昨天的文章中我們詳細的介紹了場算符在真空態(tài)（純態(tài)）下的期望值。相應(yīng)的Green函數(shù)適合描述溫度為零時的系統(tǒng)。一個非零溫度的系統(tǒng)不能由純態(tài)描述而是要用混合態(tài)?；旌蠎B(tài)是指純態(tài)的統(tǒng)計分布，對于有溫度的系統(tǒng)我們需要統(tǒng)計所有的純態(tài)下平均值的統(tǒng)計結(jié)果。

假設(shè)一個系統(tǒng)的溫度為T，我們可以將這個態(tài)利用密度矩陣的形式表示也就是：

kB是Boltamann常數(shù)。\mu是化學(xué)勢。

\Omega表示熱力學(xué)勢。一個任意算符A在此熱態(tài)下的平均值為：

我們這里需要引入密度算符：

也滿足歸一化條件：

所以對于期望值的公式可以化簡為：

現(xiàn)在我們就可以定義熱Green函數(shù)，通過將真空態(tài)換成熱態(tài)：

假設(shè)化學(xué)勢為零，則熱Green函數(shù)具有以下的屬性：

下面我們證明這點，首先根據(jù)Heisenberg運動方程：

則有：

另一個Green函數(shù)也有類似的計算過程。和之前的對比得到：

需要注意的是：

因為標量場的對易子是一個復(fù)數(shù)（根據(jù)產(chǎn)生湮滅算符的對易關(guān)系），并且因此它的統(tǒng)計和真空期望值是等價的。在相互作用理論中一般不會出現(xiàn)這種情況，此時(不等時）對易子變成一個算符。

我們可以利用上面熱Green函數(shù)和零溫Green函數(shù)的關(guān)系，我們將上面的表達式記為：

其中

寫出熱Green函數(shù)的Fourier變換：

其中

并且

進一步得到：

給出積分表示：

我們也可以獲得其他Green函數(shù)。通過精確計算整個積分。我們可以得到（注意有一個指數(shù)函數(shù)的級數(shù)展開）：

也就是說，熱格林函數(shù)可以寫成相應(yīng)的零溫度格林函數(shù)的無限虛時間之和。

在自旋 1/2 的情況下，由于場是滿足反對易關(guān)系的。由此寫出：

注意不在是周期條件了。同時也可以獲得一個虛時間的求和。如下：