本篇

狄拉克符號(hào)

狄拉克符號(hào)(Dirac notation)里分為左矢(bar)和右矢(ket)兩種符號(hào),? 對(duì)應(yīng)線性代數(shù)里面的行向量和列向量,? 需要注意的是狄拉克符號(hào)里沒(méi)有矩陣的概念,? 而是使用右矢與左矢作乘法[矩陣乘法]表示矩陣.

量子狀態(tài)使用右矢描述|ψ?,? 此時(shí)對(duì)應(yīng)的是列向量,? 即:

當(dāng)右矢|ψ?取厄米共軛[同時(shí)把矩陣/向量取轉(zhuǎn)置和共軛]時(shí),? 寫(xiě)作左矢?ψ|,? 即:

從向量定義不難看出,? 兩狀態(tài)|ψ?和|φ?的內(nèi)積可以寫(xiě)為:???ψ|φ? [內(nèi)積其實(shí)也是從矩陣乘法里導(dǎo)出的].? 并且從矩陣乘法的定義也不能看出,? 兩狀態(tài)的外積??|ψ??φ|? 可以得成矩陣:

張量積

張量(tensor)是對(duì)一種以表格儲(chǔ)存數(shù)字的對(duì)象的稱呼,? 向量是一維張量,? 矩陣是二維張量,? 類似地還有三維, 四維等張量,? 但已經(jīng)超過(guò)討論范圍了.? 特別地,? 數(shù)字可以看作零維張量.

與數(shù)乘,? 內(nèi)積外積和矩陣乘法不同,? 張量積(tensor prodot)是一種作用在張量維度上的操作,? 兩矩陣的張量積計(jì)算:

因?yàn)橄蛄靠梢钥醋魇蔷仃嚨奶厥庑问?? 所以向量的張量積與矩陣張量積有類似的定義,? 以兩量子位做例子:

需要注意的是,? 兩右矢的張量積的正確寫(xiě)法只有下面兩種

因?yàn)槠胀ǖ木仃嚦朔](méi)有定義兩個(gè)列向量的之間的運(yùn)算,? 為了偷懶,? 把張量積的?忽略不寫(xiě)也可以看作張量積了.? 另外,? 在量子計(jì)算里常用逗號(hào)隔開(kāi)數(shù)據(jù)位和結(jié)果位,? 比如?|x, y?,? 這種寫(xiě)法與|xy?相等,? 但可以直觀地分清量子位之間的作用.

與乘法類似,? 當(dāng)有n個(gè)相同的右矢作張量積時(shí),? 可以寫(xiě)作類似次方的樣子:?

類似地,? 為了偷懶也可以把右上角的?忽略不寫(xiě)

量子位門(mén)

對(duì)于單量子位門(mén)U,? 實(shí)際上可以寫(xiě)為:

對(duì)于多量子位門(mén),? 假設(shè)位門(mén)作用在n個(gè)量子位上,? 則可以寫(xiě)作4個(gè)作用在n-1個(gè)量子位上位門(mén)與4個(gè)單量子位門(mén)的張量積,? 比如雙量子位門(mén):?

這種形式可以方便地寫(xiě)為狄拉克符號(hào)的形式

需要注意的是在狄拉克符號(hào)里,? 同時(shí)出現(xiàn)乘法[矩陣乘法]和張量積時(shí),? 可以滿足一定量的"交換律",? 這里以CNOT門(mén)為例:

雖然也不是交換律,? 但是看上去就像是張量積兩邊的左矢右矢交換了一樣

與表示量子位的右矢類似,? 如果把多個(gè)相同的位門(mén)作用在多個(gè)量子位上,? 也有類似次方的寫(xiě)法

但需要注意的是,? 因?yàn)槲婚T(mén)[也就是矩陣]之間存在已定義的乘法,? 所以位門(mén)之間和右上角的?不可忽略.? 但最后一種寫(xiě)法 (U|ψ?)^(?n),? 因?yàn)槭窍冗\(yùn)算括號(hào)內(nèi)的東西,? 括號(hào)內(nèi)的實(shí)際上是一個(gè)量子位狀態(tài),? 也就是右矢,? 所以這時(shí)候右上角的?是可以忽略的.

