? 第一節(jié) 微分中值定理

1. 羅爾定理

a. 費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義，并且在x0處可導(dǎo)，如果對(duì)任意x屬于U(x0)，有

? ? f(x0)>=f(x)(或f(x0)<=f(x))

那么f'(x0)=0.

b. 羅爾定理：若函數(shù)滿足

1) 在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)

2) 在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)

3) 在區(qū)間端定處的函數(shù)值相等。

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)t（a<t<b)使f'(t)=0

2. 拉格朗日中值定理

若函數(shù)f(x)滿足

1) 在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)

2) 在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)t使

? ? ?f(b)-f(a)=f'(t)(b-a)

成立

3. 柯西中值定理

如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足

1) 在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)

2) 在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)

3) 對(duì)任一x屬于(a,b)，F(xiàn)'(x)不為0

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)t使等式

［f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(t)/F'(t)

成立

? 第二節(jié) 洛必達(dá)法則

注意，需f'(x)及F'(x),lim(f'(x)/F'(x))都存在該法則才成立,且需在0/0或無窮比無窮的未定式才能用.

? 第三節(jié) 泰勒公式

1. 泰勒中值定理1

如果函數(shù)f(x)在x0處具有n階導(dǎo)數(shù),那么存在x0的一個(gè)鄰域,對(duì)該鄰域內(nèi)的任一x有

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2 +???+[(f(x0))^(n)/n!](x-x0)^n+Rn

其中 Rn(x)=0((x-x0)^n（佩亞諾）

2. 泰勒中值定理2

如果函數(shù)f(x)在x0的某個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)具有(n+1)階導(dǎo)數(shù),那么對(duì)任一x屬于U(x0),有

f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2 +???+[(f(x0))^(n)/n!](x-x0)^n+Rn

其中（）

R(n)={[f(t)^(n+1)]/(n+1)}(x-x0)^n+1

t在x和x0間

注：R(n)可視作誤差

? 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性

1. 函數(shù)單調(diào)性判定：導(dǎo)數(shù)符號(hào)

2. 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

a. 凹凸性判定

i. f[(x1+x2)/2]與(f(x1)+f(x2))/2比較前大為凸后大為凹

ii. 二階導(dǎo)符號(hào)為正則凹，負(fù)則凸

b. 拐點(diǎn)：曲線凹凸性改變的點(diǎn)

令二階導(dǎo)為0求解及不存在的點(diǎn)兩邊符號(hào)改變,此即為拐點(diǎn)

? 第五節(jié) 函數(shù)的極值與最大值最小值

1. 極值

a. 定義：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,如果對(duì)于去心鄰域內(nèi)任一x,有

f(x)<f(x0)或f(x)>f(x0)

那么就稱f(x0)為函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值或極小值.

b. 定理1（必要）設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo),且在x0處取得極值,則f'(x0)=0

c. 定理2（充分1）設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)且在x0的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。

i. 左邊導(dǎo)數(shù)大于零右邊導(dǎo)數(shù)小于零則取極大值

ii. 反之

iii. 不變無極值

d. 定理3（充分2）有二階導(dǎo)且f'(x0)=0,f''(x0)不為0,則

i. 小于零極大

ii. 大于零極小

2. 最值問題

注意導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，就比左右導(dǎo)的符號(hào)。

? 光線在介質(zhì)中總是沿著耗時(shí)最少的路徑傳播

? 由力學(xué)分析知矩形梁的抗彎截面模量為W=(1/6)bh^2

? 第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪(重要）

1. 第一步 確定y=f(x)的定義域及函數(shù)所具有的某些特性，并求出一階導(dǎo)和二階導(dǎo)

2. 第二步 求一階導(dǎo)及二階導(dǎo)的零點(diǎn)，原函數(shù)的間斷點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)中不存在的點(diǎn)，并利用這些點(diǎn)將定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間

3. 第三步 確定函數(shù)的升降，凹凸和拐點(diǎn)

4. 第四步 確定趨勢(shì)及漸進(jìn)線

5. 第五步 細(xì)節(jié)補(bǔ)充

? 第七節(jié) 曲率

1. 弧微分

a. 弧M0M(有向弧段)的值為s,其中s為x的單調(diào)增函數(shù)

b. 弧微分公式：

ds=[√(1+(y')^2)]dx

2. 曲率

a. K=|da/ds|

*da為角度變化量

b. K=|y''|/[(1+y')^(3/2)]

3. 曲率圓與曲率半徑

a. p=1/K

b. 曲率圓：以p為半徑M為切點(diǎn)的圓

4. 曲率中心 漸屈線與漸伸線

○ a=x-[y'(1+y'^2)/y'']

○ b=y+[(1+y'^2)/y"]

*漸伸線與漸屈線是一種相互關(guān)系

? 第八節(jié) 方程的近似解

1. 二分法

2. 切線法

a. 以直代曲

b. 在縱坐標(biāo)與y"同號(hào)的那個(gè)端點(diǎn)處做切線

c. x1=x0-f(x0)/f'(x0)

3. 割線法

*以割線代切線