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?

?

我們停止使用模擬方法,通過對增量進行泊松回歸，我們獲得了與鏈梯法Chain Ladder方法完全相同的結(jié)果

?

1. > Y

2. [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]

3. [1,] 3209 1163 ? 39 ? 17 ? ?7 ? 21

4. [2,] 3367 1292 ? 37 ? 24 ? 10 ? NA

5. [3,] 3871 1474 ? 53 ? 22 ? NA ? NA

6. [4,] 4239 1678 ?103 ? NA ? NA ? NA

7. [5,] 4929 1865 ? NA ? NA ? NA ? NA

8. [6,] 5217 ? NA ? NA ? NA ? NA ? NA

9. 


10. 


11. > summary(reg2)

12. 


13. Call:

14. glm(formula = y ~ as.factor(ai) + as.factor(bj), family = poisson,

15. data = base)

16. 


17. Coefficients:

18. Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)

19. (Intercept) ? ? ? ?8.05697 ? ?0.01551 519.426 ?< 2e-16 ***

20. as.factor(ai)2001 ?0.06440 ? ?0.02090 ? 3.081 ?0.00206 **

21. as.factor(ai)2002 ?0.20242 ? ?0.02025 ? 9.995 ?< 2e-16 ***

22. as.factor(ai)2003 ?0.31175 ? ?0.01980 ?15.744 ?< 2e-16 ***

23. as.factor(ai)2004 ?0.44407 ? ?0.01933 ?22.971 ?< 2e-16 ***

24. as.factor(ai)2005 ?0.50271 ? ?0.02079 ?24.179 ?< 2e-16 ***

25. as.factor(bj)1 ? ?-0.96513 ? ?0.01359 -70.994 ?< 2e-16 ***

26. as.factor(bj)2 ? ?-4.14853 ? ?0.06613 -62.729 ?< 2e-16 ***

27. as.factor(bj)3 ? ?-5.10499 ? ?0.12632 -40.413 ?< 2e-16 ***

28. as.factor(bj)4 ? ?-5.94962 ? ?0.24279 -24.505 ?< 2e-16 ***

29. as.factor(bj)5 ? ?-5.01244 ? ?0.21877 -22.912 ?< 2e-16 ***

30. ---

31. Signif. codes: ?0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

32. 


33. (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)

34. 


35. Null deviance: 46695.269 ?on 20 ?degrees of freedom

36. Residual deviance: ? ?30.214 ?on 10 ?degrees of freedom

37. (15 observations deleted due to missingness)

38. AIC: 209.52

39. 


40. Number of Fisher Scoring iterations: 4

41. 


42. [,1] ? [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]

43. [1,] 3155.7 1202.1 49.8 19.1 ?8.2 21.0

44. [2,] 3365.6 1282.1 53.1 20.4 ?8.8 22.4

45. [3,] 3863.7 1471.8 61.0 23.4 10.1 25.7

46. [4,] 4310.1 1641.9 68.0 26.1 11.2 28.7

47. [5,] 4919.9 1874.1 77.7 29.8 12.8 32.7

48. [6,] 5217.0 1987.3 82.4 31.6 13.6 34.7

49. 


50. [1] 2426.985

注意到泊松定律的變化太小

1. 


2. 


3. Coefficients:

4. Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

5. (Intercept) ? ? ? ?8.05697 ? ?0.02769 290.995 ?< 2e-16 ***

6. as.factor(ai)2001 ?0.06440 ? ?0.03731 ? 1.726 0.115054

7. as.factor(ai)2002 ?0.20242 ? ?0.03615 ? 5.599 0.000228 ***

8. as.factor(ai)2003 ?0.31175 ? ?0.03535 ? 8.820 4.96e-06 ***

9. as.factor(ai)2004 ?0.44407 ? ?0.03451 ?12.869 1.51e-07 ***

10. as.factor(ai)2005 ?0.50271 ? ?0.03711 ?13.546 9.28e-08 ***

11. as.factor(bj)1 ? ?-0.96513 ? ?0.02427 -39.772 2.41e-12 ***

12. as.factor(bj)2 ? ?-4.14853 ? ?0.11805 -35.142 8.26e-12 ***

13. as.factor(bj)3 ? ?-5.10499 ? ?0.22548 -22.641 6.36e-10 ***

14. as.factor(bj)4 ? ?-5.94962 ? ?0.43338 -13.728 8.17e-08 ***

15. as.factor(bj)5 ? ?-5.01244 ? ?0.39050 -12.836 1.55e-07 ***

16. ---

17. Signif. codes: ?0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

18. 


