(yīng)的點分別是

A(f(a),g(a))::B(F(a),G(a))::C(f(b),g(b))::D(F(b),G(b))

同定積分一樣，上限b下限a。所以我們對其與定積分做相同的處理。

把[a,b]分成n份，每一份是 $%5CDelta%20t%3D%5Cfrac%7Bb-a%7D%7Bn%7D$ 。第k份的時候，面積的微小變化

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26f(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A1%20%26f(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A1%20%26F(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A1%20%26F(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C$

對行列式進(jìn)行初等變換，第二行減去第一行，第三行減去第四行，得到

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26f(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A0%20%26f(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-f(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A0%20%26F(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-F(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0A1%20%26F(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C$

$n%E2%86%92%2B%5Cinfty%E6%97%B6%E6%9C%89%5CDelta%20t%E2%86%920$ ,因此

$%5Cfrac%7Bf(a%2B(k%2B1)%5CDelta%20t)-f(a%2Bk%5CDelta%20t)%7D%7B%5CDelta%20t%7D%3Df'(a%2Bk%5CDelta%20t)$

那么，原式等價于

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26f(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20tf'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20t%20g'((a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20tF'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0A1%20%26F(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C$

????回頭看定積分的特殊情況。從上面的式子變成定積分，我們只需要代入 $f(x)%3DF(x)%3Dx%3Bg(x)%3D0%3BG(x)$

式子變成

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26a%2Bk%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%260%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%261%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20t%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0A1%20%26a%2Bk%5CDelta%20t%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%0A%3D%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A1%20%26a%2Bk%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%260%5C%5C%0A0%20%26%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%261%5C%5C%0A0%20%260%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-2%5C%5C%0A0%20%260%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5CDelta%20t%20%20%20%20%260%20%20%261%5C%5C%0A0%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-2%5C%5C%0A0%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%0A%3D%5CDelta%20tG(a%2Bk%CE%94t)%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5CDelta%20t)%5E2G'(a%2Bk%5CDelta%20t)$

定積分將圖形分割成矩形時，舍掉 $(%5CDelta%20t)%5E2$ 項。因此得到

$%CE%94S_k%3D%5CDelta%20tG(a%2Bk%CE%94t)$

從定積分的例子中吸取經(jīng)驗，我們舍掉式子中含 $(%5CDelta%20t)%5E2$ 的部分

我們對 $%5CDelta%20S_k$ 進(jìn)行代數(shù)余子式展開。

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A(%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0A%5CDelta%20tf'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20t%20g'((a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5CDelta%20tF'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0AF(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26G(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%0A-%0A%5Cleft%20%7C%20%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0Af(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26g(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%260%5C%5C%0A%5CDelta%20tf'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20t%20g'((a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%261%5C%5C%0A%5CDelta%20tF'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%20%20%26%5CDelta%20tG'(a%2Bk%5CDelta%20t)%20%20%26-1%5C%5C%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%20%5Cright%20%7C%0A)$

直接計算并舍掉含 $(%5CDelta%20t)%5E2$ 的部分，得到

$%5CDelta%20S_k%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A(%5CDelta%20t(f'G-g'F%2BF'G-FG')-%5CDelta%20t(-fg'-fG'%2BgF'%2Bgf'))$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5CDelta%20t(f'G%2BfG'-g'F-gF'%2BF'G-FG'%2Bfg'-f'g)$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5CDelta%20t((fG)'-(Fg)'%2BF'G-FG'%2Bfg'-f'g)$

令 $n%E2%86%92%2B%5Cinfty$ ,則有

$dS%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A((fG)'-(Fg)'%2BF'G-FG'%2Bfg'-f'g)dt$

對兩邊積分，得

$S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A(%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(fG)'dt%0A-%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(Fg)'dt%0A%2B%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(F'G-FG')dt%0A-%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(f'g-fg')dt%0A)$

于是我們得到了最終結(jié)果

$S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5B%20(fG)%20%5Cmid%5Eb_a%0A-%20(Fg)%20%5Cmid%20_a%5Eb%0A%2B%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(F'G-FG')dt%0A-%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(f'g-fg')dt%0A%5D$

取特殊值驗證

我們嘗試代入一些特殊數(shù)據(jù)

同心圓: $P%3A(rcost%2Crsint)%3BQ%3A(Rcost%2CRsint)$

即 $f(t)%3Drcost%3Bg(t)%3Drsint%3A%3AF(t)%3DRcost%3BG(t)%3DRsint$

代入上式 $S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5B%20(rRcostsint)%20%5Cmid%5Eb_a%0A-%20(rRcostsint)%20%5Cmid%20_a%5Eb%0A%2B%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20(-R%5E2sin%5E2t-R%5E2cos%5E2t)dt%0A-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20(-r%5E2sin%5E2t-r%5E2cos%5E2t)dt%0A%5D$

$%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A(%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20-R%5E2dt%0A-%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B2%5Cpi%7D%20-r%5E2dt%0A)%3D%5Cfrac%7B-1%7D%7B2%7D(2%5Cpi%20R%5E2-2%5Cpi%20r%5E2)%3D-%5Cpi(R%5E2-r%5E2)$

負(fù)號和我們想象中的不一樣。實際上因為這里t按逆角增加，圖形的方向從a到b的P1-P2-Q2-Q1實際上是順時針的，所以是負(fù)數(shù)。

代入 $P%3A(t%2C0)%3BQ%3A(t%2Cf(t))$ ，顯然它表示一個定積分的幾何意義。

$S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%0A%5B%20f(x)%20%5Cmid%5Eb_a%0A%2B%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(f(x)-xf'(x))dx%0A%5D%0A%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5B%20f(x)%20%5Cmid%5Eb_a%0A%2B%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%20(f(x)dx%0A-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dxdf(x)%0A%5D$