簡單的問題

正式問題來之前，先來一個簡單的問題。

假設一個技能的傷害為a*(1+0.2b)*(2+0.5c).現(xiàn)在假設手里有30個技能點。那么我該如何分配技能點，才能讓技能傷害最大化。

這個問題首先可以明確是一個收益線性規(guī)劃問題。

第一種方式：拉格朗日乘數(shù)法。設參數(shù)為線性約束a+b+c=30。求解即可。不過使用這個方法有點舍近求遠。具體工作場景當中是可以用excel或者python等工具的，所以可以有更好的解決辦法。

第二種方式：均值不等式。比較顯然的解決辦法，三個因子相乘，且三個數(shù)都是正，經(jīng)過一定的運算變換，是可以整理成均值不等式方法的，把系數(shù)歸一化就可以。原式=a*(5+b)*(4+c)/10,然后只需要求a*(5+b)*(4+c)的最大值，且求解最大值點，就可以得到結(jié)果了，后面就不詳述了。

第三種方式：邊際遞減法。這里詳細介紹一下第三種方式。計算點三種類參數(shù)的每加點邊際收益，只要能夠使得，三種加點的邊際收益一致，那接下來就只需要再輪番加點每個屬性，就可以得到最優(yōu)解。

根據(jù)計算，當a,b,c,分別加點到11，6，7的時候，邊際收益相同。所以我們的加點策略只需要滿足。先把a,b,c加點到11，6，7.剩下再輪流加點就可以了。即，我們的30點數(shù)，分配為13=11+2，8=6+2，9=7+2

第四種方式：excel自帶的規(guī)劃求解或者程序的暴力搜索。

excel自帶的規(guī)劃求解功能可以直接解決該問題：

輸入?yún)?shù)后，得到結(jié)果也與第三種方法的計算一致。

簡單的問題看完了，再來看一個復雜的問題。

復雜的問題

下圖,是我崩鐵中，希兒不穿任何遺物的練度情況和終結(jié)技技能倍率。

注：圖中希兒1210為白板攻擊力，無任何百分比攻擊詞條。

問題：假設一個攻擊力詞條為4.3%攻擊力加成，一個暴擊率詞條為3.2%，一個暴擊傷害詞條為6.4%。然后假設我的圣遺物一共可以獲得20/50/70個進攻詞條（包含攻雙暴）。如何分配詞條，能夠讓我的希兒大招打出最高輸出。

求解前提

在解決問題之前。要先確定一些“正確的廢話”

1.技能倍率和初始攻擊力和該問題的解答無關(guān)。因為輸出公式可以寫為：技能倍率*攻擊力基數(shù)*（1+攻擊力%）*（1+暴擊率*暴擊傷害）。很明顯，技能倍率和攻擊力基數(shù)是可以不考慮的，可以把這兩個因子拿出去。并且在考慮該問題的時候，并不需要關(guān)注額外攻擊力是固定詞條還是百分比詞條，只要關(guān)注”額外的/基本的“比值，換算出來的攻擊力百分比對應的詞條數(shù)量即可。

2.暴擊率*暴擊傷害一定是1：2最優(yōu)，原因是，游戲中的暴擊率和暴擊傷害均是成雙倍投放的。因此：設暴擊率單詞條為單位1，暴擊傷害即為2.假設暴擊率和暴擊傷害共有z個詞條。z=x+y，x為暴擊率詞條數(shù)量，y為暴擊傷害詞條數(shù)量。那么暴擊率*暴擊傷害=2xy。能取到最大值，當且僅當x=y。即暴擊率和暴擊傷害等價詞條數(shù)量一致。即數(shù)值為1：2.

3.詞條數(shù)量更多的“最優(yōu)解”要大于詞條數(shù)量更少的“最優(yōu)解”。

另外：

這個問題用拉格朗日乘數(shù)法并沒有求出合適的解（已經(jīng)嘗試過了）

直接套用上文的方法三，也不可以。（一會兒會說到為什么不可以）

求解過程

第一步：設定暴擊乘區(qū)收益價值，方便計算。根據(jù)前提2.我們可以提前知道，暴擊和暴傷應該是同步提升的。所以設定一詞條”暴擊收益“為0.5詞條暴擊和0.5詞條暴傷。