19. (Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 3.18623)

20. 


21. Null deviance: 46695.269 ?on 20 ?degrees of freedom

22. Residual deviance: ? ?30.214 ?on 10 ?degrees of freedom

23. (15 observations deleted due to missingness)

24. AIC: NA

25. 


26. Number of Fisher Scoring iterations: 4

通常，通過構(gòu)造皮爾遜殘基的形式為

我們已經(jīng)在定價過程中看到，分母的方差可以被預(yù)測代替，因為在泊松模型中，期望和方差是相同的。所以我們考慮

1. > round(matrix(base$erreur,n,n),1)

2. [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]

3. [1,] ?0.9 -1.1 -1.5 -0.5 -0.4 ? ?0

4. [2,] ?0.0 ?0.3 -2.2 ?0.8 ?0.4 ? NA

5. [3,] ?0.1 ?0.1 -1.0 -0.3 ? NA ? NA

6. [4,] -1.1 ?0.9 ?4.2 ? NA ? NA ? NA

7. [5,] ?0.1 -0.2 ? NA ? NA ? NA ? NA

8. [6,] ?0.0 ? NA ? NA ? NA ? NA ? NA

值得關(guān)注的是，如果是漸近的良好估計，則在有限距離處不是這種情況，因為我們對方差有一個偏估計。 另外，應(yīng)該校正方差估計量

然后是應(yīng)使用的皮爾遜殘基。

1. > E

2. [1] ?1.374976e+00 ?3.485024e-02 ?1.693203e-01 -1.569329e+00 ?1.887862e-01

3. [6] -1.459787e-13 -1.634646e+00 ?4.018940e-01 ?8.216186e-02 ?1.292578e+00

4. [11] -3.058764e-01 -2.221573e+00 -3.207593e+00 -1.484151e+00 ?6.140566e+00

5. [16] -7.100321e-01 ?1.149049e+00 -4.307387e-01 -6.196386e-01 ?6.000048e-01

6. [21] -8.987734e-15

?

通過對這些殘基進行重采樣。為簡單起見，我們將生成一個小矩形

1. 


2. > round(matrix(Tb,n,n),1)

3. [,1] ? [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]

4. [1,] 3115.8 1145.4 58.9 46.0 ?6.4 26.9

5. [2,] 3179.5 1323.2 54.5 21.3 12.2 ? NA

6. [3,] 4245.4 1448.1 61.0 ?7.9 ? NA ? NA

7. [4,] 4312.4 1581.7 68.7 ? NA ? NA ? NA

8. [5,] 4948.1 1923.9 ? NA ? NA ? NA ? NA

9. [6,] 4985.3 ? ? NA ? NA ? NA ? NA ? NA

這樣我們就可以做幾件事

1. 使用Chain Ladder方法完成流量三角形，即計算我們認為未來幾年將支付的平均金額

2. 生成未來幾年的付款方案，根據(jù)泊松定律（以我們剛剛計算的平均金額為中心）生成付款

3. 產(chǎn)生比Poisson定律方差更大的定律的支付方案。理想情況下，我們希望模擬擬泊松定律，但這不是真實定律。另一方面，我們可以記住，在這種情況下，伽瑪定律應(yīng)該給出一個很好的近似值。

最后一點，我們將使用以下代碼生成準定律，

1. > rqpois = function(n, lambda, phi, roundvalue = TRUE) {

2. + b = phi

3. + a = lambda/phi

4. + r = rgamma(n, shape = a, scale = b)

5. + if(roundvalue){r=round(r)}

6. + return(r)

7. + }

然后，我們將執(zhí)行一個小函數(shù)，該函數(shù)將從三角形計算出未來的平均付款額或各付款場景的總和數(shù)，

它仍然會生成三角形的數(shù)據(jù)包。但是，可以生成負增量的三角形。簡而言之，當我們支付負數(shù)時，將為空值。這樣，對分位數(shù)的影響（先驗）將可以忽略不計。

如果我們查看最佳估計的分布，我們得到

polygon(c(D$x[I],rev(D$x[I])),c(D$y[I],rep(0,length(I))),col="blue",border=NA)

?

但是，我們還可以在下面將基于泊松定律（等散）的情景可視化

?

在后一種情況下，我們可以扣除99％的未來付款額。

1. > quantile(VRq,.99)

2. 99%

3. 2855.01

因此，有必要將撥備金額增加約15％，以確保公司能夠在99％的情況下履行承諾，

1. > quantile(VRq,.99)-2426.985

2. 99%

3. 428.025

?