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介紹

在本節(jié)中，我將重點(diǎn)介紹使用集成嵌套 拉普拉斯近似方法的貝葉斯推理。?
可以 估計(jì)貝葉斯 層次模型的后邊緣分布。 鑒于模型類型非常廣泛，我們將重點(diǎn)關(guān)注用于分析晶格數(shù)據(jù)的空間模型。

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數(shù)據(jù)集：紐約州北部的白血病

為了說(shuō)明如何與空間模型擬合，將使用紐約白血病數(shù)據(jù)集。該數(shù)據(jù)集記錄了普查區(qū)紐約州北部的許多白血病病例。數(shù)據(jù)集中的一些變量是：

• ：1978-1982年期間的白血病病例數(shù)。

• ：1980年人口。

• ：擁有房屋的人口比例。

• ：65歲以上的人口比例。

• ：到最近的三氯乙烯（TCE）站點(diǎn)的平均反距離。

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鑒于有興趣研究紐約州北部的白血病風(fēng)險(xiǎn)，因此首先要計(jì)算預(yù)期的病例數(shù)。這是通過(guò)計(jì)算總死亡率（總病例數(shù)除以總?cè)丝跀?shù)）并將其乘以總?cè)丝跀?shù)得出的：

一旦獲得了預(yù)期的病例數(shù)，就可以使用標(biāo)準(zhǔn)化死亡率（smR）來(lái)獲得原始的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)，該標(biāo)準(zhǔn)是將觀察到的病例數(shù)除以預(yù)期的病例數(shù)得出的：

疾病作圖

在流行病學(xué)中，重要的是制作地圖以顯示相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的空間分布。在此示例中，我們將重點(diǎn)放在錫拉庫(kù)扎市以減少生成地圖的計(jì)算時(shí)間。因此，我們用錫拉丘茲市的區(qū)域創(chuàng)建索引：

可以使用函數(shù)（在包中）簡(jiǎn)單地創(chuàng)建疾病圖：

可以輕松創(chuàng)建交互式地圖

請(qǐng)注意，先前的地圖還包括11個(gè)受TCE污染的站點(diǎn)的位置，可以通過(guò)縮小看到它。

混合效應(yīng)模型

泊松回歸

我們將考慮的第一個(gè)模型是沒(méi)有潛在隨機(jī)效應(yīng)的Poisson模型，因?yàn)檫@將提供與其他模型進(jìn)行比較的基準(zhǔn)。
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?模型 ：

請(qǐng)注意，它的功能類似于該功能。在此，參數(shù)?用于預(yù)期的案例數(shù)?；? 設(shè)置了其他參數(shù)來(lái)計(jì)算模型參數(shù)的邊際
（使用）并計(jì)算一些模型選擇標(biāo)準(zhǔn) （使用）。

接下來(lái)，可以獲得模型的摘要：

具有隨機(jī)效應(yīng)的泊松回歸

可以通過(guò) 在線性預(yù)測(cè)變量中包括iid高斯隨機(jī)效應(yīng)，將潛在隨機(jī)效應(yīng)添加到模型中，以解決過(guò)度分散問(wèn)題。

現(xiàn)在，該模式的摘要包括有關(guān)隨機(jī)效果的信息：

添加點(diǎn)估計(jì)以進(jìn)行映射

這兩個(gè)模型估計(jì) 可以被添加到??

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晶格數(shù)據(jù)的空間模型

格子數(shù)據(jù)涉及在不同區(qū)域（例如，鄰里，城市，省，州等）測(cè)量的數(shù)據(jù)。出現(xiàn)空間依賴性是因?yàn)橄噜弲^(qū)域?qū)@示相似的目標(biāo)變量值。

??