第二步：依舊采用詞條的邊際收益概念，求解一下攻擊力和"暴擊收益”，每一個詞條的邊際收益。

（邊際收益=提升后/提升前-1，攻擊力邊際收益=（1+（n+1）*0.043）/（1+n*0.043），

暴擊收益邊際收益=（1+（n+1）*（0.5*0.032）*（n+1)*(0.5*0.064))/（1+n*(0.5*0.032）*n*(0.5*0.064))

得到如下規(guī)律

利用攻擊力和暴擊收益繪圖

橙色線條為攻擊力邊際收益，藍色線條為暴擊收益的邊際收益。（這也解釋了，為什么直接使用方法三是不奏效的，因為這兩個屬性，并不如同前面問題一樣，兩個屬性的邊際效益都保持全局邊際遞減，而是一個分段函數(shù)）

根據(jù)讀表，交點大概是在橫坐標27-28處。我們可以大致按照28處理，28詞條的暴擊收益也就是對應暴擊率和暴擊傷害為（44.8%，89.6%）在這點之前，我們可以粗暴地看作攻擊力收益高于雙暴，這點之后，雙暴收益高于攻擊力。該點正是兩種狀態(tài)的切換點。

暫時將這部分結(jié)果保留，后面還會用到。

第三步：求解動態(tài)最優(yōu)解點。詞條總數(shù)不同的時候，最優(yōu)解點也不同，但無論詞條總數(shù)有多少，最優(yōu)解點（穩(wěn)態(tài)點）即使變化，也應該是具備一個性質(zhì)即：下一次詞條無論點在哪里，收益相同。所以根據(jù)這個結(jié)果，列方程。以暴擊率為錨點。設暴擊率為y，攻擊力為x

可以得到：x=(43+86y2-64y)/64y。根據(jù)該方程。帶入每詞條暴擊率提升，得到如下表格數(shù)據(jù)。

對表格數(shù)據(jù)進行繪圖：可以得到：

最優(yōu)解的暴擊收益拐點位于暴擊率，攻擊力（70.4%，90.04%）。

關(guān)于這個拐點，還可以從之前的暴擊收益的邊際效益圖里觀察到。?

暴擊收益值45.利用44計算即可。也就是暴擊率=22*3.2%=70.4%，暴擊傷害=140.8%。

即為上面得到的拐點，在該拐點前暴擊屬性稀釋逐漸減小，之后又慢慢增大，滿暴擊率以后再變成線性變化收益遞減（滿暴部分圖里未體現(xiàn)。）

第四步：重點局部點

上面那個圖中，有四個很重要的點。

第一個，狀態(tài)8：狀態(tài)8的暴擊收益等價于我的希兒目前初始狀態(tài)的暴擊收益。我的希兒的暴擊收益可以通過，計算SQRT（暴擊*爆傷/2）計算。最終可以得到，只看暴擊收益我的希兒目前位于狀態(tài)8

第二個，狀態(tài)14：即為攻擊力和暴擊收益的邊際收益切換點。理論上，最優(yōu)解只要不完全恰好等于該點，就會跳躍該點，所以該點也是一個理想點。不會發(fā)生的點。

第三個：狀態(tài)15：即為攻擊力和暴擊收益交替后的點，當詞條數(shù)量能夠滿足狀態(tài)15的暴擊收益最優(yōu)解點的時候，就會立刻跳過14狀態(tài)，如果詞條數(shù)量不能滿足，則不會跳過14狀態(tài)（表現(xiàn)為一直堆攻擊力的收益總要大于雙暴）

第四個：狀態(tài)22：即為暴擊收益的拐點，該點是游戲里角色的長期理想點的起點。游戲內(nèi)的詞條配置策略，完全可以先追求到該點，然后同步提升暴擊和爆傷，然后暴擊滿了以后，只追求爆傷，爆傷過高的時候（幾乎不可能），再反過去追求攻擊。

第五個：狀態(tài)31：暴擊達到100%，暴擊收益逐步降低，后續(xù)暴擊收益曲線越發(fā)和攻擊授收益曲線逐漸貼合，直至相交。

第五步：結(jié)論

最優(yōu)解的變化會根據(jù)，詞條約束數(shù)量，在上面的最優(yōu)解表格當中向其中一個結(jié)果靠近，其中最特殊的為狀態(tài)15和22。作為兩個變化點，詞條約束是否能夠達到15和22所要求的水平，哪怕只差一個，獲得最優(yōu)解的策略都是不同的。

