在Ep40把湯老師的名字打錯(cuò)了，尷尬?！@個(gè)系列常常收藏?cái)?shù)超過(guò)點(diǎn)贊數(shù)，略微喜感??！

今天按計(jì)劃來(lái)聊聊收斂數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)，接著再簡(jiǎn)要敘述一下“不定式”的概念，明天就又是愉快的習(xí)題時(shí)刻了。

這幾期的內(nèi)容都比較基礎(chǔ)簡(jiǎn)單，不過(guò)在《高等數(shù)學(xué)》中很重要，以及在后續(xù)理論的介紹中也會(huì)發(fā)揮重要作用，所以還是有必要好好消化的。

很快我們就要遭遇，“實(shí)數(shù)理論”之后的第一發(fā)小難點(diǎn)了，就在下回習(xí)題之后，所以兄dei們，咱們打起精神來(lái)！

再?gòu)?fù)述一下收斂數(shù)列性質(zhì)的分類（湯家鳳老師的說(shuō)法）——

1. 基本性質(zhì)——就是我們直接從數(shù)列極限定義可以推理出來(lái)的性質(zhì)；

2. 運(yùn)算性質(zhì)——我們意識(shí)到數(shù)列的本質(zhì)是一種特殊的運(yùn)算，既然每一個(gè)收斂數(shù)列對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的數(shù)字，那么我們自然會(huì)想到數(shù)列能不能進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減乘除等運(yùn)算；

   有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，仿佛收斂數(shù)列也可以定義實(shí)數(shù)？——沒(méi)錯(cuò)，這就是柯西定義實(shí)數(shù)的思路，將極限相同的數(shù)列視為一類，然后每一類數(shù)列就與實(shí)數(shù)實(shí)現(xiàn)了一一對(duì)應(yīng)；

   所以，收斂數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)，也可以看作是對(duì)實(shí)數(shù)這個(gè)定義合理性的驗(yàn)證；

3. 存在性質(zhì)——又叫做數(shù)列收斂的判別法，就是判斷數(shù)列收斂的依據(jù)。——這部分內(nèi)容很重要，除了昨天我們介紹過(guò)的“夾逼準(zhǔn)則”，剩下的幾個(gè)定理就是“實(shí)數(shù)完備性的六條基本定理”，我們不僅要學(xué)證明，還要掌握這幾個(gè)定理的各種互推，所以會(huì)放在后面重點(diǎn)討論。

我們今天來(lái)聊第二類——收斂數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)——

30變量的算術(shù)運(yùn)算

極限的加減乘除即是——由兩個(gè)已知數(shù)列得到第三個(gè)數(shù)列：以加法為例，{an}+{bn}={cn}，其中各項(xiàng)均滿足an+bn=cn。

先說(shuō)明了獲得收斂數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)的好處之一——

推出了收斂數(shù)列的算術(shù)性質(zhì)，求極限的問(wèn)題，過(guò)程因而大為簡(jiǎn)化。

1.收斂數(shù)列的和/差的極限——

——收斂數(shù)列的和的極限=極限的和；收斂數(shù)列的差的極限=極限的差——

我們也只討論兩項(xiàng)相加的情況，減法同理，更為復(fù)雜的情形，模仿Ep40中第一個(gè)引理——“任意有限項(xiàng)無(wú)窮小的和仍然為無(wú)窮小”的證法——

首先我們復(fù)習(xí)Ep34收斂數(shù)列的第二定義，即無(wú)窮小定義——一個(gè)收斂數(shù)列可以表示成一個(gè)常數(shù)和一個(gè)無(wú)窮小的和——

1. 對(duì)任意收斂數(shù)列{an}、{bn}，則存在無(wú)窮小{cn}、{dn}使得an=a+cn，bn=b+dn——其中a、b為{an}、{bn}的極限；