鄰接矩陣

可以使用package中的函數(shù)來(lái)計(jì)算鄰接矩陣?。如果其邊界 至少在某一點(diǎn)上接觸 ，則此功能會(huì)將兩個(gè)區(qū)域視為鄰居：

這將返回一個(gè)具有鄰域結(jié)構(gòu)定義的對(duì)象：

另外， 當(dāng)多邊形的重心 已知時(shí)，可以繪制對(duì)象：

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回歸模型

通常情況是，除了\（y_i \）之外，我們還有許多協(xié)變量 \（X_i \）。因此，我們可能想對(duì)\（X_i \）回歸?\（y_i?\）。除了 協(xié)變量，我們可能還需要考慮數(shù)據(jù)的空間結(jié)構(gòu)。
可以使用不同類型的回歸模型來(lái)建模晶格數(shù)據(jù)：

• 廣義線性模型（具有空間隨機(jī)效應(yīng)）。

• 空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型。

線性混合模型

一種常見(jiàn)的方法（對(duì)于高斯數(shù)據(jù)）是使用
具有隨機(jī)效應(yīng)的線性回歸：

\ [
Y = X \ beta + Zu + \ varepsilon
\]

隨機(jī)效應(yīng)的向量\（u \）被建模為多元正態(tài)分布：

\ [
u \ sim N（0，\ sigma ^ 2_u \ Sigma）
\]

\（\ Sigma \）的定義是，它會(huì)引起與相鄰區(qū)域的更高相關(guān)性，\（Z \）是隨機(jī)效果的設(shè)計(jì)矩陣，而
\（\ varepsilon_i \ sim N（0，\ sigma ^ 2），i = 1，\ ldots，n \）是一個(gè)誤差項(xiàng)。

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空間隨機(jī)效應(yīng)的結(jié)構(gòu)

在\（\ Sigma \）中包括空間依賴的方法有很多：

• 同步自回歸（SAR）：

\ [
\ Sigma ^ {-1} = [（I- \ rho W）'（I- \ rho W）]
\]

• 條件自回歸（CAR）：

\ [
\ Sigma ^ {-1} =（I- \ rho W）
\]

• ?（ICAR）：

  \ [
  \ Sigma ^ {-1} = diag（n_i）– W
  \]

  \（n_i \）是區(qū)域\（i \）的鄰居數(shù)。

• \（\ Sigma_ {i，j} \）取決于\（d（i，j）\）的函數(shù)。例如：

\ [
\ Sigma_ {i，j} = \ exp \ {-d（i，j）/ \ phi \}
\]

• 矩陣的“混合”（Leroux等人的模型）：

  \ [
  \ Sigma = [（1 – \ lambda）I_n + \ lambda M] ^ {-1}; \ \ lambda \ in（0,1）
  \]

  ?

ICAR模型

第一個(gè)示例將基于ICAR規(guī)范。請(qǐng)注意， 使用-函數(shù)定義空間潛在效果。這將需要 一個(gè)索引來(lái)識(shí)別每個(gè)區(qū)域中的隨機(jī)效應(yīng)，模型的類型 和鄰接矩陣。為此，將使用稀疏矩陣。

BYM模型

Besag，York和Mollié模型包括兩個(gè)潛在的隨機(jī)效應(yīng)：ICAR 潛在效應(yīng)和高斯iid潛在效應(yīng)。線性預(yù)測(cè)變量\（\ eta_i \）
為：

\ [
\ eta_i = \ alpha + \ beta AVGIDIST_i + u_i + v_i
\]

• \（u_i \）是iid高斯隨機(jī)效應(yīng)

• \（v_i \）是內(nèi)在的CAR隨機(jī)效應(yīng)

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Leroux 模型

該模型是使用矩陣的“混合”（Leroux等人的模型）
定義的，以定義潛在效應(yīng)的精度矩陣：

\ [
\ Sigma ^ {-1} = [（1-\ lambda）I_n + \ lambda M]; \ \ lambda \ in（0,1）
\]

?