由于量子的歸一化條件限制,? 即輸入和輸出的量子位的概率和必定為1,? 表示位門(mén)的矩陣必定為酉矩陣(Unitary Matrix) [也就是復(fù)數(shù)上的標(biāo)準(zhǔn)正交基組成的矩陣],? 假設(shè)U為表示位門(mén)的矩陣,? U^-1為U的逆,? 那么 U U^-1 = U^-1 U = I

位門(mén)的逆

位門(mén)的逆實(shí)際上就是相應(yīng)矩陣的逆組成的位門(mén),? 如何求解就不是量子計(jì)算的內(nèi)容了

幸運(yùn)的是,? 任意量子位門(mén)可以從單量子位門(mén)和控制位門(mén)組合得到,? 而組合后位門(mén)的逆可以從組合前位門(mén)的逆組合得到:? (CBA)^-1 = A^-1 B^-1 C^-1

在單量子位門(mén)里,? I, H, X, Y, Z的逆都是自身,? S的逆為 SZ 或 ZS,? T的逆為T(mén)SZ或這三個(gè)門(mén)的任意順序組合,? 旋轉(zhuǎn)門(mén)的逆就是逆著旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)門(mén),? 也就是Rx(θ)的逆是Rx(-θ),? 其他3個(gè)類似.

控制位門(mén)的逆與里面的位門(mén)有關(guān),? 比如說(shuō)CNOT里的位門(mén)是X門(mén),? 而X門(mén)的逆是它自身,? 所以CNOT的逆也是CNOT自身.? 如果有一個(gè)控制位門(mén),? 里面的位門(mén)為S門(mén),? 那么這個(gè)控制位門(mén)的逆為控制S門(mén)和控制Z門(mén)的組合,? 當(dāng)然前提是控制位和被控制位是相同的.

可逆邏輯門(mén)

邏輯門(mén)是電子計(jì)算機(jī)里的概念.? 普通邏輯門(mén),?如AND, XOR, OR,? 輸入的數(shù)據(jù)量比輸出的數(shù)據(jù)量要大 [輸入2bits, 輸出1bit],? 那么根據(jù)熵定理 [理論上熵是不一定增加, 還可以保持不變的],? 這些邏輯門(mén)必定會(huì)發(fā)熱.? 如果存在邏輯門(mén),? 它的輸入和輸出的位數(shù)保持一致,? 那么理論上這種邏輯門(mén)是可以做到不發(fā)熱的.? 并且因?yàn)殪夭蛔?? 所以是存在從輸出逆推為輸入的操作,? 所以這種邏輯門(mén)又叫可逆邏輯門(mén)

在普通邏輯門(mén)里,? 只有兩個(gè)是可逆的,? NOT門(mén)和YES門(mén) [所謂的YES門(mén)就是啥也不做].? 第一個(gè)被拓展到可逆邏輯門(mén)的是XOR門(mén),? 可逆XOR門(mén)接收2bits, 輸出2bits,? 輸出第1bit與輸入第1bit一致,? XOR后的結(jié)果為輸出第2bit:

不難發(fā)現(xiàn),? 把output扔進(jìn)可逆XOR門(mén)后可以得出input,? 另外,? 可逆XOR門(mén)又叫CNOT門(mén)

現(xiàn)在擁有的可用可逆邏輯門(mén)有 NOT和XOR兩個(gè),? 明顯是不可以還原一般計(jì)算機(jī)的所有操作的,? 于是提出了第3個(gè)可逆邏輯門(mén):? 可逆AND門(mén)

可逆AND門(mén)接收3bits, 輸出3bits,? 輸出的第1第2bits與輸入的第1第2bits一致,? 當(dāng)?shù)?第2bits符合一般邏輯門(mén)AND的輸出為1時(shí),? 則翻轉(zhuǎn)第3bits的狀態(tài):

擁有NOT, XOR, AND之后就可以如同一般邏輯門(mén)一樣計(jì)算了.? 可逆AND門(mén)也叫CCNOT門(mén),? 是Toffoli提出的.

可以看到,? 可逆的NOT, XOR, AND門(mén)與量子位門(mén)里的X, CNOT和CCNOT對(duì)應(yīng),? 也就是說(shuō)量子計(jì)算機(jī)可以與電子計(jì)算機(jī)做到相同的運(yùn)算.? 在電子計(jì)算機(jī)里,? 位bit的狀態(tài)只有0和1,? 而量子位qubit可以同時(shí)處于|0?和|1?之間,? 這種特性可以使得量子計(jì)算機(jī)同時(shí)計(jì)算所有可能的結(jié)果.? 量子位的相位帶來(lái)了干涉,? 干涉可以使得需要的結(jié)果增長(zhǎng),? 而不需要的結(jié)果消減,? 量子之間的糾纏更是增強(qiáng)了這種效果