2. an+bn=（a+cn）+（b+dn）=（a+b）+（cn+dn）；

3. 由上面黃字，我們知道cn+dn是一個(gè)無(wú)窮小，而a+b為一個(gè)常數(shù)；

4. 于是數(shù)列{an+bn}為收斂數(shù)列，極限為a+b，證畢。

2.收斂數(shù)列的積的極限——

——收斂數(shù)列的積的極限=極限的積——

這里我們先復(fù)習(xí)Ep37中收斂數(shù)列的基本性質(zhì)之一——“有界性：收斂數(shù)列必有界”；

然后還要用到Ep40中我們介紹的第二個(gè)引理——“有界數(shù)列和無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小”——

1. 對(duì)任意收斂數(shù)列{an}、{bn}，則存在無(wú)窮小{cn}、{dn}使得an=a+cn，bn=b+dn——其中a、b為{an}、{bn}的極限；

2. an*bn=（a+cn）*（b+dn）=ab+a*dn+b*cn+cn*dn；

3. 由上面黃字我們知道上式右邊后三項(xiàng)均為無(wú)窮小，它們的和依然是無(wú)窮小；

4. 于是數(shù)列{an*bn}為收斂數(shù)列，極限為ab，證畢。

3.收斂數(shù)列的商的極限——

——收斂數(shù)列的商的極限=極限的商——其中{bn}的極限b不為0——

依然用到，Ep37中收斂數(shù)列的基本性質(zhì)——“局部保號(hào)性：如果數(shù)列極限大于（小于）0，那么存在自然數(shù)N，使得n>N之后，數(shù)列各項(xiàng)都大于（小于）0”；“有界性：收斂數(shù)列必有界”；

然后還要用到Ep40中我們介紹的第二個(gè)引理——“有界數(shù)列和無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小”——

1. 對(duì)任意收斂數(shù)列{an}、{bn}，則存在無(wú)窮小{cn}、{dn}使得an=a+cn，bn=b+dn——其中a、b為{an}、{bn}的極限；
   

2. 由{bn}的極限b不為0，則存在自然數(shù)N，使得n>N之后，{bn}各項(xiàng)都不為0，即|bn|>0；

3. 由實(shí)數(shù)稠密性，存在正實(shí)數(shù)r，使得|bn|>r>0，則1/|bn|<1/r；

4. an/bn=a/b+（an/bn-a/b）；

5. an/bn-a/b=（a+cn）/（b+dn）-a/b=（ab+b*cn-ab-a*dn）/[b（b+dn）]=[1/（b*bn）]（b*cn-a*dn）；

6. 由黃字部分可知b*cn-a*dn為無(wú)窮小；

7. 由3可知|1/（b*bn）|=1/（|b||bn|）<1/（|b|r），即1/（b*bn）為有界量；

8. 由6、7，得知5中右式為無(wú)窮小；

9. 于是由4、5可知，數(shù)列{an/bn}為收斂數(shù)列，極限為a/b，證畢。

于是以后求復(fù)雜些的數(shù)列極限就簡(jiǎn)易多了！

至此我們討論了收斂數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)，下面我們?cè)偕晕⒔榻B一下一些特殊的不收斂數(shù)列之間的運(yùn)算（無(wú)窮大），或者，收斂數(shù)列之間的特殊運(yùn)算（如分母數(shù)列極限為0），了解一下“不定式”的概念——

31不定式

常見(jiàn)的不定式有四種——

1.0/0型——

即分子分母的數(shù)列極限都為0，大多數(shù)這種類型的題目都用泰勒公式；

2.∞/∞型——

即分子分母的數(shù)列極限都為無(wú)窮大，只要牢記無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小：1/∞，就可以將這種類型轉(zhuǎn)化為0/0型，也用泰勒公式；

3.0*∞型——

方法同上，0*∞=0/0；

4.∞-∞——

這個(gè)一般還是用泰勒公式比較兩個(gè)數(shù)列的變化速度快慢即可。

明天就是第二次習(xí)題了！不見(jiàn)不散！