為了定義正確的模型，我們應(yīng)采用矩陣\（C \）如下：

\ [
C = I_n – M; \ M = diag（n_i）– W
\]

然后，\（\ lambda_ {max} = 1 \）和

\ [
\ Sigma ^ {-1} =
\ frac {1} {\ tau}（I_n- \ frac {\ rho} {\ lambda_ {max}} C）=
\ frac {1} {\ tau}（I_n- \ rho（I_n – M））= \ frac {1} {\ tau}（（1- \ rho）I_n + \ rho M）
\]

為了擬合模型，第一步是創(chuàng)建矩陣\（M \）：

我們可以檢查最大特征值\（\ lambda_ {max} \）是一個(gè)：

該模型與往常一樣具有功能。注意，\（C \）矩陣使用參數(shù)
傳遞給函數(shù)：

空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

空間計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)是通過(guò) 對(duì)空間建模略有不同的方法開(kāi)發(fā)的。除了使用潛在效應(yīng)，還可以對(duì)空間 依賴性進(jìn)行顯式建模。?

同步自回歸模型（SEM）

該模型包括協(xié)變量和誤差項(xiàng)的自回歸：

\ [
y = X \ beta + u;?u = \ rho Wu + e;?e \ sim N（0，\ sigma ^ 2）
\]

\ [
y = X \ beta + \ varepsilon;?\ varepsilon \ sim N（0，\ sigma ^ 2（I- \ rho W）^ {-1}（I- \ rho W'）^ {-1}）
\]

空間滯后模型（SLM）

該模型包括協(xié)變量和響應(yīng)的自回歸：

\ [
y = \ rho W y + X \ beta + e;?e \ sim N（0，\ sigma ^ 2）
\]

\ [
y =（I- \ rho W）^ {-1} X \ beta + \ varepsilon; \ \ varepsilon \ sim N（0，\ sigma ^ 2（I- \ rho W）^ {-1}（I- \ rho W'）^ {-1}）
\]

潛在影響

?現(xiàn)在包括一個(gè)實(shí)驗(yàn)所謂的新的潛在影響，以 符合以下模型：

\ [
\ mathbf {x} =（I_n- \ rho W）^ {-1}（X \ beta + e）
\]

該模型的元素是：

• \（W \）是行標(biāo)準(zhǔn)化的鄰接矩陣。

• \（\ rho \）是空間自相關(guān)參數(shù)。

• \（X \）是協(xié)變量的矩陣，系數(shù)為\（\ beta \）。

• \（e \）是具有方差\（\ sigma ^ 2 \）的高斯iid誤差。

該潛效果的實(shí)驗(yàn)，它可以 與所述線性預(yù)測(cè)其他效果組合。

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模型定義

為了定義模型，我們需要：

• ：協(xié)變量矩陣

• ：行標(biāo)準(zhǔn)化的鄰接矩陣

• ：系數(shù)\（\ beta \）的精確矩陣

• ?范圍\（\ RHO \）?，通常由本征值定義

潛在作用是通過(guò)參數(shù)傳遞?。在這里，我們創(chuàng)建了一個(gè)具有相同名稱的列表，以將 所有必需的值保存在一起：

此外，還設(shè)置了精度參數(shù)\（\ tau \）和空間 自相關(guān)參數(shù)\（\ rho \）的先驗(yàn)：

先前的定義使用具有不同參數(shù)的命名列表。參數(shù)?定義了使用之前及其參數(shù)。在此，為 精度分配了帶有參數(shù)\（0.01 \）和\（0.01 \）的伽瑪先驗(yàn)值，而 為空間自相關(guān)參數(shù)指定了帶有參數(shù)\（1 \） 和\（1 \）的beta先驗(yàn)值（即a間隔\（（（1，1）\））中的均勻先驗(yàn)。

模型擬合

系數(shù)的估計(jì)顯示為隨機(jī)效應(yīng)的一部分：

空間自相關(guān)以內(nèi)部比例報(bào)告（即 0到1?之間），并且需要重新縮放：

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結(jié)果匯總

?注意空間模型如何產(chǎn)生相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的更平滑的估計(jì)。

為了選擇最佳模型， 可以使用上面計(jì)算的模型選擇標(biāo)準(zhǔn)：

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參考文獻(xiàn)

Bivand, R., E. Pebesma and V. Gómez-Rubio (2013).?Applied spatial data
analysis with R. Springer-Verlag. New York.

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