第六步：帶入情況，得到結(jié)果。

把問題回到現(xiàn)實問題當中來。上面說的結(jié)論可能還是讓人有些云里霧里，那么帶入一下實際數(shù)據(jù)，再詳細結(jié)算一下會清晰的多。上面已經(jīng)說過。我的希兒目前位于狀態(tài)8的水平。而看到屬性里面，攻擊力還遠遠沒有達到要求 。

那么問題描述的三種情況：

情況1：20個詞條：首先分析一下20個詞條能帶來的收益，如果全點攻擊力，可以讓攻擊力達到20*4.3%=86%。此時，即使把詞條全部分配給攻擊力，也無法達到狀態(tài)15的攻擊力要求。也就意味著，攻擊和暴擊收益的邊際效應，目前還是攻擊力作為主要。（即僅僅20個詞條，無法跳躍到攻擊力收益和暴擊收益切換的點。所以只堆攻擊即可）

所以當20個詞條的時候，20個詞條全點攻擊就可以了。

情況2：50個詞條：分析一下50個人詞條帶來的收益，如果全點攻擊力，可以獲得50*4.3%=215%。目前看來是遠遠超出了狀態(tài)15要求的104.47%。那么現(xiàn)在只把攻擊力給到104.47%，即24個攻擊詞條。剩余詞條數(shù)量為26個。然后基于原本就具有的屬性23%暴擊率和55.3%的暴擊傷害，即暴擊率原本具有23%/3.2%≈7個詞條。暴擊傷害約等于8-9個詞條。看作8個。我們把26個詞條分配14個給暴擊率12個給暴擊傷害。得到：暴擊率=67.8%。

其實算到這里，情況2，就可以暫時停手了。因為我們把24個詞條分配給攻擊，這一步，這個嘗試是錯誤的。暴擊率能夠被分配至67.8%即，50個詞條已經(jīng)具備可以讓狀態(tài)達到狀態(tài)22的可能性了。少分配一些攻擊力，轉(zhuǎn)而給暴擊率。就可以達到狀態(tài)22.接下來重新計算。

攻擊力=90.4%/4.3%≈21個詞條，此時暴擊收益還有29個待分配。此時分配給暴擊率15個，暴擊傷害14個。

可以得到暴擊率=23%+3.2%*15=71%，暴擊傷害=55.3%+6.4%*14=144.9%

最后的詞條分配為：（21，15，14）屬性值為（90.4%，71%，144.9%）

情況3：其實基于情況2的前提，繼續(xù)思考即可。依舊從最優(yōu)解集合入手，此時的詞條有70條。

由于已經(jīng)通過了拐點，暴擊收益和攻擊的邊際收益都在下降，此時有點類似“上一個簡單問題里的解法3”了，因為此時滿足了所有屬性都是同走向的變化。所以原則上來說，經(jīng)過拐點狀態(tài)22以后，依舊邊際收益遞減速度分配即可。當邊際收益遞減速度一致，輪番分配即可。

說回正題，對于情況3，可以向最優(yōu)解狀態(tài)31去靠近，這里就不詳述了，過程還是和上面大差不大，最終擬合的最優(yōu)結(jié)果為攻擊力分配24條，暴擊率分配24條，暴擊傷害分配22條。

求解驗證

下面寫了一段程序，用來暴力搜索最優(yōu)結(jié)果（excel的規(guī)劃求解也可以，但偶爾精度選的不準會出錯，所以就寫了一段程序來保證正確）。來驗證上面得到的每一組結(jié)果。

得到：詞條數(shù)為20:

詞條數(shù)為50:

詞條數(shù)為70:

列表中第一個元素為計算出的最大局部傷害。驗證得到，我們上面的結(jié)果均正確。

備注

這里可以基于這個程序，更直觀看一下上面說的“狀態(tài)跳躍”的情況。

計算一下，我的希兒想要達到狀態(tài)15，所需要的最少詞條為多少：首先攻擊力為約為24個詞條即103.2%最靠近狀態(tài)里的104.47%。暴擊率達到48%，至少需要48%-23%=25%/3.2%=8個詞條，暴擊傷害大約要7個詞條。共計24+8+7=39個詞條。也就是說如果達不到39個詞條，就無法跳躍狀態(tài)14，全堆攻擊收益最高。

驗證：

38詞條：

39詞條：

達成跳躍。

到這里，問題應該算是解決了。